II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 12
Текст из файла (страница 12)
поскольку при 1 > О заряд конденсатора убывает. Тогда ,И/й = -д" и вместо (4.11) получим (4.12) или с учетом равенства д = Си ЬСи" + ВСи'+ и = О. (4.13) 4.2. Примеры интерпретации проиэводной второго порядка 87 Уравнения (4.12) и (4.13), в которые входят вторые производные искомых функций, называют обыхновенными дифференииальными уравнениями впюрого порядка ~И1Ц.
В данном случае они описывают изменение во времени заряда конденса тора и падения напряжения на нем. Чтобы получить уравнение для силы тока, следует один раз продифференцировать (4.12) по 1: иг+ 1~ «+ г ~С и учесть, что д'=-1, д«=-1' и д«'=-1«. Тогда получим ЬС1«+ КС1'+1 = О. (4.14) Отметим, что уравнения (4.12) — (4.14) аналогичны по виду. Не рассматривая способов их решения (см. ~УШ~), приведем обращающую (4.12) в тождество зависимость д = Сиое "'(совсА+ (р/с~) а|пЫ), (4.15) где р= В/(2Ь) и м = при условии, что р~ < <1/(ЬС), или Я~ <4Ь/С. Зависимость и=д/С от ~ следует иэ (4.15).
При 1 = О (момент перевода ключа в положение 2) из (4.15) получим начальный заряд конденсатора до — — Сио при начальном напряжении ио. Ясно, что графики зависимостей а/до и и/ио от 1 совпадают (на рис. 4.2 они изображены сплошной линией). Штрихпунктирными кривыми показаны графики я/яо,' и/ио, 1/~т Рис. 4.2 88 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 1 = -д' = -Си0е " ( — ив1пы$+ (р/ы)ысояи~) + + рСи0е Р'(соыЛ+ (р/м) в)п ы1), или 1= 1„,е Р'81пм$, (4.16) где 1 = Си0(м + р~/~).
График зависимости 1/1 от показан на рис. 4.2 штриховой линией. Убедимся, что (4.16) удовлетворяет уравнению (4.14). Для этого, продифференцировав (4.16), вычислим Р = 1,„е Р'исоъы$ — р1,„е Р'ь1пи1, 1н ы21 е-Р1 в1пм~+ р21 е-Р~ 81пи~ 2ук~1 е-Р! созе Действительно, после подставновки (4 16) и этих соотношений в (4.14), получим тождество. 4.3. Формула Лейбница Выведем формулу для вычисления и-й производной произведения п раэ дифференцируемых функций и(х) и и(х). Опустив обозначение аргумента х, последовательно запишем (ию)' = и'и+ ио', (ие) н йи+ 2и'и'+ ив~~, (ии)"' = и"'и+ Зи"и'+ Зи'~и'+ ио"'.
функций ~е р'. Эти кривые ограничивают размах затухающих колебаний величин д/д0 и и/и0 относительно их нулевого значения. Амплитуда этих колебаний монотонно уменьшается во времени. Если в колебательном контуре (см. рис. 4.1) резистор отсутствует (В = 0), то р = 0 и колебания будут гармоническими, причем их частота ы0 — — 1/ъ~ХС > ы.
Зависимость 1 от 1 получим дифференцированием (4.15): 4.3. Формула Лейбница В построении этих формул можно уловить закономерность, характерную для формулы (4.10) бинома Ньютона, написав для и-й производной (ии)(и) и(и)и+ С1и(и-1)и!+ С2 (и-2) Н+ и ~ „„( ) — ~ ~с(««(~-Й) „(И Й=О (4.17) (ии) (и+1) ((ии) (и)) и(и+1) и+ (СО + С1) и(и) О~ + (С1 + С2)и(и-1)он+ + (Си-1 + С«и)иФи(и) + ии(и+1) Для Й< п (й-1)!(п- 1+1)! й!(и- й)! п!(й+ п — й+ 1) (и+ 1)! /, Е(п — М+ 1)1 И(п+ 1 — й)! и+' Тогда предпоследнее равенство принимает форму ии)(и+1) и(и+1) 1«+ С«1 и(и) и~ + и+1 +~ 2 (и-1) н+ +С~ с (и) + (и+1) которая соответствует (4.17) при замене п на и+ 1.
