III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (3 изд. 2002) (1081381), страница 21
Текст из файла (страница 21)
5.19. Найти канонические уравнения проекции прямой х — 1 у-2 я+1 1 2 5 на плоскость 2х — Зу+ х — 1 = О. Составить уравнение проекти- рующей плоскости. 6. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 6.1. Виды матриц Определение 6.1. Матрицеб типа (или размера) тхп называют прямоугольную числовую таблицу, состоящую из тп чисел, которые расположены в т строках и п столбцах. Составляющие матрицу числа называют элемептама этой матрацы. Как правило, их обозначают строчной буквой с двумя индексами, например а;, где г — номер строки (г = 1, т), у'— номер столбца (у = 1, и), в которых расположен этот элемент. Матрицы обозначают аы агг агг агг аг„ агп или аы а1г ... аг„ агг агг ...
аг„ а 1 а г ... а а 1 а~г ... а,„ Используют и другие сокращенные обозначения: (а; ) ~,~ или просто (а; ), если по тексту ясно, в каких пределах изменяются индексы г и у. Матрицу как единый объект обозначают прописной буквой: А, В и т.д. Элемент матрицы А, стоящий в 1-й строке и у-м столбце, мы будем также записывать в виде (А)6, что удобно при проведении доказательств, Элементами матриц могут быть не только действительные числа, но и комплексные, н даже другие математические объекты. Например, мы будем встречаться с матрицами, элементами которых будут многочлены или матрицы.
Множество всех числовых матриц типа тхп, элементами которых являются действительные числа, будем обозначать М „(гь). 156 6. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Если матрица имеет тип 1хп, т.е. если у матрицы всего одна строка, А = 1аы, а1г, ..., а1„), то матрицу называют матриией-строкой. Индекс строки можно опустить: А = =1ам аг, ..., а„). Число элементов в матрице-строке называют ее длиной. Если матрица имеет тип тх1, т.е.
у матрицы один столбец: аы аг1 А= то ее называют матриивй-столбцом. Число элементов в матрице-столбце называют ее высотой. Индекс столбца можно опустить: а1 аг А= При т = п, т.е. когда матрица имеет столько же столбцов, сколько и строк, ее называют квадраткой иорлдка ик аы агг ..
аг„ агг агг .. аг„ ! аг а при т ~ п — лрлмоуеолькой. Множество всех квадратных матриц порядка и, элементами которых являются действительные числа, обозначают М„1Ж). У квадратных матриц выделяют последовательности элементов аы, агг, ..., а„„вЂ” елавкую диаеокаль, и а„м а„г г, ..., аг„— иобоииую диаеоиаль. Элементы главной диагонали называют дианокальиыми. Понятия диагонального элемента н главной диагонали распространяют и на прямоугольные матрицы. 157 6Л. Виды матриц Если в квадратной матрице порядка и все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, т.е.
если матрица имеет вид адд О ... О О агг . О О О ... О О О ... а„„ то ее называют диаеональнойи обозначают Йай(аы, ..., а„„). Если в диагональной матрице порядка и на диагонали стоят единицы, то ее называют единичной и обозначают обычно Е или 1: 1 О ... О О 1 ... О Е = О О ... О О О ...
1 Матрицу типа тхп, все элементы которой равны нулю, называют нулевой матарит4ей соответствующего типа и обозначают буквой О или цифрой О. Часто используют матрицы и других видов, например верение тпреуеольные матприцы ап агг .. аг„ О агг ... аг„ О О ... азь О О ... а„„ у которых элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, и нижние тареуеольные магнрит1ы, у которых, 158 б. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ наоборот, элементы над главной диагональю равны нулю: адд О О ... О агд агг О ...
О а„д а„г а„з ... а„„ О О О О О О аы адг О О азд агг агз О О азг азз аз4 О О О О ... а„д, -г а„д,„д а„д,„ О О О О ... О а„„д а„„ Прямоугольные матрицы вида адд адг адз ... ад ... ад„ О агг агз ° ° агт ° ° аг О О азз ... аз,„" ° азя О О О ... а~ ... а у которых элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, называют перинами пгранеддневиднымн. Важную роль в дальнейшем изложении играют енгуненчангые мандриддьд (матрицы ступенчатого вида). Так называют Отметим, что диагональные матрицы являются частным случаем как верхних, так и нижних треугольных матриц. Более того, множество диагональных матриц совпадает с пересечением множества верхних треугольных матриц и множества нижних треугольных матриц.
К ндреаднаеональньдм мангриддам относят такие квадратные матрицы, у которых ненулевыми элементами могут быть лишь диагональные элементы и соседние с ними в строке или столбце: 6.2. Линейные операции иад матрицами матрицу типа тхп, если для любой ее строки выполнено следунпцее условие: под первым слева ненулевым элементом строки и предшествующими ему нулевыми элементами строки все пи менты матрицы равны нулю. Следующие матрицы имеют тупенчатый вид: 6.2. Линейные операции над матрицами Прежде чем обсуждать какие бы то ни было операции над матрицами, договоримся, какие матрицы мы будем считать равными. Определение 6.2.
Две матрицы называют равмымм, чли они имеют один и тот же тип и если у них совпадают соответствующие элемеипгы. =(а)и В= того же типа Определение 6.3. Суммой мат2грим А = (61 ) типа тхп называют матрицу С = (с; ) г элементами с, = а; +6;, 1=1,т, 2' =1,п. Для суммы матриц используют обозначение: С = А+ В. В подробной записи Ьп 6гг 6н Ьгг 61п Ь„ ап а1г 1+ В аг1 агг агп аг„ агп1 атг . агап Ь„,1 Ь,„г ...
