II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пусть функция у = ~(х) имеет в точке а конечную производую Г(а), т.е. существует конечный предел 1нп — = ~ (а). ° ~~~У г ьх-+о Ьх 11о теореме 7.3 [! ~ о связи функции, ее предела и б.м. функции, согласно (1.2), можно написать ЬУ/Ьх =,~'(а)+~Цех), Пример 1.11. Выразим приращение функции у = х~ в произвольной точке а Е Е через приращение Ьх аргумента и проверим, является ли эта функция дифференцируемой в такой точке. В точке а приращение Ьу = (а+ Ьх)2 — а2 = = 2аЬх+ (Ьх) 2 функции у = х~ соответствует представлению (1.15), если положить А = 2а и,8(Ьх) = Ьх. Следовательно, согласно определению 1.3, эта функция дифференцируема влюбой точке аб Е.
$ 32 1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ где Д(Ьх) — функция, б.м. при Ьх -+ О. Отсюда Ьу = = АЬх+~3(Ьх)Ьх, что в силу определения 1.3 означает дифференцируемость функции у = ~(х) в точке а. ~ В ходе доказательства теоремы 1.1 установлено, что для дифференцируемой в точке а функции у = Дх) выполнено равенство А = ~'(а). Поэтому (1.15) можно представить в виде Ьу = ~'(а)Ьх+ ~3(Ьх)Ьх.
(1.17) Теорему 1.1 называют необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции одного переменного. Она позволяет дать еще одно определение дифференцируемости такой функции: функцию у = ~(х) называют дифференцируемой в точке а, если в этой точке существует конечная производная ~'(а). Необходимое условие дифференцируемости функции в точке устанавливает следующая теорема. Теорема 1.2.
Если функция у = Дх) дифференцируема в точке х = а, то она непрерывна в этой точке. ~ Так как функция у = ~(х) дифференцируема в точке а, ее приращение представимо в виде (1.16) Ьу = АЬх+ о(Ьх). Отсюда сразу следует !нп Ьу= О, Ью-эО что равносильно (1.1) и означает непрерывность функции у = = Дх) в точке а. > Замечание 1.1.
Полагая ~9(Ьх) -+ О при Ьх -+ О, обычно считают, что Ьх не принимает нулевого значения, а изменяется в некоторой проколотой окрестности точки Ьх = О. Чтобы использовать (1.17) и при Ьх = О, примем, что ~3(О) = О. Теперь запись Ьх — ~ О можно понимать в более широком смысле, не исключая для Ьх при стремлении к нулю возможности принимать среди прочих и нулевое значение.;,ф Вопросы и задачи 33 Замечание 1.2.
Утверждение, обратное утверждению этой теоремы, неверно, т.е. из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке. Так, функции д(х) =х~/з и Ь(х) = ~х~ из примера 1.3 непрерывны в точке х= = О, но не имеют в этой точке конечной производной и поэтому недифференцируемы в точке х = О. ~ В заключение дадим определение. Вопросы и задачи 1.1. Пользуясь определением 1.2 производной, найти производые функций Дх) = совах и д(х) = 5х~ — 2х.
1.2. Определить среднюю скорость точки при движении ее в соответствии с законом 8 = Р— 51+ 2 в промежутке времени от 11 — — 5 до 1р — — 15. 1.3. Показать, что следующие фукции не имеют конечных производных в указанных точках: а) у = хз/5 в точке х ='О; б) у = (х — 1)'~з в точке х = 1; в) у = З~х~+1 в точке х = О. 1.4. Убедиться, что производная функции х~81п(1/х) при х ф.
О; О при х=О Определение 1.4. Функцию, дифференцируемую в каждой точке открытого множества Х С Ж, называют дифференцируемой на множестве Х. Например, функция у = х~ дифференцируема в любой точке множества Е действительных чисел, т.е. дифференцируема на всем множестве И. В частном случае, если Х =(а, 6), то говорят, что функция дифференцируема в интервале (а, 6). Если функция дифференцируема в каждой точке своей области определения, то ее называют просто дифференцируемой. 34 1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ существует при любом х б Е, но в точке х = О она терпит разрыв второго рода.
