II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Отличие же состоит в том, что производная ~~"+'1(х) вычислена не в точке а, а в некоторой точке с = а+ 8(х — а) 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 168 между точками а и х. Объединяя (7.7) и (7.18), приходим к формуле Тейлора и-го порядка с остпатпочным членом в форме Лааранжа (при О < 9 < 1) ~®(а) ~~"+'1(а+В(х — а)1 „+, 7(х) = ~, (х-а) + ', ' (х-а)"~~, (7.19) И (~+1)! У( +11(а+ д(х — а)) В9(х) —, (1 — д)"(х — а)"+, 0 < д < 1.
Отметим, что значения д, д в (7.17) и 6 в (7.18) различны для одной и той же функции Дх) даже при фиксированных точках а и х, поскольку зависят от значения р. Ясно, что если Дх) является многочленом степени п, т.е. Дх) = ао+а~х+агх +...+а„х", то ~~"+'1(х) = О, из (7.18) В„(х) = 0 и для произвольных х, а 6 Ж из (7.7) следует (7.20) причем в силу теоремы 7.2 это представление единственно. Пример. Многочлен ~(х) =х5-2х4+хз-хз+2х — 1 обращается в нуль в точке х = 1.
Установим хратпностпь этого нуля многочлена (или хратпностпь корня соответствующего алгебраичесхого уравнения пятой степени х5 — 2х4+хз — х~+2х — 1 = = 0). Для этого, согласно (7.20), представим Дх) многочленом Тейлора Щх) по степеням х — 1, вычислив предварительно которую благодаря простоте формы остаточного члена наиболее широко используют на практике. Если в (7.19) перенести ,~(а) в левую часть и положить и = О, то получим формулу конечных приращений вида (5.2).
При р = 1 из (7.17) следует остпатпочный член в форме Косим 7.3, Различные предстааленил остаточного члена 169 коэффициетпы Тейлора с~ = ~®(1)/И при 1 =0,5: сО = Д1) = 0; с1 —— Х'(1) = (5х4 8хз+ Зх~ — 2х + 2) ~, = О; ~" (1) 20хз — 24х2+ 6х — 2 ~ с2 = =о; 2! 2 к=1 ~'"~1) 60х~ — 48х + 61 сз = — = =3; 3! 6 а=1 У~~(1) 120х — 481 ~~(1) 120 4! 24 ~ =1 ' 5. '120 Таким образом, согласно (7.20), получим Дт) =РБ(и) = ~ с~(ж — 1) =з(х — 1)~+3(х — 1) + й=О + (х — 1)' = (х — 1)'~3+ 3(х — 1) ~- (х — 1)'), т.е. рассматриваемый многочлен имеет в точке х = 1 нуль кратности 3, а соответствующее многочлену уравнение пятой степени — корень х = 1 также кратности 3. $ Для произвольной (но не являющейся многочленом степени т < и) п+1 раз дифференцируемой функции Дх) остаточный член (7.18) в форме Лагранжа отличен от нуля. Оценим его по абсолютному значению сверху.
Пусть для функции Дх) существует такое действительное число М„+1 > О, что при всех значениях аргумента х из рассматриваемой окрестности точки а справедливо неравенство ф"+')(х) ~ < М„+1. Тогда с учетом (7.18) получим ф"+'~ (а+9(х — а)) ~ „, ~х — а~ "+ $Я„(х) $ $х — а$ "+ < М„~1 . (7.21) Обратим внимание на то, что ~х — а~ "+' 1нп = О. и-) оо (а+ 1)! В самом деле, для последовательности (х„) = Цх — а~"/п1) ~х — а~ х~+1 = х~ п+1 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 170 (з1п х)® = з1п(х+ и~г/2) и (созх)~"1 = соз(х+ тиг/2), т.е.
