II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 4
Текст из файла (страница 4)
23 1.5. Производные основных зленентврных амуниций Пример 1.5. Затрачиваемое на нагрев тела количество теплоты Я=Я(Т) зависит от температуры Т этого тела. При изменении температуры на ЬТ приращение затрачиваемого количества теплоты составит ЬЯ = Я(Т+ ЬТ) — ц(Т). Разностное отношение ЬЯ(йТ характеризует среднее значение теплоемкости тела в пределах интервала температур от Т до Т+ ЬТ. Тогда ч'(Т) = 1ип— ~4 ьт-+о ЬТ соответствует значению теплоемкости тела при текущей тем- пературе Т. 1.5. Производные основных элементарных функций Выведем формулы для производных некоторых основных элементарных функций, непрерывных во всей своей области определения [1, 9.5].
При выводе используем эквивалентности бесконечно малых при Ьх +О функций [1, 10.2] пах (1+ Ьх)'-1 Ьх з1п Ьх ФдЬх 1п(1+Ьх) (1.12) 1па 8 Пример 1.8. а. Если у = С = сопзВ, то Ьу = 0 при любом Ьх. Поэтому у =С = 1пп — = — О. г г ° 1~у ь оЬх Известно, что заряд д конденсатора емкостью С связан с падением напряжения и на конденсаторе зависимостью д = Си.
Если считать емкость конденсатора постоянной (С = = сопбФ), то при изменении напряжения сила тока, проходящего через конденсатор, 1 = Ыд/й = Сди/й, поскольку постоянный коэффициент можно, согласно (1.9), вынести эа символ дифференцирования. 24 Е ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ б. Пусть у=х", где я — натуральное число (н6 И).
Тогда Ьу (х+ Ьх)" — х" (х+ Ьх)"-'+ х(х+ Ьх)" '+... + х" '. Ьх (х+ Ьх) — х При Ьх -+ 0 предел разностпного отношенил Ьу/Ьх суще- ствует и равен нх" 1, т.е. у =(х ) =пх" (1.13) Ьр (х+ Ьх)'- х',, (1+ Ьх/х)® — 1 Ьх Ьх Ьх/х Из (1.12) следует существование при Ьх -+ 0 предела разност- ного отношения Ьу/Ьх и равенство у =(х') =зх' (1.14) В частности, если з = — 1 при х ф. О, т.е. у = х ' = 1/х (х ф. О), то у'=-1/х~ (хфО), аесли при х>0 з=1/2,т.е.
у=х'~~= = ~~'х (х > 0), то у'=х '~~/2=1/(2~Д) (х > 0). влюбойточке хай. В частности, при а=1 имеем у'=х'=1. в. Рассмотрим степенную функцию у = х', где з — любое отличное от нуля действительное число (з Е Е ~ (0)). Напомним, что область определения 0(у) этой функции зависит от значения з, а именно 11, 3.5~: если з — иррациональное число, то .0(у) = (О, +со), аесли з — рациональное число (зб Я), то его можно представить отношением з = Й/н, где п Е Х, а й — отличное от нуля целое число (й Е Е ~ (0~), и тогда можно записать: а) 0(у) = Е, если и нечетное и й > 0; б) Р(у) =й~(0), если п нечетное и й < 0; в) 0(у)=(хай: х>0),если п четноеи й>0; г) В(у) = (х ЕЕ: х > 0), если и четное и 1<0.
При х ф.О имеем 1.5. Производные основных злементзрных функций Пример 1.7. Пусть у = япх. Тогда в произвольной точке хай Ьу яп (х + Ьх) — в!и х 2яп(Ьх/2) ° соя(х + Ьх/2) Ьх яп(Ьх/2) сов(х + Ьх/2). Ьх/2 Воспользовавшись непрерывностью функции совх, с учетом (1.12) получим Ьу . в!п(Ьх/2) у'= 1пп — = 1нп сов(х+ Ьх/2) = совх. ьх-+о Ьх ьз-+о Ьх/2 Итак, функция у= япх имеет конечную производную в каждой точке х ~ Е. Аналогичо можно найти производную функции у = совх, равную у' = (сов х)' = — яп х Чх Е Е. Пример 1.8. Для показательной функции у = а' (а > О, а~1, хЕК) Ьу а'+~ — а а~' — 1 =а ~х Ьх Ьх Согласно (1.12), а~~ — 1 ° Ьх1п а при Ьх — ~ О.
Поэтому предел разностного отношения Ьу/Ьх существует и равен у'=(а )'=а 1па Чх ЕВ. В частности, при а = е имеем у'= (е )' = е . Отсюда видно, что скорость возрастания показательной функции (при а > 1) пропорциональна значению самой функции, т.е. чем большего значения функция уже достигла, тем быстрее это значение будет расти при возрастании аргумента. Для логарифмической функции у = !он, х (а > О, а ф 1, х > 0) Ьу 1ои,(х+ Ьх) — 1ои, х 1о1„(1+ Ьх/х) Ьх Ьх Ьх 26 1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 1.6. Односторонние конечные и бесконечные производные Пусть точка х = а является одним из концов того промежутка, на котором определена функция у = Дх).
Тогда при вычислении предела разноспьного отношения Ьу/Ьх приходится ограничиться приближением х к нулю только справа, если точка а является левым концом этого промежутка, или только слева, если она является его правым концом. При существовании таких односторонних пределов говорят об односторонней производной в точке а справа ~+'(а) или слева ~' (а) соответственно. В такой точке график функции имеет одностороннюю касательную (рис. 1.7, а и б).