1.5. Исследовать дифференцируемость функций в указанных точках: а) у = х', з Е Е в точке х = О; б) у = х~х~ в точке х = О; в) у = ~ 1пх~ в точке х = 1; г) у = ~совх~ в точках х = л'/2+их (и Е Х); д) у=2Щх)~, если 3~'(х) Чх ЕЕ; е) у= ~х — а~д(х) в точке х= а, если в зтой точке функция д(х) непрерывна. 1.6. Привести пример непрерывной функции, не имеющей производной: а) в точке а б Е; б) в п точках а1, аг, ..., а„б Е. 1.7. Верны ли утверждения: а) производная дифференцируемой четной функции является функцией нечетной; б) производная дифференцируемой нечетной функции есть функция четная; в) производная дифференцируемой периодической функции является функцией периодической с тем же периодом? 1.8. Известно значение производной ~'(а) Е Е.
Найти при и -+ оо пределы последовательностей а) (пЩа+ 1/и) — Да))); б) (п(~(а) — Да — 2/и)) ); в) (и(~(а+ 1/и) — ~(а — 1/и))); г) (п(Ц~а) — ~Да+!/и))) 1=1 и отношения (а 1(х) — х ~(а))/(х — а), т Е Х при х — ~а. 1.9. Найти предел отношения фх)д(а) — ~(а)д(х))/(х — а), если известны значения ~'(а) и д'(а). Вопросы и задачи 35 1.10. При каком условии касательные к графикам дифференцируемых функций ~(х) и у(х) в точке пересечения графиков будут взаимно перпендикулярны? 1.11.
Выразить через значения ~(а) и ~'(а) дифференцируемой в точке х = а функции ~(х) длины отрезков касательной к графику функции в точке М(а; Да)), нормали, подкасательной и поднормали (см. рис. 1.6). 1.12. Доказать, что лучи, исходящие из точки (О; 1/2), после зеркального отражения от графика функции р = х~ параллельны оси ординат. 1.13. Сравнить на промежутке времени О < $ < 1 средние и мгновенные скорости двух тел, прямолинейное движение которых задано уравнениями 81 —— Р и 82 — — 21 — Р. 1.14.
Для тела с постоянной массой т, прямолинейное движение которого задано уравнением 8 = Р + 1 + 1, найти зависимость от времени 1 кинетической энергии тела. 1.16. Подобрать такие значения с1 и со для функции х2 при х<а; У= с1х+со при х > а, чтобы она была дифференцируема в точке х = а. Дать геометрическую интерпретацию. 1.15.
Доказать, что существование конечных односторонних производных в точке влечет непрерывность функции в данной точке. 2.ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 4?УНКЦИЙ Рассмотренные выше понятия и свойства производной позволяют установить правила дифференцирования суммы, разности и произведения функций, частного от деления одной функции на другую, а также получить выражения для производных сложной и обратной функций. Все эти правила составляют основу для практического применения дифференциального исчисления. 2.1. Дифференцирование и арифметические операции Теорема 2.1. Пусть функции и(х) и ю(х) дифференцируемы в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы их сумма (разность), произведение и частное (последнее при условии и(х) ф.
0), причем (опуская в обозначениях аргумент х) справедливы равенства: 1) (и+и)'= и'+и', 2) (ию)'=иЪ+ии', и ~ и'е — ие' ° При доказательстве используем определение 1.2 производной и правила предельного перехода для суммы, произведения и частного двух функций [1, 7.41. 1. Пусть у(х) =и(х)~о(х). Дадим аргументу х приращение Ьх. Тогда функции и, е и у получат соответственно приращения Ьи = и(х+ Ьх) — и(х), Ьо = о(х+ Ьх) — и(х) и Ьу= у(х+Ьх) — у(х) = ((и+Ли) ~=(о+ Ьо)) — (иди) = Ьи~Ьс'.
