II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Для производной и-го порядка нетрудно получить правило дифференцирования, функции у = Си(х), где С = сопв$, а именно (Си(х)) = Си1"1(х). (4.2) (и) (т~) + (в) (4.3) поскольку его можно получить дифференцированием аналогичного выражения для производной порядка и — 1. В силу теоремы 1.2 функция, имеющая конечную производнув в точке х = а, непрерывна в этой точке. Отсюда следует, что если функция у = ~(х) имеет в точке а конечную производную и-го порядка, то эта функция и все ее производные до (и — 1)-го порядка включительно определены в некоторой окрестности данной точки и непрерывны в укаэанной точке.
В этом случае говорят, что функция у = ~(х) и — 1 раз неирерывно дифференцируема в тпочке а. Ясно, что все сказанное относится и к конечным односторонним производным в точке а, и к соответствующим полуокрестностям этой точки. Для суммы у = и(х)+о(х) и раз дифференцируемых функций и(х) и о(х), опуская обозначение аргумента х, последователь- но запишем у'= и'+о', у" = и" +он; у"'= и"'+ю'". Согласно методу математической индукции, справедливо соотношение 80 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ Функцию Дю) называют п раз непрерывно дифференцируемой в некотором промежутпке Е, если во всех точках этого промежутка она имеет непрерывные производные до порядка и включительно.
При этом используют обозначение ~(х) Е С" (Е), где С"(Е) — множество всех функций, п раз непрерывно дифференцируемых при Чж Е Е. Правомерна также запись ~®(х) Е С(Е), где С(Е) — множество всех непрерывных при Чх Е Е функций. Если граничная точка принадлежит промежутку Е (например, граничная точка отрезка или полуинтервала), то в этой точке должна быть непрерывна соответствующая односторонняя производная н-го порядка. Основные элементарные функции (за небольшими исключениями) непрерывно дифференцируемы в своей области определения, причем неограниченное число раз. Исключения относятся к степенной функции ж' (см. пример 1.5) при 8ф Х вточке ж = 0 и обратным тригонометрическим функциям агсяпж и агссозж (см.
пример 2.4) в точках ж =3=1. Пример 4.1. Найдем вторые производные следующих функций. а. у =)в(в+ ~~+ хе). Последовательныи днфференннрованием получим 1 1 1 Д 1+ 2х х~- г~~+хг 2~/~+,хг г~~+хг' у" = ((1+ х ) '~~)' = -(1/2) (1+ х~) ~~~2ж =— 2)ЗУЗ ' б. у = ассе)нг/Т-е*. Последовательно вычнслнем ] еж/2 2~~ — е* 2гг~~- е ( е)=— )с*1 /2)чгà — ее — е*~ -~)-ее) е ~2 4(1 ею)3/2 2(1 — е ) 4.1.
Проиэводные высших порядков Пример 4.2. Получим общее выражение для и-й производной некоторых основных элементарных функций. а. Для функции у = 1/х последовательно найдем 1 ' 1 „— 2 2 „, -3 23 Из полученных выражений видно, что (4.4) (1пх)1"1 = ( — 1)" ' (4.5) в. Для показательной функции у = а уп = (а 1п а) = а 1п~х, у'= (а')'=а 1па, Нетрудно сообразить, что (ах)(в) — ах 1пиа (4.6) г. При каждом дифференцировании функции у = з1пх приращение аргумента х составляет л/2.
Действительно, у' = (з1пх)'= созх = з1п(х+л/2), у" = (з1п(х+яг/2)) = соз(х+л/2) = з1п(х+2л/2), отсюда следует, что (з1п х) 1"1 = з1 п (х + пл/2). (4.7) Правильность,(4.4) можно доказать методом математической индукции. б. Поскольку для логарифмической функции у =!пх у' = = 1/х, имеем у® = (1п х) ® = (1/х) 1" '1. Используя (4.4), по- лучаем 82 4.
