II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Найти второй дифференциал функций у(х) = ию, у(х) = и" при и > О, у(х) = агс®(и/и) при и ф О, у(х) = =!ои„и при и>0, иф1 и ю>0, где и и и — дважды дифференцируемые функции независимого переменного х. 4.14. Доказать, что для трижды дифференцируемой функции ~(г) при г = ех З~(сх)/г~хз еху~(х) + 3е2ауи(х) + ез~уи 4.15. Подобрать коэффициенты со, с1 и с2 из условия существования второй производной функции ~(х) Юх < а, у= со(х — а) + с1 (х — а) + с2 чх > а, где ~(х) — дважды дифференцируемая функция во всей своей области определения.
4.16. Доказать, что ( ~З ~ / ~ГЗ ) Г~д5 ~~З ~ аУьд2 3ае2~ <~2д Оед + 3 ф'(~~2д) 2 ф' ьУЗд Г~д если Дх) и х = д(г) — трижды дифференцируемые функции. 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 104 4.17. Вывести аналог формулы Лейбница для и-й производной частного двух и раэ дифференцируемых функций. 4.18. Найти первые две производные функции у(х), заданной неявно уравнением 2агсФд(у/х) =1п(х2+ у2). 4.19. Доказать, что любой луч, исходящий из одного фокуса эллипса, заданного уравнением (х/а)~+(у/6)~ = 1, и лежащий в плоскости эллипса, после зеркального отражения от его контура приходит в другой фокус (при а >6>0 фокусы расположены на оси Ох в точках с абсциссами с = ~~/а~ — Р) Рис. 4.Т (рис.
4.7). 4.20. Для параметрически заданной функции х(1) = 21+ ф, у(1) = 5Р+4Щ, вычислить у' в точке х=0. 4.21. Доказать, что трактприса х(~) = а(1п Ыф2)+соз~), у(1) = в1п 1, ЕЕ(0,7г), а>0 имеет отрезок касательной постоянной длины. 4.22. Доказать, что если трижды дифференцируемая функция ~(х) имеет обратную функцию х = ~ '(у) и ~'(х) ф О, то ~3 З(уи) 2 у(уи! ,~уз у~)5 105 Вопросы и задачи 4.24.
Доказать, что для параметрически заданной функции (~) = ГИ) И ) =~ГИ)-У(~) 8 ф О, ~"(~);Е О, где Д$) — трижды дифференцируемая функция, справедливо выражение У'"(~) (У"И)) х =~'. 4.25. Доказать справедливость равенства (хэе~х)(п) ((цх)3+ Зп(ах)э+ + Зп(п — 1)ах+ п(п — 1)(п — 2))а" ~е". 4.26. Доказать, что (еахР (~))(~~) ~с~~ ~а-ЙР(й)~~~еах г=о где Р (х) — многочлен степени т; С~ — число сочетаний иэ п элементов по Й элементов, а о= ппп(т; и).
4.23. Определитель Щх), составленный последовательно по столбцам из и функций н;(х), ~ =1, и, и их производных до (и — 1)-го порядка, называют вронсхианом по имени польского математика Ю. Вроньского (1776 -1853). Найти И~'(х) п ри условии существования п-й производной функций и;(х). 5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИС'ЧИСЛЕНИЯ Эти теоремы играют важную роль в математическом анализе при исследовании функций. Их иногда называют теоремами о среднем значении (в смысле значения производной в некоторой внутренней точке рассматриваемого отрезка) и связывают с именами французских математиков П.
Ферма (1601-1665), М. Ролля (1652-1719), Ж. Лагранжа (1736-1813) и О. КошЙ (1789 -1857). 5.1. Теоремы о нулях производных Теорема 5.1 (Ферма). Пусть функция у= ~(х) определена в некотором промежутке Е и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке существует хонечная производнаа ~'(с) данной функции, то ~'(с) =О. ° 4 Пусть для определенности Дх) принимает в точке с наибольшее значение. Тогда Чх Е Е Дх) < Дс).
Положив х = = с+Ьх, получим Дс+Ьх) < ~(с). Согласно определению 1.2 производной и условию теоремы, существует конечный предел ~(с+ Ьх) — Дс) ь -+о Ьх Если Ьх > О, то ®с+ Ьх) — ~(с)) Ьх < О и из правил предель- ного перехода в неравенствах [1, 7.4~ следует, что ~(с+ Ьх) — ~(с) ь -++о Ьх 107 5.1. Теоремы о нулях производных Если же Ьх < О, то (~(с+ Ьх) — Дс))/Ьх > О и в силу тех же правил Дс+ Ьх) — Дс) Ью-+-О Ьх В силу теоремы 7.1 [1] о связи конечного предела в точке с односторонними пределами в этой точке с учетом трех последних соотношений имеем Дс+ Ьх) — ~(с) . ~(с+ Ьх) — ~(с) 1ип — 1нп ь -+о Ьх ь -++о Ьх Дс+ Ьх) — ~(с) Ьх-+-О Ьх т.е. ~'(с) = О. Доказательство для случая наименьшего значе- ния данной функции в точке с аналогично.
~ Обращение в нуль производной ~'(с) означает, что жасателькал к кривой графика функции Дх) в точке М(с; ~(с)) параллельна оси Ох (рис. 5.1). При доказательстве теоремы Ферма существенно использование того, что с является внутренней точкой промежутка. Это позволило рассматривать точки х, лежащие как справа, так и слева от точки с. Без этого предположения утверждение теоремы может оказаться неверным. В самом деле, если функция достигает наибольшего значения в граничной точке на одном из концов (а или 6) промежутка, то производная в такой точке (при условии, что производная существует) может и не быть равной нулю (рис.
