II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Пусть у = у(х) — дифференцируемая функция независимого аргумента х. Тогда, согласно (3.3), дифференциал этой функции в точке х пу = у'(х) Их. Пусть теперь у = Ди) — дифференцируемая функция аргумента и, который, в свою очередь, является дифференияруемой функцией аргумента х, т.е. и = и(х). Тогда сложнзя функция у(х) = ~(и(х)) будет дифференцируемой функцией аргумента х. Для дифференцируемых функций у(х) и и~х) как функций независимого аргумента х можно записать 3,3. Дифференциал сложной функции те. в итоге пришли к первоначальной форме записи вида (3.3), но теперь для случая, когда аргумент и не является независимым. Иначе говоря, форма записи дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции независимым или же дифференцируемой функцией другого аргумента.
В этом и состоит свойство пмвариантпностпи (неизменности) формы записи дифферемЧмаюа. Из этого свойства следует, что производная у' всегда мо>кет быть выражена отношением дифференциалов цу и Их вне зависимости от того, является ли х независимым аргументом или функцией другого аргумента. Важно лишь, чтобы оба эти дифференциала были вычислены по одному и тому же переменному, принятому за независимое. Благодаря этому нетрудно получить правило (2.21) дифференцирования функции, заданной параметрическим способом.
Действительно, пусть функции х= х(1) и у= у(8) дифференцируемы в точке 1. Тогда Ну = у'(~)й и Нх = х'(8) сЫ. Если х'(~) у60, то в некоторой окрестности точки 1 соотношения (2.20) задают дифференцируемую функцию у = ~(х). Соответствующее точке 1 значение производной у,'. = ау/Йх = у Я(х'Я этой функции отвечает значению х = х(1) в той же точке ~. Таким образом, производная у' является функцией х, заданной параметрически соотношениями у'(~) Ух= р х = х(8), что согласуется с (2.21). Пример.
В развитие примера 1.5 предположим, что при нагреве тела фиксируются зависимости от времени ~ темпеРатуры Т(~) этого тела и затрачиваемого на нагрев количества теплоты ф~). По физическому смыслу эти зависимости $Ф 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ являются непрерывными и прн некоторых определенных условиях — дифференцируемыми функциями. Тогда теплоемкость тела при некотором заданном значении температуры может быть найдена как производная Ят~, — — Я'($)/Т'($), вычисленная в тот момент времени 1, когда температура тела достигает этого заданного значения.
3.3. Использование дифференциала в приближенных вычислениях Из определения 3.1 дифференциала следует, что дифференциал функции у = ~(х) в точке а является при Ьх -+ О бесконечно малой функцией, эквивалентной приращению Ьу этой функции (при условии, что ~'(а) у'- О). Это позволяет полагать Ьу ~ ау с тем большей точностью, чем меньше приращение Ьх аргумента х, или подробнее Ьу = ЬЯа) = ~(а+ Ьх) — ~(а) Яа)Ьх (3.6) ~(х) — ~(а) + ~ (а)(х — а). Таким образом, для значений х, близких к,а, функция ~(х) в (3.7) заменена линейной функцией. Геометрически это соответствует замене участка кривой графика у = Дх) около точки (а; ~(а)) отрезком касательной к кривой в этой точке (уравнение касательной у = Да)+~'(а)(х — а)).
В этом случае говорят, что функ»и.я у = ~(х) линеаризована отпноситпельно шо ис» (а; Да)) (или .аинеаризована в окрестпносши шочк» а), с погрешностью ф(Ьх) Ьх = о(Ьх). Удобство замены приращения Ьу функции ее дифференциалом ау состоит в том, что ау зависит от Ьх линейно, тогда как Ьу представляет собой обычно более сложную функцию от Ьх. Если положить х = а+Ах и Ьх =х — а, то из (3.6) следует 69 Д.З.1. Оценка погрешности приближенных вычислений В частном случае а = 0 (3.7) переходит в приближенную формулу Дх) и ~(0) +,~'(0)х.
Подставляя сюда вместо ~(х) различные элементарные функции, можно получить ряд приближенных формул для близких к нулю значений х: 81пх х, Фарух х, е ~1+х, 1п(1+х) х, (1+ х)* 1+ хх (в частности, ч/1+ х - 1+ х/2), (3.8) согласующихся по форме с соотношениями для эквивалентных при х -+ 0 бесконечно малых функций. Пример. Вычислим приближенно значения ео', 1п1,25 и ф6,3. Согласно (3.8), для функции е при х = 0,1 имеем ео' ~ 1,1, а для функции 1п(1+х) при х =0,25 получим 1п1,25=0,25. В третьем случае сначала преобразуем ч/(8,$ = 4ч/~ + 0 3/18 = =4 1+, 1 75, а затем используем приближенную формулу (3.8) длн функции ч/1 +х при х = 0,01873: 4 1+, 1 ю 4(1+ О 01875/2) 4 0375 Дополнение 3.1, Оценка погрешности приближенных вычислений В прикладных задачах аргумент х функции Дх) известен приближенно. Обозначим через а приближенное значение аргумента, а через Ь вЂ” его наибольшую абсолютную погрешность.
