II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 8
Текст из файла (страница 8)
1 1+и~ * 13. (зЬи)'= сЬи и'. 5. (в1 п и) ' = соз и и'. 6. (сози)'= — япи и'. 7. (~~ и)' = — и'. сов~ и 8. (сФди) =- —. и. у 1 у в1п~и 9. 'гагса!пи)'= и. 1 1 и2 10. Гагсспаи)'= — и иг 14. (сЬи)'=зЬи и'. 15. (Й и)' = — и'. сЬ и 16. (сг,Ь и)' = — — и'. зЬ~ и Вопросы и задачи 2.1. Пользуясь правилами дифференцирования, найти производные следующих функций: а) у = 2хз+ Зх — 5; б) у = ~/х+ 1/(2~/х) + х'о/10; в) у = (2х2+х+1)/(х2 — х+1); г) у = (х+~Гх)/(х-Зф~х); д) у = (созх+з1пх)/(1 — совх); е) у = е (созх+з1пх); ж) У=2е*+1пи; з) У=2и)п12и+~4и~+1) — Г/4ий+1; и) у=г1~х+с®~х — 5~; к) у= ~~/хагссозх+21од~х+е~/х2; л) у = 1псоз(агс~~зЬ2х); м) у =!п з е~/(1+совх); н) у = (1+ х~)/(~/х4 яп~ х); о) у = (е*+ з1п х)/(хе ); п) у=1пяпх; р) у=агсГ~~/е~ — 2/е +е агсв1п е /(1+е ).
2.3. На кривой у = хз — Зх+5 найти точки, в которых касательная: а) перпендикулярна прямой у = -х/9; б) образует с положительным направлением оси Ох угол 45'. 2.2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой: а) у = хз — Зх + 2 в точке (2; 4); б) у = х4+ Зх2 — 16 в точке пересечения кривой с параболой у = Зх2.
2. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ 60 2.4. Выяснить, в какой из точек х скорость изменения значения функции Дх) = Зх~ — 15хз + 5х — 7 наименьшая. 2.5. Тело массой т движется прямолинейно в соответствии с законом з = — 1+1п(1+ 1) + (~+ 1)з. Вычислить кинетическую знергию тела в момент времени 1 = 1. 2.6.
Написать уравнение нормали к параболе у = х~+4х+ 1, перпендикулярной к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы. 2.7. Под каким углом кривая у = е~ пересекает ось Оу? 2.8. Найти производные функций: а) у=сЬ5х зЬ(х/3); б) у=сй(ф~х) — ФЬ(сф~х); в) у = агссоз(гЬ х); г) у = зЬ~ ха+ сЬз х2; д) у = ~гг1+в~64х; е) у = ев~пхдв)гох — самуе); ж) у=!пс)гх; в) у= агсв)пГГ)гх); и) у =2г~~1х — 1; к) у =1псоз (х>0); л) у= 2.9.
При помощи логарифмического дифференцирования найти производные функций: в!пЗх ~(х -1 а) у= Гсовх)""*; б) у=; в) у— 1-в)ох ' (х+2)в ~х+3)в 2.10. Показать, что Дя'/4) — 3~'(~г/4) = 3, если Дх) = = (созе х)/(1+ яп~ х). 2 2.11. Показать, что функция у = (х — е ~ )/(2х ) удовлетворяет уравнению ху'+ 2у = е + 1/(2х). 2.12. Плот подтягивают к берегу озера при помощи каната, наматываемого на ворот со скоростью 3 м/мин.
Ворот расположен на берегу выше поверхности воды на 4 м. Найти скорость движения плота в тот момент, когда его расстояние от берега будет 25 м. Вопросы и эадачи 61 2.13. Искусственный спутник Земли движется вокруг нее по эллиптической орбите. Уравнение этой орбиты в полярных координатах с полюсом в центре Земли имеет вид г(~р) = = а(1+ е)/(1+ есову), где а — наименьшее расстояние спутника от центра Земли, е — эксцентриситет орбиты. Найти скорость т изменения расстояния г спутникаотцентраЗемли при значениях полярного угла у= ~/2 и Зя'/2, учитывая закон Кеплера о постоянстве секториальной скорости тела, движущегося в центральном поле тяготения, т.е.
