II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пусть функция у = Дх) в точке х = а имеет конечную и отличную от нуля производную ~'(а) и пусть, кроме того, для нее существует однозначная обратная функция х = д(у), непрерывная в соответствующей точке у = = 6, где 6 = ~(а). Тогда существует производная д'(6) и она равна 49 2.3. Проиэводная обратной функции являющийся производной д'(6). Таким образом, обратная фун- кция х = д(у) дифференцируема в тпочке 6 и ее производная в этой точке определяется формулой (2.18). > гтт ~ 1 1 д'(6) = Фд~8= ~~ ~ — — а~ = сФда= — = 2 Фда ~'(а) Рис.
2.2 Пример 2.4. Используем (2.18) для нахождения производных обратных тригонометпрических функиий. а. Функция у = агсяпх (х Е ~ — 1,1], у Е ~ — тг/2, лт/2~) является обратной к функции х = а1п у, имеющей производную х' = сову > О для всех у Е ( — к/2, к/2). В таком случае для всех х Е ( — 1, 1), согласно теореме 2.3, существует производная у', причем 1 1 1 1 у' = (агса1п х)' х' сову 1 а1п2у 1 — хя Какова геометрическая интерпретация формулы (2.18)? Графики рассмотренных в этой теореме функций у=~(х) и х = д(у) в координатной плоскости хОу совпадают (рис. 2.2). Поэтому для углов а и Д наклона к осям координат касательной, проведенной к кривой графика в точке М(а; 6), справедливо равенство а+ Д =, к/2, и, согласно геометрическому смыслу производной (см.
1.4), 51 2.4. Проиэводнаи функции, заданной аараиетрически в. Для функции у = агсф~(1пх)+!п(агсф~х) производная 1 1 1 1 У 2 + 2 (х>0)' 1+ 1п2 х х агсф~х 1+ х2 г. Производная функции у = 1п агсг~(х/7) (х > О) ~х1 1 1 1 211п2 агсф~(х/7) у'=31п агсф( — 1. ~ 7/ агсФд(х/7) 1+(х/7) 2 7 (49+х2) агс$~(х/7) 2.4. Производная функции, заданной параметрически Пусть зависимость между х и у задана соотношениями х = х(~), у = у(~) (2.20) ~ Е Т С И. з~ у= 1оя (В~+5) — 2, х = — 5, у= 1о~ ~ — 2, На координатноц плоскости хОу любому значению параметра 1 из промежутка Т соответствует точка с координатами (х; у). При изменении ~ точка описывает некоторую кривую, а (2.20) являются параметирическими уровненилми этой кривой.
Если функция х = х(1) имеет при 1 е Т обратную функцию 1 = 1(х), то у можно представить как сложную функцию от х: у = Дх) = у~~(х)). Тогда говорят, что (2.20) задают функцию у = ~(х) параметрическим способом ~1, 3.2], и ее в таком случае называют параметрически заданной функцией.
От явного аналитического способа задания функции в виде у= Дх) к параметрическому способу можно перейти всегда, и не единственным образом. Например, для функции У = = 1од,(хз+ 5) — 2 (х > — ~/5) можно указать два эквивалентных варианта: 52 2. ПРА ВИЛА д ИФФЕРЕНЦИРОВА НИЯ ФУНКЦИИ Однако переход от параметрического способа задания функции к явному аналитическому не всегда возможен в классе элемен- тарных функций. Например, в случае < х = 1+е', у = ~4+1п~, 1)0 не удается исключить параметр 1 или выразить его в классе элементарных функций явно через х или у.
Пусть в (2.20) функции х(1) и у(1) дифференцируемы в промежутке Т, причем х'(1) ф.О ~Й ЕТ, и функция х(1) строго монотонна в этом промежутке, т.е. имеет обратную функцию 1 = 1(х), определенную и дифференцируемую в промежутке Х=х(Т). Тогдавпромежутке Х определенасложнаяфункция у = ~(х) = р(8(х)) = (р о 1)(х), которая удовлетворяет условиям теоремы 2.2 о производной сложной функции.
Используя эту теорему вместе с теоремой 2.3 о производной обратной функции, получаем у,'. = у'(й)й'(х) = у'(Ф)/х'(й) В 6 Т. Итак, производная параметрически заданной функции является, в свою очередь, функцией, параметрически заданной со- отношениями у'(~) ~'(~) ~ ~ Т. (2.21) х = х(~), Если в промежутке Т строго монотонна функция у($) и у'(~) ф О, то можно считать х функцией аргумента у и тогда Пример. а. Пусть заданы соотношения < х = а(3 — 81п$), у = а(1 — со81), Функция х(1) является возрастающей на всем множестве Е действительных чисел и имеет обратную функцию с областью 2.4. Производная функции, заданной параметрически 53 значений Е. Позтому на Е определена функция у(х).
