II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 3
Текст из файла (страница 3)
График зависимости Ьу от Ьх в фиксированной точке а совпадает с графиком а(х) на рис. 1.1, если отсчет приращений вести от точки а на оси абсцисс, или же с графиком ~(х), если начало отсчета перенести в точку М. Пример 1.1. Предположим, что функция Дх) описывает работу некоторого устройства по преобразованию входного 1.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ Рис. 1.2 Рис. 1.3 Один из простейших примеров такого устройства — пружина (рис. 1.3), один конец которой закреплен, а к другому приложена растягивающая сила Р (входной сигнал), вызывающая его перемещение и (выходной сигнал). Другой пример — резистор (рис. 1.4), через который протекает злектрический ток силой 1 (входной сигнал) и вызывает падение напряжения ~ (выходной сигнал), Эти устройства объединяет то, что преобразование сиг- 1 налов в них можно рассматри- 1+Я вать как линейное, т.е. можно считать отклонения входного и У выходного сигналов от их но- Ч+ЬT минальных значений пропорциональными: Рис. 1.4 Ьи/ЬР = 5, йХ/Ы = В.
Податливость Я пружины (величина, обратная ее жесткости) и сопротивление В резистора характеризуют относительную чувствительность преобразовательного устройства. $ сигнала х в выходной сигнал у (рис. 1.2), причем номинальному значению х = а сигнала на входе соответствует номинальное значение у = Да) на выходе. При отклонении на Ьх входного сигнала от номинального значения на выходе возникает отклонение Ьу, которое можно считать характеристикой абсолютной чувствительности данного устройства.
17 1,2. Раэностное отношение В общем случае для произвольной функции у = Дх) с помощью отношения приращений Ь у ЬДа) Да+ Ьх) — Да) Ьх Ьх Ьх Пример 1.2. Пусть функция 8 = Д$) описывает зависимость от времени 1 расстояния з, пройденного точкой М (рис. 1.5), причем в момент времени 1о точка занимает положение Мо, а пройденное к этому моменту расстояние 8о — — О = Д~о). Через промежуток времени Ь|=11 — 1о точкаокажется в положении М1, а пройденное расстояние будет 81 — — Щ) = = Д~о+ Ь~). В данном случае разностное отношение Ь8 81 — 8О У(~О+ ~~) — ФО) Ь (1.7) ~1 — ~О равно средней скорости о,„, с которой должна была бы равномерно двигаться точка в течение промежутка времени Ь$, чтобы пройти расстояние Ь8.
При неравномерном движении значение ю,„зависит как от 1о, так и от выбора Ь$, но это 2-544 называемого раэмостиным отпмошением, можно получить полезную информацию о поведении этой функции в окрестности точки х = а. В фиксированной точке а оно является функцией у(Ьх), зависящей только от Ьх и определенной в о проколотой окрестности 0(0) точки Ьх = О. При Ьх + О разностное отношение представляет собой неопределенность вида ~0/0]. Для раскрытия этой неопределенности необходимо использовать теорию пределов. В связи с этим рассмотрим механическую и геометрическую интерпретацию разностного отношения. 18 1.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ значение будет одинаково для любых зависимостей, графики которых проходят через точки М0 и М1 (см. рис. 1.5, сплошная, штриховая и штрихпунктирные кривые). Чтобы получить более точное представление о скорости точки М в момент времени $0, следует уменьшать промежуток времени Ь~ и в пределе устремить его к нулю (Ь$ -+ О). Тогда предел (если, конечно, он существует) естественно назвать мгновенной скоростью точки М в момент времени ~0.
Ясно, что при равномерном движении мгновенная скорость в любой момент времени совпадает со средней скоро- стью (о= е,„). 4~ Теперь рассмотрим задачу определения углового коэффициента касательной к кривой. Пусть график функции р = ~(х) в окрестности точки а имеет вид, показанный на рис. 1.6. Проведем через точки М1 (а+ Ьх, Да+ Ьх)) и М(а, ~(а)) прямую, называемую секущей. При перемещении точки М1 по кривой меняется и положение секущей. Рис. 1Я Определение 1.1. Если существует предельное положение секущей ММ1, когда точка М1, перемещаясь вдоль кривой графика, стремится к точке М, то это положение секущей называют косапаемькой к графику функции р = ~(х) в точке М. Найдем угловой коэффициентп касательной к графику у = = ~(х) в точке М(а, Да)).
Из рис. 1.6 следует, что угловой 19 1.3. Понятие производной коэффициент секущей ММ1 совпадает с разностным отношением, т.е. Фд~3 = Ьу/Ьх. Для получения углового коэффициента касательной нужно перейти к пределу в этом разностном отношении при Ьх -+ О. Так как при этом угол,9 — + а (см. рис. 1.6), в силу непрерывности функции йдх угловой коэффициент касательной й = Фдад = 1ип ф~,9 = 1пп —, ,Ьу Ьх-+О Ьх-+о Ьх или ~(а+ Ьх) — ~(а) Ь -+о Ьх Таким образом, переход в разностном отношении (1.6) к пределу при стремлении приращения аргумента к нулю позволяет получить новую характеристику рассматриваемой функции в точке, уже не зависящую от выбора значения этого приращения. 1.3.