Итак, до- казана справедливость соотношения (4.17), называемого фор- мулой Лейбница. где с~~ = и!/(Ы(п — Й)!) — число сочетпаний из и элементов по Й элементов. Убедимся в справедливости (4.17) методом индукции. Легко проверить, что из (4.17) при п = 1, 2 и 3 следуют записанные выше формулы для первых трех производных. Считая (4.17) верной для произвольного и, проверим ее справедливость при замене в ней п на и+ 1. Для этого продифференцируем (4.17), ПОЛаГая, ЧтО и(и+') И и("+1) СущЕСтВуЮт: 90 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ Пример 4.10. Для функции у = агсз1пх (~х~ < 1) имеем у'= 1/~Л вЂ” хе цх~ (1) (см.
пример 24а) и у" = х/~~~ — хх)х, т.е. у'х = у" (1 — х ). Применим (4.17) к каждой части этого равенства: (и+1) + С1 (в) у~у у(уу+2) (1 — х2) + С1у(уу+1) ( — 2Х) + С2у(уу) ( 2) или с учетом С„'=и и С2 =п(п-1)/2 получим рекуррентное соотношение (уъ+2) х(1 + 2п)у(и+1) + п2у(у~) ~х~ < 1. 1 — х2 Поскольку для и = 1 уже известны у' и у", из этой формулы последовательно можно вычислить производные порядка и > 2. При х = 0 имеем у("+2)(0) = п2у(")(О).
Для и = 0 у(о)(0) = = у(0) = О, а для и = 1 у'(0) = 1. Поэтому все производные четного порядка у(2'")(0) = 0 Чгг1 (:- Я, а производные нечетного порядка Пример 4.9. Найдем у(") функции у = Х281пх, положив ю(х) =Х2 и и(х) =в1пх. Имеем и'=2х и"=2 и и®=0 при Й > 2. В примере 4.2 было установлено, что и® = (япх)® = = 81п(х+ Ьг/2) Жс 1= Х. Учитывая все это, получим, что в (4.17) будут отличны от нуля лишь последние три слагаемых, содержащие ю, ю' и ю". В итоге с учетом С2 =п(п — 1)/2 н С1 = и получим у(") = (х2в1п х)(") = Х281п(х+ пл/2) + + 2пхяп(х+ (п — 1)1г/2) + п(п — 1) 81п(х+ (и — 2)1г/2) = = (Х2 — п(п — 1)) яп(х+ пл/2) +2пх81п(х+(и — 1)к/2).
4.4. Производные паоаметрически и неявно заданных функций 91 Символ двойного факториала означает, что сомножителями являются лишь нечетные числа. Пример 4.11. Производная функции у = агс~~х, согласно примеру 2.4.6, у'=1/(1+хг), или (1+хг)у'=1. Поскольку при и(х) =1+хг и'=2х и ив=2, то, используя (4.17), находим ((1+ х )у') = п(п — 1)у~" ~) + 2пху®+ (1+ х )у~"+'~ = О, или ~„+,~ 2пху~") + п(п — 1)у~" ') г Полученная рекуррентная формула позволяет начиная с и = = 1, для которого известны у® = у и у', последовательно найти у", у"' вплоть до у~"+'~ Чпб Х. При х =0 имеем у("+'~ = — п(п — 1)у~" '~. Но так как в этой точке у(0) = у = О, все производные четного порядка при х = О равны нулю. Для производных нечетного порядка у'(0) = 1, у"'(0) = — 2!, у~(0) =4!, т.е. при х=О у~г'"+ц =( — 1)"(2т)! ~т б И.
