II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 6
Текст из файла (страница 6)
дифференцирование является линейной операцией. Пример. а. Используя правило (2.8) дифференцирования дроби и результаты примера 1.7, найдем производную функции 40 2. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ тангенса з1п х (з1п х)'созх — з)п х (созх)' (~вх)'= созх соз2 х соз2 х+ з1п2 х 1 соз2 х соз2 х при условии, что созх ф О. Аналогично для функции котангенса можно получить (с~~х)' = — 1/'з1п2х при условии, что з1п х ф. О. Таким образом, функции тангенса и котангенса дифференцируемы в каждой точке своей области определения. б. Продифференцируем функцию 2х2+ хз — созх 7 3/х Преобразуем сначала эту функцию к виду х5/3+ -хз/3 — -х 1/зсозх.
2 1 1 7 7 7 По правилам дифференцирования суммы и произведения с учетом (1.14) и результатов примера 1.7 получим у = — (х/)+-(х/) — -(х / созх) = — -х/+ ьз~ 1 зз~ 1 -13 ~ 2 523 7 7 7 7 3 5/3 1 -1 4/3 1 1/3 ° + — -х — — — х ' созх — -х ' (-з1пх) = 7 3 7 3 7 10х2/3+8хз/3+ х 4/3созх+3х 1/зз1пх в. На кривой у = х3 — Зх+5 найдем точки, в которых касательная параллельна прямой у = — 2х. Известно (см. 1.4), что угловой коэффициент касательной к кривой у= ~(х) в точке а равен значению /'(а) производной функции ~(х) в этой точке. В нашем случае ~'(а) = За2 — 3. Из условия параллельности прямой с угловым коэффициентом Й = — 2 и 2.1.
Дифференцирование и арифметические операции касательной имеем ~'(а) = Й или За2 — 3 = — 2. Отсюда а2 = = 1/3, т.е. а1 — — -1/~З и а2 — — 1/~ГЗ. При этом Да1) = = 5+ 8~/3/9 и ~(а2) = 5 — 8~/3/9. Итак, искомыми являются точки М1(-ъ~З/3, 5+ 8ч~З/9) и М2(43/3, 5 — 8~(3/9). г. Рассмотрим функцию в форме определитпеля О(х) = = с1е$(и;-(х)) матприцы (и;.(х)), элементпы и; (х) (~,~ = 1, п) которой являются дифференцируемыми функциями аргумента х. Для вычисления производной О'(х) используем разложение определитпеля по элементам з-й строки, опустив обозначение аргумента х, где А;.
— алгебраическое дополнение к элементу, стоящему в ~-й строке и 1'-м столбце, в которое не входят элементы этих строки и столбца. Таким образом, от каждого из элементов и; определитель зависит линейно. Поэтому в силу линейности операции дифференцирования производная определителя должна быть линейной комбинацией производных всех его элементов, а коэффициентами этой линейной комбинации будут алгебраические дополнения к элементам. Тогда с учетом суммирования по номерам строк найдем и к и; 'А;-. Эта формула симметрична относительно индексов г и 1, т.е. производную 0' можно представить либо как сумму по г из п определителей, каждый из которых отличается от исходного заменой элементов и; г-й строки производными и';, либо как сумму по 1' из и определителей, отличие которых от исходного состоит в замене элементов 1'-го столбца их производными.
Например, для определителя третьего порядка 2. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ 42 получим / / / и11 и12 и13 и21 игг игз + из1 изг изз и11 и12 и1З и21 и22 и23 / / / из1 изг изз и11 и1г и1з / / / и 21 и22 и23 из1 изг изз или / ии и12 и1з / иг1 игг игЗ / из1 изг изз иИ и12 и1З / / и21 игг игЗ иЗ1 и32 изз / иИ и1г и1З / / и21 игг игЗ / и31 и32 изз 2.2. Производная сложной функции Пусть в некоторой окрестности точки х = а определена функция и =д(х), а в окрестности точки 6 = д(а) — функция Ди). Тогда существует окрестность точки а, в которой определена сложная функция (суперпозиция функций) ~1, 3.3] Р(х) = ~(д(х)) = (~ од)(х).
На рис. 2.1 показана связь между функциями д(х),,~(и) и Е(х) и их приращениями. Теорема 2.2. Пусть функция и = д(х) дифферекцируема в некоторой точке а, а функция у = Ди) дифференцируема в соответствующей точке Ь = д(а). Тогда сложная функция 1'(х) = ~(д(х)) дифференцируема в указанной точке а и (/(/(х))) = /,',(6)д'(а). (2.13) ~ Пусть приращению Ьх аргумена х вточке а соответствует приращение Ьи функции и =д(х), а Ьи, в свою очередь. Ясно, что формула для 0' не изменится, если воспользоваться разложением 0 по элементам 1'-го столбца, поскольку опре- делитель сохраняет свое значение при транспонировании мат- рицы [Ш].