Рис. 1.Т Может оказаться, что в некоторой внутренней точке х = а того промежутка, в котором определена и непрерывна функция Иэ (1.12) следует, что !о~,(1+Ьх/х) ° Ьх/(х1па) при Ьх-+О. Следовательно, предел разностного отношения Ьу/Ьх существует и равен у' = (!ои,х)' = 1/(х1па). Для натурального логарифма (а= е) имеем у'= (1пх)'=1/х. Итак, при а > 1 скорость возрастания логарифмической функции обратно пропорциональна значению аргумента х и, оставаясь положительной, стремится к нулю при неограниченном возрастании аргумента.
1.6. Односторонние конечные и оесконечные производные 27 у = Дх), существуют не равные между собой односторонние пределы раэностного отношения Ьу/Ьх. Их тоже называют односторонними производными функции в точке а. В этом случае в соответствующей точке графика функции будут существовать односторонние касательные, образующие, вообще говоря, некоторый угол (рис. 1.8). Точку М(а, ~(а)) при этом называют угловой точкой (или точкой излома) графика функции.
Так, для функции Ь(х) = ~х~ из примера 1.3 угловой точкой ее графика является начало координат (рис. 1.9). Рис, 1.9 Один или оба односторонних предела раэностного отношения Ьу/Ьх в точке а могут быть бесконечными. Тогда говорят о бесконечной односторонней производной функции у = ~(х) слева или справа (или и слева и справа) в точке а (в отличие от рассмотренных выше случаев конечной односторонней производной). Для непрерывной функции бесконечная односторонняя производная может быть только определенного знака (либо +ос, либо -оо). Если знаки бесконечных односторонних производных функции и слева и справа в некоторой точке а совпадают, то в этой точке данная функция имеет бесконечную производную определенного знака (положительную на рис. 1.10, а и отрицательную на Рис.
1.10, о). В этом случае касательная к графику функции в соответствующей точке существует и является вертикальной. Если же знаки бесконечных односторонних производных различны, то соответствующая точка графика функции является "ъочкой заострения (точкой возврата) (рис. 1.10, в и г). 1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ У(а) О а х Рис. 1.10 Пример 1.9. а. Пусть Дх) = х'~з.
При х ,-Е 0 ~'(х) = = х ~1з/3. В точке х = 0 производную вычислим согласно определению 1.2. Для этого составим разностное отношение ду ~(0+ дх) — ДО) (дх)1~з 1 д д д (д )газ' из которого ясно, что ду/дх -~+со как при дх -++О, так и при дх -+ -О, т.е. в точке х = 0 данная функция имеет бесконечные односторонние производные одного знака, и позтому ~'(0) =+со. График рассматриваемой функции показан на рис.
1.11, а. б. Функция у= ~х определена при х > 0 (рис. 1.11,б). В точке х = О разностное отношение Ду/дх = (Дх) '1~ и. поскольку можно рассматривать только Дх > О, существует лишь бесконечная производная справа ~+(0) = +со. в. Для функции ~(х) = х~~з в точке х = 0 разностное отношение Д У(0+ Д ) У(0) (Д )2/3 д д. (д )1~з' Отсюда ~+ (О) = 1пп — = 1ип ду = +оо, + ьх ~+одх ь -++о(дх)~Р ~' (0) = Йп — = 1ип ду = — 00. ь -+-о дх ь -+-о (дх)1/з 1,6. Односторонние конечные и бесконечные производные 29 Рис. 1.11 Пример 1.10. Рассмотрим функцию ,~(х) = х в1п (1/х), О, х:фО; х=О. Она непрерывна в любой точке х Е Ж, но не имеет в точке х = 0 даже односторонних производных. Действительно, разностное отношение в этой точке У(0+ Ьх) — ДО) ~(Ьх) .
1 Ьх Ьх Ьх не стремится ни к какому пределу при Ьх -~0. Секущая ОМ1 (рис 1.12), исходящая из начала координат, не имеет предельного положения при стремлении точки М1 к точке О, так что в начале координат не существует к кривой касательной (хотя бы односторонней). Таким образом, эта функция в точке х =0 имеет беско- нечные односторонние производные разных знаков, а ее гра; фик — точку заострения (рис. 1.11, в).
30 1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ Рис. 1.12 1.7. Дифференцируемость функции. Непрерыиность дифференцируемой функции Определеиие 1.3. Фуммциго р=~(х) называют дифферемцируемой в точке а, если отвечающее приращению Ьх приращение Ьу этой функции в окрестности точки а может быть представлено в виде (1.15) Ьу = АЬх+,В(Ьх)Ьх, где А — некоторое число, не зависящее от Ьх, а,д(Ьх) —- функция, бесконечно малая (б.м.) при Ьх -~ О.
Ясно, что в (1.15),8(Ьх)Ьх при Ьх-+О как произведение бесконечно малых функций есть б.м. функция более высокого Пусть функция р = Дх) определена в некотором интервале Е, содержащем точку х = а. Возьмем такое приращение Ьх аргумента х, чтобы точка а+ Ьх не вышла из этого интервала, т.е. а+Ьх б Е. 31 1.7.
Днфференцнруемость функции порядка по сравнению с Ьх. Поэтому (1.15) можно переписать в виде Ьу = АЬх+ о(Ьх). (1.16) Равносильность дифференцируемости функции в точке и существования в этой точке конечной производной данной функции устанавливает следующая теорема.
Теорема 1.1. Для дифференцируемости функции у = ~(х) в точке а необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. 4 Необходимость. Если функция дифференцируема в точке а, т.е. справедливо (1.15), то при Ьх ф- О получим Ьу/Ьх = А+,В(Ьх). Отсюда следует, что существует конечный предел Ьу 1ип — = А, ь -+оЬх т.е. существует конечная производная ~'(а) и А = ~'(а). Достаточность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
