II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 18
Текст из файла (страница 18)
У'( ) х-+оо д~(х) Тогда существует и 1пп (Дх)/д(х)), причем 1пп — = 1нп —, =Ь. Дх) . ~'(х) х-+оо д(Х) х-+оо д'(Х) (6.5) Но так как существует предел в правой части этого равенства, то существует равный ему предел в левой части (6.5), что доказывает справедливость (6.5), в том числе и для случаев х -+ ~оо, которым соответствует 1 -+ ~О. ~ Замечание 6.2 применительно к теореме 6.2 означает, что если ее условия выполнены либо только при х -++со, либо только при х + -оо, то зта теорема верна в отношении М Преобразуем переменное х по формуле х =1/1„или 1=1/х.
Тогда если х -~ оо, то $-+О, и наоборот. По второму условию теоремы 1нпД1/8) = 0 и !ппд(1/1) =О, а в силу четвертого Ф-+О $-+О условия !пп ~Д(1/$)/д,'(1/1)) = Ь. К функциям У(1/1) и д(1/~) можно применить теорему 6.1, согласно которой 136 6. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ лишь соответствующего одностороннего предела отношения функций. В случае бесконечного одностороннего предела он будет иметь определенный знак. Пример.
Иэ функций У(х) = 1/~/х и д(х) = ~д(1/х)— — з1п(1/х) первая определена лишь при х > О, а первые три условия теоремы 6.2 выполнены для них при х > 2/ю. Поэтому теорема 6.2 применима к вычислению предела отношения Дх)/д(х) при х-з+оо, причем с учетом замечания 6.1 1/~Гх . (1/~/х)' -++ аф1/х) — з1п(1/х) -++ (~~(1/х) з1п(1/х))' 1/(2~/хзз) 1пп -++ (1/соз~(1/х) — соз(1/х))(-1/х2) ~~х соз2(1/х) 1пп — +00. х-++00 2 1 — созз(1/х) Геометрический смысл (6.1) можно пояснить следующим образом. Бесконечно малые при х -+ а функции у = ~(х) и х = д(х), доопределенные в точке а, удовлетворяют усло- У виям теоремы Коши и задают параметрически функцию у(х) У(х) — — — — У(4 (см. 5.3), график которой в координатной плоскости хОу проходит через начало координат й' (рис.
6.1). При этом отноше- 8 о ние ~(х)/д(х) = ~~,8 Чх Е Ч(а) О д(х) к характеризует наклон секущей Рис. 6.1 ОМ, проходящей через начало координат и точку М(д(х), ~(х)). При х -+ а и г — ~ О, и у ~ О, а точка М приближается к началу координат. Поэтому предельное положение секущей совпадает с положением касательной ОТ к графику вточке О, причем Ф(,о=А. Ясно, что при Ь = со касательная будет параллельна оси Оу. Если ~(х) и д(х) являются б.м. функциями при х-+ос (или х-~ =~оо), то тот же геометрический смысл будет иметь и (6.5). 138 6.
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ~'(х) е — Ь < — Ух Е 11(а, р) д'(х) (6.7) (это возможно в силу первого и четвертого условий теоремы). о Выберем значение х Е 0(а, и) и рассмотрим отрезок ~х, хо~, хо < а+ и, если х > а, или отрезок ~хо, х~, хо > а — и, если х < а. На любом из этих отрезков функции ~(х) и д(х) удовлетворяют условиям теоремы 5.4 Коши. Поэтому, согласно (5.4), Дх) — ~(хо) ~'(с) д(х) — д(хо) у'(с) где точка с лежит между точками х и хо. Тогда из (6.7) и (6.8) получим ~(х) — ~(хо) д(х) — д(хо) 2 (6.9) Учитывая, что на любом из рассматриваемых отрезков у(х) ф ф О, запишем тождество 1(4 У(хо) — Йу(хо) ( У(хо) ~ ~ ~(х) — 1(хо) у(х) у(х) ~, д(х) / ~д(х) — д(хо) и перейдем в нем с учетом неравенства (1.2) ~1~ треугольника к абсолютным значениям у(хо) у(х) У(хо) — И(хо) ~(х) - ~(хо) Ь 9(х) д(хо) — — Ь < Лх) у(х) д(х) в некоторой проколотой окрестности точки а функция может иметь в этой точке бесконечные односторонние пределы лишь определенного знака.