43 Г.Г. Производнан сложной функции Рис. 2.1 вызывает приращение Ьу функции у = Ди). Так как функ- ции у=Ди) и и=д(х) дифференцируемы в точках 6 и а соответственно, то их приращения, согласно (1.17), можно за- писать в виде Ь| = ~'(6)Ьи+ а(Ьи)Ья и Ьи = д'(а)Ьх+ ~3(Ьх)Ьх, где а(Ьи) и ~У(Ьх) — функции, бесконечно малые (б.м.) при Ьи — ~О и Ьх-+О соответственно. Отсюда Ьу = (~'(6) + а(Ьи) ) (д'(а) + ~3(Ьх) ) Ьх = = ~'(6)д'(а)Ьх+ уЬх = ЬР. (2.14) Здесь ЬР— приращение сложной функции Р~х) = ~(д(х)), вызванное приращением Ьх ее аргумента х, а ~ = ~'(Ь)Д(Ьх) + + д'(а) а(Ьи) + а(Ьа) ф(Ьх). Так как Ьи-+О при Ьх-+О, то ~ является функцией, б.м. при Ьх -+ О.
Тогда (2.14) соответствует условию (1.15) определения 1.3 дифференцируемой функции. Таким образом, сложная функция Р(х) =~(д(х)) дифференцируема в точке а„ 44 2. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ а иэ сопоставления (1.17) и (2.14) следует, что ее ироизводнал определяется формулой (2.13). ~ Из доказанной теоремы следует иравиюо дифференцированил сложной фрикции: производная сложной функции Г(х) = у(и(х)) по независимому переменному х равна произведению производной функции у(и) по промежуточному аргументу и и производной промежуточного аргумента. и(х) по х, т.е. Р'(з) = у„'~, и'(з).
(2.15) Если сложная функция получена в результате нескольких суперпозиций, то ее производную следует искать последовательным применением правила дифференцирования сложной функции (его в связи с этим иногда называют цеткиным правилом). Это правило обычно применяют, не вводя в явном виде промежуточные аргументы. Пример 2.1.
Пользуясь правилом (2.15) дифференцирования сложной функции, найдем производные следующих функций. а. Г(х) = Б~пзх. Пусть у = из и и = япх, причем обе эти функции дифференцируемы. Согласно примерам 1.6 и 1.7 у„' = Зи~ и и', = созх. Производная у„' должна быть взята при и = 8)пх, поэтому в итоге получим Р'(х) = (япзх)' = = З(япх)~созх = За~п~х созх. б. Р(х) = 1п~х~.
Из примера 1.8 следует, что при х > О функция 1пх имеет производную (1пх)'=1/х. Таким образом, при х > О Р'(х) = 1/х. Покажем, что эта формула верна и при х < О. Для этогообозначим и= — х и у=1пи. Тогда у„' =1/и, и' = — 1 и, согласно (2.15), Р'(х) = (1/(-х)) (-1) = 1/х.
Итак, (1п~х~)'=1/х при хф-О. в. Р(х) = 5' ' . Функции у = 5" и и = созх дифференцируемы, причем в силу примеров 1.7 и 1.8 у'= 5" 1п5 и и', = — 81пх. В итоге, согласно (2.15), Р(х) = (5' ")' = = (5""'1п5)( — япх) = — 5""япх 1п5. 4~ 45 2.2. Производная сложной Функции Пример. а. Пусть у = 1п2(х4 — 3 '). Тогда (х4 — 3 ')' у'=2(1п(х — 3 ~))11п(х — 3 ~)) =2(1п(х — 3 ) 4 б.
для функции у = в1пзЗх+совс~х/5) — 15з/из+ 1 произ- водная (,/* + )' у' = 2в1п Зх ° (в1п Зх)'+ 7сов~ — ° 1 сов -~1 5 ( 5л совз хз+1 / = 2з1пЗх совЗх (Зх) +7сов —. ~ — в1п — ) ~ — ~— 5 ~ 5/~5/ 1 1 2+ 1)/ совз~х~+1 2~~~+1 7 х = Зв16х — -з1п — соз 5 5 5 з/хз + 1 сов з з/Р + 1 Разумеется, при некотором навыке отпадает необходимость в столь подробных выкладках, если, последовательно применяя цепное правило, промежуточные аргументы представлять мы- сленно. в. Пусть у= В этом случае 2з/х/ г. Покажем, что функция у= хе /2 удовлетворяет уравнению ху' = (1 — х2)у (его называют обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка ~7111]).