считая в равенстве г~у = С константу С заданной. 2.14. Может ли существовать производная у' функции у = ~(д(х)) в точке х = а, если в этой точке и соответственно в точке 6 = д(а): а) обе функции г =д(х) и Дг) недифференцируемы; б) д(х) дифференцируема, а Дх) недифференцируема; в) д(х) недифференцируема, а ~(г) дифференцируема? 2.15. Построить пример функции у = ~(х), для которой в точке х = а не существуют у' и (у~)', но существует (уз)'. 2.16. Показать, что в окрестности точки х =0 функция у= Дх) =хз+Зх имеет обратнуюфункцию х=~ ~(у) =<р(у), и найти производную у'(0).
2.17. Что можно сказать о производной ~'(6) функции У(у), обратной функции у = хз — Зах2+ За2х — аз+ 6? 2.18. Вычислить в точке х = 0 производную функции Д(х) = х(х — 1) (х — 2) ° ° (х — 1000). 2.19. Можно ли утверждать, что функции Дх) = и(х)+ + о(х) и д(х) = и(х)о(х) не имеют в точке а производных, если в этой точке: а) и(х) дифференцируема, а ю(х) недифференцируема; б) обе функции и(х) и о(х) недифференцируемы? 2.20. Выведите формулы (2.10) и (2.12).
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 3.1. Определение дифференциала и его геометрический смысл Пусть функция у = Дх) определена в некоторой окрестности точки а и дифференцируема в этой точке. Тогда, согласно определению 1.3 дифференцируемости функции, ее приращение, вызванное приращением Ьх = х — а в этой окрестности аргумента х, можно представить в виде Ьу = ~(х) — ~(а) = АЬх+,8(Ьх)Ьх, (3.1) Определение 3.1. Дифференциалом функции у = ~(х) в точке а, соответствующим приращению Ьх аргумента х, называют главную (линейную относительно Ьх) часть приращения Ьу этой функции. Обозначают дифференциал ау или ф(а), т.е.
с учетом (3.1) Ыу = ф(а) = АЬх. В силу теоремы 1.1 о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции А = ~'(а). Поэтому дифференциал в точке а (3.2) ау = Да)Ьх. Если ~'(а) = О, то ~'(а)Ьх не является главной частью приращения Ьу, поскольку,8(Ьх)Ьх в (3.1), вообще говоря, где А — некоторое число, не зависящее от Ьх, а 8(Ьх)— функция, бесконечно малая (б.м.) при Ьх -+ О. Если Аф-О, то при Ьх-+О величина АЬх является б.м.
первого порядка относительно Ьх, а 8(Ьх)Ьх — б.м. более высокого порядка по сравнению с Ьх [1, 10.1). Тогда АЬх в (3.1) будет главной частью [1, 10.3) Ьу, причем линейной относительно Ьх, т.е. пропорциональной приращению аргумента. 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ отлична от нуля. В этом случае полагают Иу = О и (3.2) сохраняет силу при любом конечном значении производной У'(а). Пример. а.
Площадь 5 = я г~ круга радиуса г при увеличении радиуса на Лг увеличится на площадь кольца, заключенного между концентрическими окружностями радиусов г и г+ Ьг. Из выражения для приращения площади круга ЬЯ = 7г~(г+ Ьг) — г~) = 2яп'Ьг+ 7г(Ьг) следует, что главной частью приращения ЬЯ при Ьг -+ О будет 2ягЬг. Это и есть дифференциал Ы5 площади круга. Геометрически он соответствует площади прямоугольника с основанием, равным длине окружности 2тг, и высотой Ьг. б. При свободном падении материальной точки по закону в = дР/2 (д — ускорение земного тяготения) эа промежуток времени Ы между моментами времени 1 и 1 + Ы она пройдет путь д(г+~~)/2д~2/2д~~~+д(~~)2/2 При Ьу -+ О главной частью Ь8 будет дифференциал пути 0в = д1Ы. Таким образом, в данном случае дифференциал пути Ы8, приближенно заменяющий приращение пути Ь8, равен расстоянию, пройденному точкой за промежуток времени Ь|, двигающейся равномерно с постоянной скоростью е = д1.