все их производные при любых х б В ограничены по абсолютному значению числом М = 1. 7.4. Формула Маклорена Частный случай формулы Тейлора (7.7) при а = 0 1(х) = 1(0)+ Г(0)х+ — )хх+... +, х" +В„(х) = у"(0) 2 у(")(0) „ ( ~ ) ( 0 ) м ж~+ Л„~х) (7.22) а=о При и > ~х — а~ — 1 эта последовательность монотонно убывает. Все ее элементы положительны, т.е. она ограничена снизу (например, нулем), а, согласно признаку Вейерштрасса, ограниченная монотоннал последовательность сходится к конечному пределу. Обозначим этот предел Ь.
Поскольку элемент х„+1 при п -+ оо пробегает ту же последовательность значений, что и элемент х„(кроме значения х1), после перехода в последнем равенстве к пределу при и + оо получим Ь = Ь О, а это возможно лишь в случае, если Ь = О. Таким образом, если функция Дх) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки а и все ее производные в этой окрестности ограничены по абсолютному значению общей константой М > О, то, выбирая достаточно большое и, можно сделать правую часть (7.21) сколь угодно малой. Это позволяет применять формулу Тейлора для нахождения приближенного значения функций, обладающих указанным свойством, с любой наперед заданной точностью. Например, все производные функции е ограничены в окрестности (а — Ь, а+ Й) (Ь > 0) точки а числом М = е'+", а для функциий з1пх и созх, согласно (4.7) и (4.8), имеем 7.4. Формула Мвклоренв принято называть формулой Маклорена по имени шотландского математика К.
Маклорена (1698 — 1746). Остаточный член в (7.22) имеет вид: в форме Пеано ~("+1)(0) +,В(х) „1 В„(х) = о(х"), или В„(х) — х"+, (7.23) (и+1)1 где о(х) — функция, бесконечно малая при х -+ 0; в форме Лагранжа У~ "+1) 19х) В„( )= ' х"+', Осб<1; (.+ 1)' (7.24) в форме Ко~ии У(~+1) (~х) м В„(х) =,' '(1 — 8)"х"+', 0 с д с 1. (7.25) Таким образом, формула Маклорена (7.22) дает представление функции Дх) в окрестности точки х = О. Используем эту формулу для представления некоторых основных элементарных функций.
х2 х" х~ е~' „+, е*=1+х+ — +...+ — +В„(з) =~ — + х"+'. (7.26) 2! н! " „~ И (а+1)! На рис. 5.9 показаны графики функции е~ и ее представления одним, двумя и тремя первыми слагаемыми (7.26). Пример 7.1. Для экспоненциальной функции Дх) = е~ имеем ~®(х) = е, и поэтому ~®(0) = 1 при й = О,п, а ~~"+1>(бх) = е~ . Тогда формула Маклорена (7.22) с остаточным членом в форме Лагранжа (7.24) для экспоненциальной функции будет иметь вид 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 172 2 3 !п(1+х) =х — — + — —...+(-1)" ' — +В (х) = 2 3 п (7.27) Рис.
7.2 На рис. 7.2 приведены графики функции !п(1+х) и ее пред- ставления одним, двумя и тремя слагаемыми (7.27). Пример Т.З. Для функции Дх) = в1пх при Й = О, и+1, согласно (4.7), ~®(х) = яп(х+ Ьг/2), т.е. ~®(0) = 81п(Ьг/2). Таким образом, в точке х = 0 ~(0) = О, все производные четного порядка также равны нулю, а все производные нечетного Пример 7.2.
Если Дх) =1п(1+ х), х > — 1, то в соответствии с (4.5) ~®(х) = (-1)" '(Й вЂ” 1)!/(1+ х)~. Тогда при х =0 получим ~(0) = О, ~®(0) = (-1)" '(й — 1)! И =1, и и ~~"+'>(Ох) = (-1)"п!/(1+Эх)"+'. В итоге из (7.22) и (7.24) следует представление логарифмической функции 173 7.4. Формула Маклорена порядка 1=21 — 1 (г Е Х) ~(0) .