Поэтому всегда у точки а существует такая полуокрестность, в которой функция не обращается в нуль и сохраняет знак бесконечного одностороннего предела, возрастая по абсолютному значению по мере приближения х к а. Зададим произвольное е > О и найдем такое и (О < и < о), о о что в проколотой и-окрестности 0(а, и) С 1.1(а, о) точки а 9(х),-ЕО и, кроме того, 139 6.2.
Неопределенность вида 1оо/оо] о <е Чхб0(а, у), что означает в силу произвольного выбора е > 0 существование предела отношения ~(х)/д(х) заданных функций и справедливость (6.6). Если в четвертом условии теоремы Ь = оо, то у точки а существует проколотая окрестность, в которой ~'(х) ф ф. О, и тогда получим 1пп (д'(х)/~'(х)) = О. Отсюда, согласно ю-+а только что доказанному утверждению, при х -+ а существует предел отношения д(х)/Дх) и этот предел равен нулю, т.е.
1пп (~(х)/д(х)) = оо. Итак, утверждение теоремы доказано полностью. ~ Теорему 6.3 (как и теорему 6.1) нетрудно распространить на случай, когда аргумент х стремится к бесконечному пределу, т.е. к оо, +оо или -оо. Теорема 6.4. Пусть 1) функции ~(х) и д(х) определены и дифференцируемы при ~х~ >б>0, 2) 1пп ~(х) =со и 1пп д(х) =со, 3) д'(х) ф 0 при ~х~ > б > О, 4) существует (конечный или бесконечный) предел отношения производных 1пп —, = Ь. ~'(х) в-+оо д~(х) Зафиксируем хо, оставляя х переменным. Тогда д(х) -+ оо при х -~ а+ 0 (или при х -+ а — О) и первое слагаемое в правой части неравенства будет стремиться к нулю, т.е. найдется такое ~ (О < ~ < и < о), что это слагаемое станет меньше е/2 при о любом х Е 13(а, 7).
В этом случае второе слагаемое согласно (6.9) также будет меньше е/2, поскольку 0 < ~1 — д(хо)/д(х) ~ < < 1 в силу знакопостоянства и возрастания по абсолютному значению функции д(х) как при х -~ а+О, так и при х -+ а — О. Таким образом, 140 6. РА СКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Тогда существует и предел отношения самих функций и 1пт~ — = 1нп —, = Ь. Л ) . Г(х) -+О д (х) -+00 д~(х) (6.10) Рис. 6.2 После введения нового переменного ~ = 1/х доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 6.2. Таким образом, правило раскрытия неопределенности вида [оо/оо] (его также называют правилом Бернулли — Лопиталя), при соблюдении условий теорем 6.3 и 6.4 связано с использованием формул (6.6) и (6.10), совпадающих с (6.1) и (6.5) соответственно. При этом остаются справедливыми по своему смыслу замечания 6.1 и 6.2.
Геометрический смысл (6.6) и (6.10) при Ь б Е заключается в том, что график параметрически заданой уравнениями у = ~(х) и г = д(х) функции у(г) в координатной плоскости кОу имеет асимптоту АТо (рис. 6.2) и по мере удаления точки М(д(х); ~(х)) от начала координат углы наклона,В и а соответственно прямой ОМ и касательной МТ сближаются между собой и стремятся к углу ао наклона асимптоты, причем фао —— Ь. Отметим, что на рис. 6.2 график соответствует случаю х = д(х) -++ос и у = Дх) -~+ос при х-+ а или х-+ со (х-+-~со). Ясно, что в случае Ь = оо ао — — ~г/2 и график не будет иметь асимптоты. 141 6.2. Неопределенность вида 1оо/сои Одна или обе б.б.