Для нахождения ее производной сначала вычислим производные х'(1) = а(1 — соМ) и у'(1) = аз1п1 дифференцируемых на Е функций х(1) и у(1). Тогда, согласно (2.21), у'($) аз1П1 у = —,= =с$д-. х'($) а(1 — созе) 2 Поскольку х'(~) = О при ~ = 2Ьг (к б Е), сложная функция у(1(х)) недифференцируема по х в точках х = 2айт. В итоге у,'. = с~~-, 2 х = а(1 — з1П1), б. Соотношения х(1) = е", у(1) =е ", задают параметрически функцию у = ~(х), определенную при х ) О. Так как х'(1) = се" и у'(1) = -се ", ее производная у' = у'($)/х'(1) = — се "((се") = -е 2".
Итак, ф — 2с1 уев сФ И. х=е 3 в. Найдем угловой коэффициент касательной к параметрически заданной кривой () ~г+ 3~ 8 у(~) =2~Р -2~ — 5, в точке М(2; -1). Прежде всего определим значение ~о параметра 1, соответствующее заданной точке касания. Это значение должно одновременно удовлетворять двум уравнениям Р+3~ — 8= 2, 2~Р 2~ 5 1 54 2. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ Корни первого уравнения 11 — — 2, 1г — — — 5, а второго— = 2, ~г — — — 1.
Следовательно, заданной точке М кривой соот- ветствует значение 1о —— 2. Теперь найдем угловой коэффици- ент касательной в точке М, равный значению производной у' сложной функции у(1(х)) при х = 2: 41 — 2 21+ 3 6 $ г г. Уравнение р((р) = а~/созйу ((р Е ~ — ~г/4, зг/41) в полярных координатах задает кривую, называемую леммискатой. Докажем, что касательная к лемнискате в точке, соответствующей значению (р = ~г/6, параллельна оси Ох.
Для этого перепишем уравнение лемнискаты в параметрическом виде х(у) = рсову = а/соз7у сову, у((р) = рв1п(р = а~/сов~у яп у, у Е ~ — я'/4, я'/4~. Отсюда в'(!в) = а (-в)п2!в) сову+ ~~ов2!в(-в!п[а)) = ~/соилу яп 2у сову+ сов 2(р з1п(р яп 3(р ~/сов7у ~/'соов2у у (!а) =а (-в)п2у)в!пса+ ~/сов2!всовсв) = 1 /сооз у соз2у соз(р — яп2(р я'пу соз3у ~/соов2у ~/сооз 2у Значению у = т/6 соответствуют значения х~~/6) = а46/4, У(7г/6) = аЛ/4 и х'(2г/6) = -аЛ ~ О, У'(~г/6) = О. Действительно, касательная к лемнискате в точке (а~/6/4; а /2/4) параллельна оси Ох, поскольку, согласно (2.21), производная у' = у'(~г/6) /х'(~г/6) = О.
2.5. Диффереоцкроваыие неявных функций 2.5. Дифференцирование неявных функций Пусть значения двух переменных х и у связаны уравне- нием (2.22) Р(х, у) =О. Пример. а. Уравнение г+ уг дг (2.23) неявным способом задает две элементарные функции ~1(х) = ~~~ — х~ и Ях) =-~/Р-х~, которые при у> О и у< О соответствуют двум полуокружностям радиуса В. Дифференцируя (2.23) по х с учетом правила дифференцирования сложной функции, получаем 2х+ 2уу' = О.
Отсюда при уу~О найдем у'= — х/у. Таким образом, в данном случае удалось найти производную у', не устанавливая явной зависимости у от х. б. Пусть функция у =Дх) задана неявно уравнением 1пх+е "~ =С, С=сопя~. Если функция у = ~(х), определенная в некотором промежутке, такова, что подстановка ее в (2.22) вместо у обращает (2.22) относительно х в тождество, то говорят, что (2.22) задает функцию у = ~(х) неявным аналитическим способом ~1, 3.21. Такую функциьо называют неявной.