Сначала найдем производную заданной функции: -х~/2 + — х~/'2 ( ) (1 2) -х~/'2 46 2. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ Отсюда ху' = (1 — х2)хе ~~ = (1 — х~)у, т.е. указанная функция обращает заданное уравнение в тождество. Пример 2.2. С помощью правила (2.15) дифференцирования сложной функции нетрудно найти производные гиперболических функций 11, 7.81 ех — е х ех+е х вЬх сЬх зЬх =, сЬх =, йх = —, сФЬх = —. 2 ' 2 ' сЬх' вЬх С использованием результатов примера 1.8 получим ех + е-х ех — е х (вЬх)' = = сЬх и (сЬх)' = = зЬх, 2 2 сЬх ° сЬх — зЬх ° вЬх 1 (~Ьх)'— СЬ2х сЬ2х вЬх.зЬх — сЬх.сЬх 1 (с1Ь х)'— вЬ~х вЬ2х' Пример 2.3.
Рассмотрим показательно-стпепенную функцию 11,9.5) у=и" (и>0), где и и ю являются дифференцируемыми функциями аргумента х. После логарифмирования (2.16) !пу= ю1пи и последующего потенцирования эту функцию можно предста- вить в виде ео!пи (2.17) Так какфункции и и ю дифференцируемы, всилутеоремы2.2 сложная функция (2.17) также дифференцируема в тех точках х, для которых и > О и одновременно определена функция о.
Продифференцируем обе части (2.16) по х: 1 с — у = и спи+о — и. у и а затем с учетом правила (2.8) дифференцирования частного двух функций и свойства гиперболических функций сЬ2х— — зЬ~х = 1 найдем 47 2.2. Производная сложной функции у' = и" ( — и'+ о')и и). и Впервые эту формулу вывел И. Бернулли. ~ Производную от натурального логарифма заданной функции называют лоеарифмической ироиэводиой этой функции.
Вычисление такой производной, называемое логарифмическим дифференцированием, полезно использовать при нахождении производных произведения и частного, степенной, показательной и показательно-степенной функций. Пример. Применяя логарифмическое дифференцирование, найдем производные следующих функций. а. Пусть у= х""~. Тогда 1пу = з1пх 1пх и далее у'/у = =созх 1пх+(япх)/х. В итоге япх у'= у — +созх 1пх =х""~ ~з)пх+х"" созх )пх. х б. Если у =(~/~~х) +', то )пу=(х+1))п~~Яж или 21пу= = (х+1))пФцх. Отсюда 2, х+1 1 -ус = )и Сжх+ —.
у Ых созгх и, наконец, д' = ( —, + 1и ф~х) ( ф~ж) в. Пусть з~21 х ° 3 /~2 ЫЗ . 2, г Отсюда у'= у(и'ю/и+ и')пи), или после подстановки выраже- ния для у получим 48 2. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ Используем замену ю =!и ~у~. Тогда после логарифмирования получим ~ = 1п~у~ = (2/3)!п~х~+ 1п~1 — х~ — 1п(1+ Х2) + +31п~з1пх~+21п~созх~. С учетом примера 2.1,о при условии, что у ,-Е О, найдем у' 2 1 х созх з1п х — = — — — — 2 — +3 —. — 2 —. у Зх 1 — х 1+х2 з1пх созх Окончательно 2 1 х з~21 — Х . 3 2 у= 2 +ЗсФдх — 2$цх ~~х2 — з1п х соз х. Зх 1 — х 1+х2 1+х2 2.3.
Производная обратной функции д'(6) = —, ~'(а) (2.18) ~ Дадим значению у = 6 приращение Ьу. Тогда функция х = д(у) тоже получит соответствующее приращение Ьх. При Ьуф. О в силу однозначности функции у = баХ) будет отлично от нуля и Ьх. Поэтому допустимо рассматривать отношения ,Ьх 1 Ьу Ьу/Ьх (2.19) Если теперь Ьу-+О, то и Ьх-+О ввиду непрерывности функции х = д(у). Но тогда знаменатель в правой части (2.19) стремится к пределу ~'(а) ф. О, т.е. существует конечный предел правой части (2.19), равный 1/~'(а). Следовательно, существует конечный предел и левой части (2.19), в силу определения 1.2 Теорема 2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