функции ~(х) и д(х) могут быть определены лишь в одной из проколотых полуокрестностей либо конечной точки а, либо бесконечной точки расширенной числовой прямой. Тогда можно говорить либо об одностороннем пределе отношения,~(х)/д(х) в точке а, либо о пределе этого отношения только при х — ~+со или только при х — ~ -оо. Если в упомянутой полуокрестности выполнены все условия теоремы 6.3 или теоремы 6.4, то правило Бернулли — Лопиталя применимо для вычисления соответствующего одностороннего предела.
В случае бесконечного одностороннего предела отношения ~'(х)/д'(х) производных он будет иметь определенный знак. Следовательно, этот же знак будет иметь бесконечный односторонний предел отношения ~~(х)/д(х) функций. Пример. Функции Дх),=сфх и д(х) =1пх при х-++О являются б.б., но функция 1п х определена лишь в правой проколотой полуокрестности точки х = О. В этой полуокрестности обе функции удовлетворяют первым трем условиям теоремы 6.3.
Кроме того, существует бесконечный правосторонний предел определенного знака для отношения их производных ,~'(х) . (с~~ х)' . — 1/я1п2 х . -х 1ип, = 1пп ,= 1пп = 1пп . = — оо. -++о д'(х) -++о (1и х)' -++о 1/х -++о 81п~ х Следовательно, существует бесконечный правосторонний пре- дел того же знака для отношения самих функций. 1о~, х .
(1од, х)' . 1/(х1п а) . 1/1п а 1ип — ' = 111т ', = 1цп 1пп ~~+со Х' х-++ о (Х')' -++оо 8Х'-' -++оо 8Х х . (х)' . 1 1ип —, = 1нп —, = 11ш — = О. -++ а* -++оо (а')' -++ а' 1п а Пример 6.2. Сравним поведение при х-~+со б.б. функций: показательной а (а > 1); степенной х' (8 > О) и логарифмической 1ои, х (а > 1). Эти функции удовлетворяют условиям теоремы 6.3, и, согласно (6.6), с учетом замечания 6.1 6.
РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 142 Поскольку х'/а = (х/а~1')' = (х/Р)', где 6 = а~/' > 1, и в силу непрерывности степенной функции х' . (х1 . х шп — = !пп ! — 1 = 1ип — =О. -++оо а~ ж-++оо ~6х~ ~-++оо 5~ Итак, при х-++со показательная функция (при а > 1) является 6.6. более высокого порядка (растет быстрее), чем степенная с любым положитель- ным показателем в, которая, в свою очередь, является 6.6. более высокого порядка, чем логарифмическая функция при а> 1 (рис. 6.3). Рис.
6.3 6.3. Особенности применения правила Бернулли — Лопиталя При использовании правила Бернулли — Лопитааля для раскрытия неопределенности вида 10/01 или [оо/оо] производные ~'(х) и д'(х) исходных функций Дх) и д(х) сами могут быть бесконечно малыми (б.м.) или бесконечно большими (6.6.) функциями при х -+ А, где А — конечная или бесконечно удаленная точка числовой прямой. Если для функций ~'(х) и д'(х) выполнены условия одной из теорем 6.1-6.4, в том числе существует равный Ь предел отношения производных этих функций, то правило Вернулли — Лопиталя можно применить повторно, используя (6.3) в виде !пп — = 11т —,= 1нп — „=Х.
~(х) . ~'(х) . ~"(х) -+А д(х) -+А д'(х) -+А д"(х) (6.11) 6.3. Особенности применении правила Бернулли — Лопиталя 143 В том случае, когда вторые и более высокого порядка производные исходных функций удовлетворяют укаэанным выше условиям, правило Бернулли — Лопиталя можно применять последовательно и далее, если есть надежда получить в конце концов отношение производных такого порядка, для которого легко установить существование предела и вычислить его. Тогда будут существовать и совпадать с ним пределы всех отношений производных более низких порядков и предел отношения исходных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