37 2.1. Диффереицироваиие и арифметические операции Отсюда при Ьх ф О Ьу Ьи Ьо Ьх Ьх Ьх (2.1) Так как функции и и о дифференцируемы в точке х, в этой точке существуют конечные пределы Ьи Ью 1ип — = и'(х) и 1ип — = е'(х). (2.2) ьх-+о Ьх ь -+оЬх Переходя в (2.1) к пределу при Ьх -+ О, с учетом (2.2) и правила предельного перехода для суммы функций получаем, что существует конечный предел правой части (2.1), равный и'(х) с о'(х). Но тогда существует равный ему конечный предел и левой части (2.1), причем 1нп — = у'(х). о,х-+о Ьх у'(х) = (и(х) ~ о(х)) = и'(х) ~ о'(х). (2.3) 2. Пусть теперь у(х) = и(х)и(х), а приращению Ьх соответствуют приращения Ьи, Ье и Ьу= (и+Ли)(ю+Ьо)— — ию= юЬи+иЬо+ЬиЬю.
Отсюда при Ьх,-ЕО Ьу Ьи Ью Ьи — = ю — +и — + — Ьо. (2.4) Ьх Ьх Ьх Ьх Согласно теореме 1.2, из дифференцируемости функции о в точке х следует ее непрерывность в этой точке, т.е. (2.5) 1ип Ь~=О. Ьх-эО ~ силу (2.2), (2.4), (2.5) и правил предельного перехода для суммы и произведения функций существует конечный предел Ьу . Ьи Ьо Ьи 1~ п — = 1цп и — +и — + — Ью =и'(х)о(х)+и(х)ю'(х), ~х-~0 Ьх Ьх-+о Ьх Ьх Ьх Таким образом, в точке х существует конечная производная функции у(х) = и(х) ~ю(х), равная 38 2. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ т.е. в точке х существует конечная производная функции у(х) = и(х)и(х), равная у' = (ии)' = и'и + ии'. (2.6) 3.
Если в точке х выполнено условие и(х) ф О, то в этой точке определена функция у(х) = и(х)/и(х). Приращению Ьх соответствуют приращения Ьи, Ьи и и+ Ьи и иЬи — иЬи и+ Ьи и и(и+ Ьи) ' (2.7) Отсюда при ЬхфО ~Ха ~Хо и — — и— у Ьх Ьх Ьх и(и+ Ьи) Ьу и'и — ии' 1ип — = ь -+оЬх и2 т.е. в точке х существует конечная производная функции у(х) = и(х)/и(х), равная и ~ и'и — ии' (2.8) Таким образом, все три утверждения теоремы доказаны. ° Правило диффереицировакия суммы двух дифференцируемых функций нетрудно распространить на любое конечное число дифференцируемых слагаемых. Если функции и, и и го дифференцируемы в точке х, то (иити)' = ((ии) ж) = (ии)'ш+ (ии) ш' = = (и и+ ии')ш+ иишш и иш+ иииш+ иив Согласно (2.2), (2.5), (2.7) и правилам предельного перехода для суммы и частного функций, заключаем, что существует конечный предел 2.1. Диффереоцирование и арифметические операции 39 'Гакая процедура справедлива для любого конечного числа дифференцируемых сомножителей: (ииа "з)'= и'ов" з+мо'ю "з+...+июж" з'.
(2.9) Для доказательства (2.9) достаточно воспользоваться методом математической индукции. Если в точке х каждый из и дифференцируемых сомножителей Ях) (Й = 1, п) отличен от нуля, то производную произведения этих сомножителей можно записать в виде (2.10) Как следствие из теоремы 2.1 вытекает установленное в примере 1.3 правило дифференцирования функции у = Си, где С= = сопвВ, и — дифференцируемая функция: у = (Са)' = С'и+ +Си' = Си', поскольку, согласно примеру 1.6, производная постоянной величины равна нулю (С' = 0). Используя (2.8), можно найти производную функции у = С/о (С = сопя~): (2.11) Из утверждений теоремы 2.1 вытекает правило дифференцирования линейной комбинации конечного числа т дифференцируемых функций Ях), Й=1,т при с~=сопзФЕЕ ~ххах(х) = ~схД(х), (2.12) т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