Этот термин отражает не характер зависимости у от х, а лишь способ ее задания. Для вычисления производной неявно заданной дифферекцируедой фуккции следует продифференцировать обе части (2.22) по х, используя правило (2.15) дифференцирования сложной функции, и затем решить полученное уравнение Р"'(х, ~(х)) = О относительно у' = ~'(х). 56 2. НРА ВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ Продифференцируем его по х, считая у функцией х: / — — е "~~ ° = О. х х2 Отсюда х — у'хе "~~+ уе ~~~ = О, или у' = е~~~+ у/х. в. Дифференцированием уравнения хз~з+ у2~з = а2~з (а = = сопзФ), задающего неявным способом функцию у = ~(х), найдем 2 -1 з 2 -~ з ~ — х ~~~+ — у ~~~у~ =О. 3 3 Отсюда искомая производная у'=-(у/х)'~з при условии хф.0.
г. Точка М(1; 1) лежит на кривой, заданной уравнением х2+ 5ху+ у2 — 2х+ у — 6 = О. Найдем угловой хоэффициент касательной к кривой в этой точке. Для этого продифференцнруем уравнение по х: 2х+5у+5ху'+2уу' — 2+у'=О. Полагая х = 1 и у = 1, найдем значение производной в заданной точке у'~~~. 1 — — — 5/8, равное искомому угловому коэффициенту касательной. д. Найдем уравнения касательной и нормали к кривой, заданной уравнением 4хз — Зху2 + 6х2 — 5ху — 8у2+ 9х+ 14 = О, в точках с абсциссой х = -2. Сначала определим ординаты возможных точек касания на кривой, для чего подставим значение х = — 2 в уравнение: — 32+6у +24+10у — 8у2 — 18+ +14 =О, или у2 — 5у+6=0. Корнями квадратного уравнения будут ординаты у| — — 2 и у2 —— 3.
Итак, имеем две точки М~( — 2; 2) и М2( — 2; 3). Теперь продифференцируем уравнение кривой по х: 12х~ — Зу~ — 6хуу'+ 12х — 5у — 5ху' — 16уу'+ 9 = О. Отсюда производная неявно заданной функции 12х2 — Зу2+ 12х — 5у+ 9 у 6ху+ 5х+ 16у Значения производной в точках М1 и М2 равны у', = — 11/2 и у2 — — -9/2 соответственно. Согласно (1.10) и (1.11), получим уравнения касательной и нормали в этих точках, а именно: в 2.6. Основные правила и формулы дифференцирования функций 57 точке М1( — 2; 2): для касательной 11 у — 2 = — — (х+2), 2 для нормали 2 у — 2 = — (х+2), 11 или 11х + 2у+ 18 = О, или 2х — 11у+ 26 = О, а в точке Мг(-2; 3): для касательной 9 у — 3 = — -(х+ 2), или 9х+ 2у+ 12 = О, 2 для нормали 2 у — 3= — (х+2), или 2х — 9у-31 = О.
9 е. Точка движется по кубической параболе 12у = хз. Какая из ее координат изменяется быстрее? Дифференцируя обе части заданного уравнения по времени 1, получим соотношение между скоростями у,' и х', ординаты у и абсциссы х движущейся точки: 12у,' = Зх~х'„или у,'/х', = х2/4. Таким образом, при х = ~2 отношение у,'/х', = 1, т.е. в точках (2; 2/3) и (-2; — 2/3) кубической параболы скорости изменения координат движущейся по ней точки равны.
Между этими точками (при — 2 < х < 2) О < у,'/х', < 1, т.е. скорость изменения ординаты меньше скорости изменения абсциссы, а вне этих точек (при ~х~ > 2) у,'/х', > 1, т.е. ордината движущейся точки меняется быстрее ее абсциссы.
2.6. Основные правила и формулы дифференцирования функций Пусть и(х) и ю(х) — функции, дифференцируемые в точке х, а Ди) — функция, дифференцируемая в точке и. Далее обозначение аргументов у функций почти везде опустим. у' = Си'. у' = и' =~ ю/. у' = и/о+ ии'. у = Си (С = сопят) у= и3=0 у=ии / / / и у — и1/ у у/ =Ди'. у = ~(и), и= и(х) у = ~(х), х = ~ '(у) х = х(1). Производные элементарных функций 1. (С)' = 0 (С = сопзй).
2. (и')' = 8и' 1 ° и', 1 2~/й 1 / и2 и ри 8 = 1/2 (~//й)' = / при 8= -1 3. (а")' = а"! и а . и' (а > О, а ф 1), (е")'= е" и'. 4. (1о~, и)' = — и' (а > О, а ф. 1). и!па (1 и и)' = — ° и'. 2. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ Основные правила дифференцирования Вопросы и задачи 11. (агс$ди)' = и . 1 1+ и2 12. (агсс$ди) = — — и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