Ь ам+ 611 аг1+ Ьн а1г+ 612 агг+Ьгг а1п+ 61п аг„+ 6гп а 1+Ь а,г+6 г " а +6 160 6. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Замечание 6.1. Сумма определена только для матриц одного типа. Пример 6.1. Найдем сумму двух матриц 2 1 — 1 1 + 4 3 0 1 = 6 4 — 1 2 Определение 6.4. Произведением матрацы А = (а; ) типа тхп мо число а Е К называют матрицу С = (с; ) типа тхп с элементами с; = оа, . Подробно зто произведение выглядит так: ам а12 О 21 О22 (Х а1„ аам аапл ... Оа1„ О2~ О1121 О1122 С" О2а аы1 а 2 ... а аа 1 аа,„2 ... Оа Замечание 6.2. Операции сложения и умножения на число для матриц аналогичны одноименным операциям над векторами. Эти операции также называют лимеймь2мц. Для любых матриц А= (а; ), В= (о; ) и С= (с;.) из М „(К) верны следующие свойства линейных операций.
1'. Сложение матриц коммутативно: А+ В = В+ А. < Доказательства равенств матриц часто проводят, основываясь на определении 6.2, т.е. доказывают, что матрицы, стоящие в левой и правой частях равенства, имеют на одинаковых местах равные элементы. Так, свойство коммутативности суммы матриц следует из равенств ~А+В);. =а; +6; = Ь, +аН = ИВ+А)И, среди которых первое и третье следуют из определения 6.3 суммы двух матриц, а второе верно в силу коммутативности сложения действительных чисел, ~ 161 В.2.
Линейные операции над матрицами 2'. Сложение матриц ассоциативно: (А+В)+С = А+(В+ $ С). 4 Как и в случае коммутативности, свойство ассоциативности вытекает из равенств [(А+ В) +С]; = [А+В]; + [С];. = (а, +Ьу) +с; = = а;, + (Ь;, + с„) = [А];, + [В+ С]б = [А+ (В+ С)];, которые имеют место в силу определения 6.3 суммы двух матриц и ассоциативности сложения действительных чисел. ~ь Свойства 1' и 2' позволяют не заботиться о порядке операций сложения матриц и порядке слагаемых в матричных выражениях. 3'. Существует такая матрица О Е М „(К), что для любой матрицы А Е М „(К) выполнено равенство А+ О = А.
< Матрица Π— это нулевая матрица са типа тхп. Действи- тельно, [А+Щ = [А]; + [Щ, = аб+О = а, = [А],;. ~ь 4'. Для любой матрицы А Е М „(К) существует такая единственная матрица В б М „(К), для которой выполнено равенство А+ В = се, где ея — нулевая матрица. м Если А+ В = се, то [А+ В]; = а; + Ь; = [6];. = О и, следовательно, а;~-+Ь; =О.
Значит, элементами Ь;, матрицы В являются ЬО = — а,, и это доказывает как единственность, так и существование матрицы В. ~ Матрицу В,о которой говорится в свойстве 4', называют противоположной А и обозначают через — А. Эта матрица получается из матрицы А умножением на число — 1. Свойства 3' и 4' позволяют ввести операцию вычитания матриц. Разностпью Р— Я ллатрмц Р и Я одного типа называют матрицу Р+ ( — Я), Лиалиеичеснан ееометие 162 В. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 5'. Умножение матрицы на число ассоциативно: (Лр)А = = Л(РА).
м [(Л««)А]«у — — (Л««)а, = Л(««а«,.) = Л~иА]; . > 6'. Умножение матрицы на число днстрибутивно относительно суммы действительных чисел: (Л+ р)А = ЛА+ ««А. < [(Л+1«)А], = (Л+р)а„. = Лау+ра; = [ЛА]«+ ~иА]; = [ЛА+ +««А]о. ~ 7'. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы матриц: Л(А+ В) = ЛА+ ЛВ. 8'.
Умножение матрицы на 1 не меняет ее: 1. А = А. м [1 А];, = 1 [А];, = [А]сь > 6.3. Транспонирование матриц Определение 6.5. Для матрицы А = (а;.) типа тхп ее т пгранспонированно««магприцей называют матрицу А = (с;,) типа пхт с элементами с« = ач.
При транспонировании матрицы ее строки становятся столбцами новой матрицы с сохранением их порядка. Точно так же столбцы исходной матрицы превращаются в строки транспоннрованной. Поэтому транспонирование можно рассматривать как преобразование симметрии матрицы относительно ее главной диагонали. Подробнее: аг„ аг аы а«г аг« агг аы аг« ... а« а«г агг ° ° ° атг а г а, г .. а а«„ агн ... а < [Л(А+ ВИ« = Л[А+ В]; = Л(а«+ 6;.) = Ла;, + Л6« =- [ЛА]«+ + [ЛВ]„= [ЛА+ЛВ]иь ~ 16:5 6.3.
Трацсаоцировацие матриц Пример 6.2. Транспонируем следующие три матрицы: аг Вг т аг Ьг (а5, аг, ..., а„) а,„ Свойства операции транспонирования. 1'. (А ) =А. т т ~ Отметим, что матрицы (А ) и А имеют одинаковые размеры. Кроме того, [(А ) ];,. = [(А Ц„= [А]сь ~ 2'. (А + В) = А + В . < [(А+ В) ];, = [(А+ В)]; = [А]„+ [В], = [А ]; + [В ];, = [А + 5-В ]со ~ 3'. (ЛА) = ЛА, Л Е К. М [(ЛА) ], = [ЛА]к — — Л[А]; = Л[А ]; = [ЛА ]б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