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ Аналогично для функции и =созх получим (совх)~"1 = сов(х+ пл/2). (4.8) Пример 4.3. Для яногочлена и-й степени Р„(х) = сох" + + с1 х" 1 + ... + с„1х + с„(со ф. 0) с постоянными хоэффицц ентами с~ Е Е, й =О, и как линейной комбинаиии степенных функций последовательно получим Р„'(х) = псох" '+(и — 1)с1х" ~+...+с„1, Р,",(х) = п(п-1)сох" ~+ (и-1)(п-2)с1х" з+...+2с„2, Р~" 1(х) = и.'сох+ (и — 1).'с1, Р('(х) = ', Р~ 1(х) =0 при т > и. Р (х) = Р (0)+Р„'(0)х+ — ", х +...+ Р„"(0) г ~=о приняв в качестве обозначений при й = О И = 1 и Р~ 1(х) = = Р„(х). Но тот же многочлен можно представить (или, как говорят, разложить) по степеням разности х — а относительно произвольной точки а Е В: Р„(х) =Ь„+Ь„1(х-а)+Ь„г(х-а) +...+Ь1(х-а)" '+Ьо(х-а)" Нетрудно проверить, что в точке х = а Р„(а) = Ь„, Р„'(а) = =Ь„1, Р„"(а) =2Ь„~, Р„"'(а) =3!Ь„з, ..., Р„" (а) =(и-1)1Ь~ В точке х =О имеем Р„(0) =с„, Р„'(0) = с„1, Р,",(0) =2с„~, Р„"'(0) = 3!с„з, ..., Р~" (0) = (и — 1)!с1, Р„" (0) = п~со и Р„(0) = 0 при т > и.
Это позволяет записать 4.2. Примеры интерпретации производной второго порядка 83 Р„(а) = п.бо и Р„(а) =О при т > и. Отсюда можно найти (я) ~ (тв) коэффициенты 6~, Й=О,п, и написать Р„(х) = Р„(а) + Р„'(а) (х — а) + Р„''(а), +... + ~„1) (а) (х — а) 1„) ® (х — а) (и — 1)! и! = ~Р~~~ ~~),, (4.9) а=о Пример 4.4. Легко видеть, что уравнение х4 — 2хз+ +2х — 1 = 0 имеет корень х1 — — 1.
Чему равна его кратность? Для ответа на этот вопрос найдем представление многочлена Р4(х) =х — 2х +2х — 1 в виде (4.9) при а=1, предварительно вычислив его производные в точке х =1: Р4 (1) =О, Р4(1) = = (4хз — бх~ + 2) ~ .-1 — — О, Р4" (1) = (12х~ — 12х) ~ .-1 — — О, Р4'(1) = = (24х — 12) ~ 1 — — 12 и Р4) ~ (1) = 24. Тогда Р4(х) = Р4 (1)(х — 1) /32+ Р4 (1)(х — 1) /4$ = = 2(х — 1) + (х — 1) = (х — 1) (х + 1).
Таким образом, заданное уравнение имеет корень х~ — — 1 кратности три и корень х~ — — 1 кратности единица. Пример 4.5. Найдем производные Р~ )(0) (к = О, и) в точке х=О многочлена Р„(х) =(6+х)" (пай): Р„(0) =Ь", Р„'(О) =пб"-', Р„"(О) = п(п — 1)6"-2, ..., Р(" ')(О) =(и — 1)!Ь, Р®(0) = и! . Тогда, согласно (4.9), при а = 0 (6+х)" = б" +пб" 1х+п(п — 1)б" ~х~/М+...+ +пбх" 1+х" =~СПЬ вЂ” х, СП (4*10) И(п — й)! ' й=о т.е. получим формулу бинома Ньютона, в которой биномиальные коэффициенты С~ — это число сочетаний из п элементов по й. 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 4.2.
Примеры механической и физической интерпретаций производной второго порядка Пример 4.6. Докажем, что если скорость о прямолинейного движения тела с неизменной массой т пропорциональна квадратному корню из пройденного пути з, то тело движется под действием постоянной силы. Обозначая дифференцирование по времени точкой над символом функции (см.