Положим х = а+ сЬ, причем Щ < Ь . Тогда абсолютную погрешность замены значения дифференцируемой в точке а фуксии Дх) ее приближенным значением Да) можно оценить с учетом (3.6), пренебрегая бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с Их при дх -+ О, по формуле Ях) — Да)) ~ ~~'(а)Их~ = ~~'(а)~ ~4Ь~ < ~~'(а)~Ь~, 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 70 (3.9) Тогда, учитывая выражение для логарифмической производной, получим приближенную оценку наибольшей относительной погрешности значения функции ~(х) в точке а (при условии, что Да) ~0) Ю~ —— — = Ь = Ь $(!пУ(х)1)'1 .
(3.10) ~Х 1У'(аИ Ща)1 Ща)1 Пример. а. Табличное значение экспоненциальной функции ~(х) = е~ при х = а = 2,29 с четырьмя знаками после запятои е' = е~ з9 = 9,8749. Однако если значение а известно с точностью, характеризуемой наибольшей абсолютной погрешностью Ь~ = 0,01, то, согласно (3,9), Ьу т1~'(а)1Ь = е~Ь =9,8749 0,01=0,1 и в значении е' нецелесообразно удерживать более одного знака после запятой, т.е. следует в данном случае написать е'-9,9.
6. Если нужно найти объем $~ куба с относительной погрешностью не более бу = 0,01, то из (3.10) следует, что длину его ребра нужно измерить с абсолютной погрешностью не более Ь, =6у/~(1пЩх)1)'1 . Поскольку Ъ'=Дх) =хз и при х=а (1пЩх)1)'=За~/а =3/а, имеем Ь, ж0,01/(3/а)- т 0,0033а, а относительная погрешность при измерении длины ребра куба должна быть не более 8~ = Ь /а = 6у/3- 0,0033. ф Для показательно-степенной функции Дх) = (и(х)) "~ ) (см. пример 2.3) при и(х) > 0 ф е — = - Ии+ (!и и) Ню и и при условии е(х) ф 0 оценка наибольшей относительной погрешности ~Ь Ь=МИи+11пи1о„), 5„> (3.1 1) если производная ~'(а) ~ О.
Примем в качестве приближенной оценки наибольшей абсолютной погрешности такой замены Ьу = тах1Дх) — ~(а)1~ 1~'(а)1Ь . 71 Д.З.1. Оценка погрешности приближенных вычислений где б„и б„— наибольшие относительные погрешности вычисления функций и(х) и и(х) соответственно. В частном случае задания точного значения и(х) = в = совам б„= 0 и для функции у(х) = (и(х))', согласно (1.14), бу = !в!б„. При и(х) = х для степенной функции у(х) = х' б„= б,.
> > !ах/х~ и бу = 1в!б,. (3.12) бу = !ю~ ~!па~б„= Ь„~!па~. При и(х) =х придем к показательной функции Дх) =а, для которой бу = !х~ !1па~б,, = Ь,,~1па~, а в частном случае экспоненциальной функции (а = е и 1п а = =1) бу=~х~б =Ь . (3.13) Поскольку логарифмическая функция у(х) =1пх является обратной по отношению к экспоненциальной, получим Ья = б,. Пусть функция у(х) является линейной комбинацией дифференцируемых функций ~~(х) при Й =1, т., т.е. Дх) = ~ с~Д~(л), 1=1 причем коэффициенты с~ считаем заданными точно.
Тогда, согласно (2.12), в силу того, что дифференцирование является Например, наибольшие относительные погрешности квадрата х~ и квадратного корня ~/х вдвое больше и вдвое меньше соответственно, чем у числа х, а наибольшие относительные погрешности числа х ф-0 и обратного ему числа 1/х совпадают. Если задано точное значение и(х) = а = сопв~ > О, то в (3.11) б„= О и для функции у(х) = а"! ! получим 72 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ лииейной операцией, и в качестве оценки Ьу наибольшей абсолютной погрешности вычисления функции ~(х) можно принять с учетом ~Щх) ~ < <~~ Ьу А = —.
т~с~~ (3.15) В силу (3.14) наибольшая абсолютная погрешность алгебраической суммы равна сумме наибольших абсолютных погрешностей слагаемых и не может быть меньше, чем наибольшая абсолютная погрешность наименее точного из слагаемых алгебраической суммы. Поэтому для упрощения вычислений более точные слагаемые следует округлять, сохраняя в них один Ф(ж))(ЬУ, д/=У Ы~ь,, (3.14) 1=1 где Ь~ — наибольшая абсолютная погрешность вычисления функции Ях).
Если абсолютная погрешность вычисления функции Дх) ограничена заданным значением Ь~, то наиболее жесткие требования по точности следует предъявить к значению Ях) той функции, которой соответствует наибольшее значение ~с~~, и наоборот, В том случае, если труднее всего обеспечить точность измерения или вычисления значения Ях), а значения остальных функций ~~(х), Й ф и, можно найти со сравнительно высокой точностью, т.е. их наибольшая абсолютная погрешность достаточно мала, требования к наибольшей абсолютной погрешности Ь„функции ~„(х) следует подчинить условию Ь„< Ь~/~с„~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