Понятие производной Пусть функция у = ~(х) определена в точке х = а и некоторой ее окрестности. Определение 1.2. Производной ~'(а) функции Дх) в фиксированной точке х = а называют предел при Ьх -~ О разноспьного отношения (1.6) (при условии, что этот предел существует), т.е.
ЬДа) . ~(а+ Ьх) — ~(а) Ьх~о Ьх ь*-+о Ьх Предел в (1.8) может быть конечным или бесконечным. В связи с этим можно говорить о конечной или бесконечной производной. Пока ограничимся случаем, когда предел конечен. Штрих у символа функции обозначает операцию вычисления производной по аргументу данной функции, называемую 20 1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ дифференцированием, в скобках указано фиксированное значение аргумента, при котором вычислена производная.
Производную функции у = ~(х) также обозначают у'(х), у', Йу(йх или просто у'. Пример 1.3. Производная произведения функции ~(х), имеющей в точке х =а производную, и постоянной С, согласно (1.8), равна СДа+ Ьх) — СДа) Ьз-+о Ьх = С 1ип — СДа)'. (1.9) ьж-+о Ьх Следвательно, константу С можно выносить за символ дифференцирования. Найдем производные в точке х=а функции ~(х) =х2 при а=1 и а=О и функций д(х) =х2~з и Ь(х) = ~х~ при а=О Функция Дх) = х2 определена на всем множестве Е действительных чисел. Поэтому в некоторой проколотой окрестности точки а имеет смысл разностное отношение вида (1.6) ДУ(о) (и+ Д х)2 02 о2+ 2о~х + (~х)2 п2 — 2а+ Ьх, Ьх Ьх Ьх для которого ЬДа) ьх-+о Ьх т.е. в силу определения 1.2 производной ~'(а) = 2а. Из полученного результата следует, что функция ~(х) = х2 имеет конечную производную влюбой точке абЕ.
При а=1 ~'(1) = = 2, а при а = 0 У'(0) = О. Функция д(х) =х2~з тоже определена для всех х ЕЕ и в точке а=О Ьх = х — а= х д(0) =0 и Ьд(0) =(Ьх)2~з. При Ьх -+ 0 разностное отношение Ьд(0)/Ьх = 1/(Ьх) '(з -+ оо, т.е. в точке а = 0 функция имеет бесконечную производную. 1.4. Мехаыический и геометрический смысп проиэводной 21 Для функции Ь(х) = ~х~, х Е Ж в точке а = О имеем разностное отношение ЬЬ(0)/Ьх = ~Ьх~/Ьх, но для него при Ьх -+ 0 не существует ни конечного, ни бесконечного предела.
Таким образом, в указанной точке у данной функции не существует производной. Отсюда следует, что функция не обязательно в каждой точке своей области определения имеет производную. 1.4. Механический и геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к плоской кривой Механический смысл производной еще до введения ее определения был выявлен, по существу, в примере 1.2. Теперь можно констатировать, что механический смысл производной функции 8= Д1), описывающей движение точки М в зависимости от времени 1 (см. рис. 1.5), состоит в том, что значение производной ~'(1о) равно мгновенной скорости точки в момент времени ~о.
Отметим, что в механике дифференцирование по времени обычно обозначают точкой над символом функции, т.е. вместо з' пишут 8 (эта традиция восходит к И. Ньютону, который такое обозначение ввел в 1692 г.). Термин „скорость" в связи с понятием производной можно воспринимать не только в механическом смысле, но и более широко — как скорость изменения значения функции при изменении ее аргумента или как коэффициент влияния изменения аргумента на изменение функции. С геометрической точки зрения значение производной ~'(а) в данной точке х = а равно угловому коэффициентпу хпсотельков к графику функции у = Дх) в точке М(а, Да)).
Зная геометрический смысл производной, нетрудно написать уравнение касательной к плоской кривой у = Дх) в точке М(а, Да)), если касательная не параллельна оси Оу. Из аналитической геометрии известно 1111), что уравнение прямой с 22 1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ заданным угловым коэффициентом Й и проходящей через точ- ку М(а, ~(а)) имеет вид у — Да) = Й(х — а). Для касательной Й = ~'(а).
Поэтому искомым уравнением будет у — ~(а) =,~'(а) (ж — а). (1.10) Прямую, проходящую через точку М (см. рис. 1.6, линия ММ) перпендикулярно касательной, называют нормалью к графику функции у = Дм) в точке М. Если ~'(а) ф- О, то уравение нормали имеет вид у — Да) = -(х — а)/~ (а). (1.11) В случае ~'(а) = О нормаль вертикальна, т.е. ее уравением будет а = а. В прямоугольном треугольнике МАКОТО (см. рис. 1.6) катет ТОМ называют отпреэком касатиельной, катет ЖОМ— отиреэком нормали, а их проекции ТОМ0 и ФОМ0 на ось абсцисс — отпреэками подкасаттъельной и иоднормали соответственно.
Приведем еще два примера, выявляющих физический смысл понятия производной. Пример 1.4. Пусть количество электричества, проходящего в определенном направлении через фиксированное поперечное сечение проводника, задано зависимостью д = д($) от времени 1. Тогда за промежуток Ь$ через это сечение пройдет количество электричества Ьд = д($+ Ь1) — д(~). Раэностное отношение Ьд/Ь| определяет среднюю за этот промежуток времени силу тока, а является мгновенным (в момент времени 1) значением силы тока в фиксированном поперечном сечении проводника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