5.2). Рис. 5.1 Рис. 5.2 1О8 5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ Рассмотрим теперь простую, но весьма важную теорему связываемую с именем французского математика М. Ролла хотя он доказал ее только применительно к мноеочленам. Теорема 5.2 (Ролла). Если функция у = Дх) 1) непрерывна на отрезке [а, 61; 2) дифференцируема в интервале (а, 6); 3) на концах отрезка принимает равные значения фа) = = ~(6)), то между точками а и 6 найдется, по крайней мере, одна точка с (а < с < 6), в которой ~'(с) = О. ~ Так как функция у = Дх) непрерывна на отрезке 1а, 6], она, согласно теореме 9.5 (второй теореме Вейерштрасса) ~1~, достигает на этом отрезке своих наибольшего М и наименьшего т значений.
Рассмотрим два случая. 1. М = т. Функция Дх) в интервале (а, 6) сохраняет постоянное значение, и поэтому ~'(х) = О Чх б (а, 6), т.е. в качестве с можно взять любую точку из интервала (а, 6). 2. М > т. Поскольку, согласно условию теоремы, Да) = = Д6), одного из значений М или т функция достигает во внутренней точке с интервала (а, 6). Тогда из теоремы 5.1 Ферма следует, что в этой точке ~'(с) = О.
~~ В частном случае ~(а) = Д6) = О справедливо следствие. Следствие 5.1. Между двумя нулями дифференцируемой функции всегда лежит хотя бы один нуль ее производной. Теорема Ролля имеет следующее геометрическое толкование: если ординаты непрерывной кривой на концах отрезка ~а, 61 равны между собой и кривая в каждой внутренней точке этого отрезка имеет невертикальную касательную, то на кривой найдется хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна оси Ох (рис. 5.3, точки М1 и М~, соответствующие точкам с1 и ср интервала (а, 6) ). 109 5.1. Теоремы о нулях производных Рис.
5.3 Рис. 5.4 Заметим, что все условия теоремы 5.2 существенны для справедливости ее утверждения. Например, функция у = ~х~ непрерывна на отрезке [-1, 1], принимает на его концах равные значения, но не имеет конечной двусторонней производной в точке х = О, внутренней для этого отрезка. Так как у' = +1 Чх Е (О, 1) и у'=-1 Чх Е (-1, 0), в интервале (-1, 1) нет ни одной точки, в которой бы производная у' обращалась в нуль. Однако теорема Ролля носит лишь достаточный характер, т.е. если все условия теоремы выполнены, то ее утверждение верно, но если нарушено хотя бы одно ее условие, то нельзя сказать что-либо определенное о существовании точки, в которой производная рассматриваемой функции обращалась бы в нуль. На рис.
5.4 видно, что функция ~(х) непрерывна на отрезке 1а, 6], на концах отрезка имеет равные значения, но не является дифференцируемой во внутренней точке хо этого отрезка. Тем не менее существует точка х = с, в которой ~'(с) = 0 (касательная в соответствующей точке кривой графика этой функции параллельна оси Ох). Если функция 8 = Д~) задает зависимость от времени координаты 8 точки при ее непрерывном прямолинейном движении, то условие ~(а) = Д6) означает, что эта точка после начала движения в момент времени а через промежуток времени 6 — а должна вернуться в исходное положение.
Но для этого хотя бы в один из промежуточных моментов времени 1о Е (а, 6) ее скорость движения ~'(1о) должна стать равной нулю. Такова механическая интерпретация теоремы Ролля. 110 5, ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ Пример 5.1. Проверим, удовлетворяют ли условиям теоремы Ролля функции: а) Дю) = ж~ — Зж+2 на отрезке [О, 3]„ б) Дх) = 1 — ~Гх~ на отрезке [ — 1, 1)? Если удовлетворяют, то найдем точку с, в которой ~'(с) =О. а. Функция ~(ю) = х2 — Зх+ 2 непрерывна на отрезке [О, 31 как сумма непрерывных слагаемых. Поскольку ее производная ~'(х) = 2ж — 3, функция дифференцируема в интервале (О, 3).
Значения функции ДО) = ~(3) = 2 на концах отрезка равны между собой. Таким образом, рассматриваемая функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, и поэтому в интервале существует точка, в которой производная ~'(ю) = 2ж — 3 = О. Отсюда 2с — 3=0 и с= 3/2. В найденной точке с значение функции Дс) = — 1/4. Следовательно, касательная к кривой графика этой функции в точке (3/2; — 1/4) параллельна оси Ох (рис. 5.5, а). б. Функция ~(ю) =1- с/х~ непрерывна на отрезке [ — 1, Ц, ее значения ~(-1) = Д1) = 0 на концах этого отрезка равны между собой, а ее производная ~'(ж) = -2/(З~з~ж) конечна во всех точках интервала (-1, 1), кроме точки х = О. Таким образом, одно из условий теоремы Ролля не выполнено, и эта теорема не применима к данной функции (рис.
5.5, б). Рис. 5.5 Пример 5.2. Функции ~(ж) и у(х) непрерывны на отрезке [а, 6) и дифференцируемы в интервале (а, О), причем 5.1, Теоремы о нулях производных 1(а) = ~(6) = О. Докажем, что уравнение 1(х)д'(х) + ~'(х) = 0 имеет хотя бы один корень в интервале (а, 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