4.1), для ускорения тела запишем а = 6 = з. Но по условию е=з=й~/з, где й=сопз$ — коэффициент пропорциональности. Отсюда ускорение ~2 а = 6= Й вЂ” з = — Йч~з= — =сопз$. 2~/з 2~/з Согласно закону Ньютона, действующая на тело сила Р = та. В данном случае, действительно, К = тй2/2 = сопзФ. Пример 4.7. Пусть материальная точка массой т при прямолинейном движении совершает колебания относительно некоторого среднего положения по закону з = Аз1п(сА+ а), где з — расстояние точки от ее среднего положения; А, и о — постоянные амплитуда, частота и начальная фаза колебаний соответственно; $ — время, причем А > О и со > О.
Такой закон колебаний называют гармоническим, а сами колебания — гармоническими. Скорость движения материальной точки е = з = Аи соз(сА + а) в моменты времени ~1 — (йт — а)/ы ~й Е У) равна =~Аы, т.е. является наибольшей по абсолютному значению. В эти моменты времени з = О и материальная точка проходит через среднее положение. Наоборот, в моменты времени йг —— И2й+ 1) зг/2 — а) /с~, 4.2. Примеры интерпретации производной второго порвдка 85 когда 8 = 3=А, т.е.
удаление материальной точки от среднего положения наибольшее, имеем о = О. Ускорение материальной точки а = о = 8= -Аы~з1п(ы~+а) обращаетсявнульв моменты времени 11, авмоменты времени ~~ является наибольшим по абсолютному значению (~а~ = Аы~). Ускорение можно записать в виде а = — и~8, а силу, действующую на материальную точку при гармонических колебаниях, с учетом закона Ньютона — в виде Р = -ты~8. Таким образом, эта сила пропорциональна отклонению материальной точки от среднего положения и всегда направлена к этому положению. Движение материальной точки, происходящее по закону 8= Ае 'яп(ы1+а) (6> О), называют затухающими колебаниями, поскольку со временем точка стремится к состоянию покоя в среднем положении, т.е.
1пп в=О. й-+со В этом случае последовательным дифференцированием з по 1 получим о = 8 = Ае ~'(ысоь(и$+а) — Ьяп(сА+а)), и = о = — Ае ~'((ы~ — 6~) яп(ий+ а) +2ыЬссв(сА+ а)). Добавив =ЕАе ~ Ь~яп(и~+ а) в правую часть последнего выра- жения, с учетом соотношений для 8 и о запишем и — д — Ае-~'(~~+ 6~) а|п(~~~+ с~) — 2А6е ~'(юсов(ы8+ а) — Ьяп(ы~+ а)) = — (иР+ 6~)з — 26о. Таким образом, сила Р= та = — т(и~+0~)8 — 2тЬи, вызывающая в данном случае затухающие колебания, складывается 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ из двух составляющих: из силы, пропорциональной удалению точки от среднего положения и направленной (как и при гар монических колебаниях) к этому положению, и из силы сопротивления, пропорциональной скорости и направленнной противоположно скорости материальной точки.
Пример 4.8. Известно, что при протекании меняющегося во времени 1 электрического тока 1(8) через катушку с индуктивностью Ь на ней возникает падение напряжения иь = ЬИ/й. Пусть катушка включена в колебательный кон- 1 2 тур последовательно с резистором ФФ сопротивлением В и конденсато~о С Е, ром емкостью С (рис. 4.1).
КонК денсатор предварительно (ключ в положении 1) заряжен до напряжения и0. После перевода ключа в положение 2 колебательный контур замыкается и в нем возникает электрический ток, при котором сумма падений напряжений в контуре равна нулю. Приняв направление тока в контуре по часовой стрелке за положительное, напишем (4.11) и~+ил — и=О, где в силу закона Ома падение напряжения на резисторе ид = = УВ, а и = д/С вЂ” падение напряжения на конденсаторе (см. пример 1.4), д — электрический заряд конденсатора. Пусть функции 1(~), д(~) и и(1) дифференцируемы по необходимое число раз. В данном случае 1 = — Ыд/й = — д'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