4~ Для иллюстрации геометрического смысла дифференциала Иу и его связи с приращением Ьу функции у = Дх) вернемся к рис. 1.6. Иэ прямоугольного треугольника МКК1 находим К К~ — — МК ф~а = ~~(а) Ьх = в',у. Итак, дифференциал функции в точке а, соответствующий приращению Ьх аргумента х, равен приращению ординаты касательной к кривой графика функции у = ~(а) в точке 3.1. Определение дифференциала и его геометрическим смысл 65 И~ = У'(х) Их = у'Ых.
(3.3) Отсюда следует ~'(х) = ~' = Иу/Их. Выражение в правой части этого равенства теперь можно трактовать не как единый символ производной, а как отношение двух дифференциалов. Поскольку дифференциал Ыу функции у = Дх) отличается от производной у' лишь сомножителем Их, для вычисления дифференциалов можно использовать правила диффеРенцирования и формулы производных элементарных функций ~-544 Я(а; ~(а)) при переходе от точки М к точке К1.
Сопоставляя (3.1) и (3.2), видим, что М1К1 —— Ьу — Ну = ~3(Ьх)Ьх. Различие между величинами Др и Ну можно наглядно показать на примере функции у=х2, В С которая определяет площадь квадрата АВСР со стороной х (рис. 3.1). Придав х приращение Ьх, получим квадрат АЕАС м 0 со сторонои х + Ьх и площа- д С дью (х+ Ьх)2. Тогда прираще- х Аг ние Ьу=(х+Ьх)з-х~=2хЬх+ + (Ьх) функции геометрически Рис. 3.1 представляет собой сумму площадей прямоугольных полосок ВЕЕМ и РСМ(7. Дифференциал Иу = 2хЬх функции у = хз в точке х соответствует площади полосок ВСКЕ и РСМС, а разность Ьу — Ыу = (Ьх)2 — площади заштрихованного на рис. 3.1 квадрата СКГ№ Из рис.
1.6 и 3.1 следует, что чем меньше Ьх, тем меньше различие между величинами Ьу и Ыу. Для аргумента х дифференциал отождествляют с его приращением Ьх, т.е. полагают пх=Ьх. Так, для функции у=х с учетом (3.2) имеем Иу = у'Ьх = 1 Ьх = Ьх и, поскольку 1~= х, получим пх = Ьх. Учитывая зто соотношение, вместо (3.2) запишем Ыу = ~'(а) Ых, а для произвольной точки х— 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ бб (см. 2.6). Так, первым четырем строчкам таблицы правил дифференцирования будут соответствовать правила вычиси ния дифференциала: 1. у = Си (С = сопвй) 2.
у=и=Ее 3. у= ию 4. у = — (о у'- 0) иу = Сйи. ду= ЫиЗ=сЬ. Иу = и Ии+ и й~. иди — ивою Ыу = действительно, например, для дифференциала произведения дифференцируемых функций и(х) и о(х): И(ию) = (ие)'й = = (и'е+ ио')сЬ = юиийх+ ии'сЬ = и Ни+ ий~. 3.2. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы записи дифференциала Йу = у'(х) Их и Йи = и'(х) Йх. Но по правилу (2.15) дифференцирования сложной функяя» у'(х) =,~'(и)и'(х). Подставив это выражение в первую формул' (3.4), с учетом второй формулы (3.4) получим сну = ~'(и)и'(х) сКх = ~'(и) сЮи при у(х) = ~(и(х)), (3."-~ Правило дифференцирования сложной фрикции позволяет получить одно весьма важное свойство дифференциала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