4.4. Производные высших порядков параметрически и неявно заданных функций Пусть функция у = Дх) задана параметрически уравнениями (2.20) х = х(1), 1бТ у = у(~), и функции х(1) и у(1) достаточное число раз диф4еренцируемывлюбой точке 1ЕТ множества Т, причем х'(1) ф.О ~ЙЕТ. Согласно (2.21), производную у' функции у= Дх) определяют тоже как параметрически заданную функцию уравнениями 92 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ у..(~) — (у.),~х„ ~ЕТ; х = х(1), 1ЕТ; х = х(1), В частности, для производной второго порядка получим И / И / И Г~1 УИ~й ~ПУС х =х(~), (4.18) Пример 4.12. а. Найдем проиэводную второго порядка функции у = Дх), эаданной параметрически соотношениями х(~) = асозэ~, у(~) = агапэ ~Е [О, л/ф Для этого вычислим у,' = Заяп21 созе, х', = — Засоз21 з|п1 и представим первую производную у' этой функции также в параметрическом виде: у'(~) = й~, = — М~~, ~ б [О, л'/2).
х(~) = асозэ1, Затем найдем у,", =6аяп1 соз21 — Заяп 1, х",, =басоз1 з1п~8— — Засозз ~ у~,х~ — хц,у, = — 18а яп 8 соз й+9а з1п й соз й— и Р и / 2 ° 2 4 2 ° 4 2 — 18а з~п ~ соз'+9а яп ~ ° соз4~ = — 9а яп ~ соз~~. Наконец, согласно (4.18), эапишем при ~ Е (О, л'/2) () =; з ° у,",х', — х",,у,' — 9а2яп 8соз28 1 (х')э — 27аэсозвй*япэ1 Заяп1 соз4й х(~) = асозэ~, Эту новую параметрически эаданную функцию можно снова дифференцировать по х, используя прежнее правило: 4.4.
Производные аараметрически и неявно заданных функций 93 Отметим, что в данном случае при вычислении у" (г) проше непосредственно дифференцировать по 1 выражение для у'.(1), т.е. (у.'(1)), (-$61)/ -1/соз21 1 х', (асозз1)', — Засов~1.в1п1 Заяп$ сов41 б. Пусть функция у = Дх) задана параметрически соот- ношениями х(г) = е'соз1, ~Е[- /4, /41. у(1) = е'яппи, Для вычисления производной второго порядка предварительно найдем у,'= е'з~п1+е'сов| и х', = е'сов| — е'яп1. Тогда сов 1+ яп 1 у.'(~) = ° 1 соз1 — з|п1 ~ Е [-л/4, л'/4). х($) = е'соз$, Непосредственным дифференцированием у' (г) получим (-яп 1+соз1) (сов1 — з1п1) — (соз1+з1п 1) ( — з1п$ - соз$) (сов~ -з1п1)~ и в итоге 1 б [-л/4, л/4).
1 Е [-л'/2, ~г/2~ соМ+ яп 1 сов 1 — яп 1 (у'(~)), 2е ' — — (~, вп)3~ х($) = е'соз1, в. Для заданной соотношениями х($) = а(соМ+ Мп $), у(1) = а(з~п1 — 1соз1), 2 (сов 1 — з1п $) ~ 94 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ функции у = У(х) сначала найдем у,'= а(созе — соз1+Мпг) = = аМп1, х', = а( — з|п1+з1п$+8соМ) =а1соз1 и у'(~) =С~~, х(1) = а(созе+ 1з1п1), 1 б (-~г/2, ~г/2) и с учетом того, что (у'(Ф)), = (Фдад)'= 1/сонг, в итоге запи- шем в параметрической форме вторую производную заданной функции: (~.'и))', И хФ п1созз 1 ' х(1) = а(соз1+Мп$), 1 б (-л/2, ~г/2). 2, 2 1 1+у~ у" = — — у'= — — 1+ — = — 2 ,з,з р „з б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