2 1 2 хз х 2~-1 япх = х — — + — — ...+(-1)' . +...+ 3.' 5! (2а — 1)! хи ~Г х "+1 В+ 1 + — япп — + яп Ох+ я и. '2 (и+ 1)! 2 Так как все производные четного порядка функции в1пх в точке х = 0 равны нулю, то в последнем представлении можно выбрать и четным, т.е. п=2т (т Е 11). В итоге получим х2; .2т+1 8)пя=~)-1)' ',+)-1),совок. )7.28) ~=1 Аналогично для функции Дх) = соях при й = О, и+1, согласно (4.8), ~®(х) = сов(х+ Ьг/2), т.е.
~®(0) = сов(Ьг~2). Следовательно, в точке х = 0 ~(0) = 1, все производные нечетного порядка равны нулю, а все производные четного порядка Й = 2х (1 е Х) ~ф~'>(0) = совиг = ( — 1)'. Кроме того, ~<"+1)(Ох) = сов(9х+ (и+ 1)я'/2). Поэтому из (7.22) и (7.24) следует, что х2 х4 х2Ф соБх = 1 — — + — — ° ° .+( — 1) —,+ ° ° ° + 2! 4! (2г)! я в+1 и+1 + — сов 11 — + ~1 2 (и+1) ~ сов Йх+ я 2 Кроме того, ~~"+1~(Ох) = яп (Ох+ (и+ 1)~г~2). Тогда в соответствии с (7.22) и (7.24) запишем представление данной функции формулой Маклорена и-го порядка с остаточным членом в форме Лагранжа в виде 175 7.4.
Формула Маклорена Пример 7.4. Для функции Дх) = (1+ х)', х > -1, 8 Е Ж имеем Ях) = 8(1+ х)' 1, ~"(х) = 8(8 — 1)(1+х)' 2 и при й=1,31 уИ)(и)=(1+2) П(8 +Ц, У("1(о)=П(8 — 1+1). Тогда в соответствии с (7.22) и (7.24) получим х2 (1+ х)' = 1+8х+ 8(я — 1) — +... + 2. '* х73 73 Й х" + и(и — 1) " (и — и + 1) †, + 11и(*) = 1 + ~ †, П(и — г + 1) + 1=1 ' ,=1 73+1 +,(1+9и)' " 'П(и — 1). (7.30) 3=0 В частности, для 8 = 1/2 из (7.30) найдем представление формулой Маклорена функции х х2 73 ~/1+ ж = 1+ — — — +... + — ~- — 1) " ~- — и+ 1) — + 8 " 2~2 ) ~2 ) н1 73+1 + -( — — 1) ". ( — — и),(1+еи) '7~ ". (7.31) При з= — 1 из (7.30) следует и+1 — = 1 — х+х2 —... +( — 1) "х" +(-1) "+, (7.32) 1+х ' (1+Цх) + что после замены х на — х согласуется с (7.9).
В случае 8Е Х функция (1+х)' является многочленом и (7.30) переходит с учетом н = 8 в известную формулу 6инома Ньютона 73 1 й 73 ~ 7, (1+к)" = 1+К „П(и — 1+1) = ~ 3, ',, (7.33) а=о 176 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА Эта формула является точной, что подтверждает исчезновение в данном случае слагаемого, соответствующего остаточному члену. ~ Обратим внимание на то, что в построенных в этих примерах представлениях основных элементарных функций формулой Маклорена нетрудно усмотреть согласующиеся с (1.12) эквивалентности (1+ х)'-1 — 1 ° !п(1+ х) ° 81п х ° Р~ Ф х-+О х-+О х->О 8 х-+О а также 1 — совх х~/2.
х-+О Для формулы Маклорена как частного случая формулы Тейлора справедлива оценка (7.21) сверху остаточного члена в виде ~х~и+1 ~В-(х) ~ < м-+1 (7.34) а (В+ 1)! ' Здесь М„4.1 — наибольшее абсолютное значение производной ~~"+11(х) функции ~(х) в рассматриваемой окрестности точки х =О. При помощи (7.34) (как, впрочем, и в более общем случае при помощи (7.21)) можно решить три задачи: 1) найти оценку сверху для погрешности, вызванной заменой функции Дх) в окрестности точки х = О многочленом Тейлора и-й степени; 2) найти стеиень многочлена Тейлорц для которого погрешность такой замены в данной окрестности не превысит заданного значения е; 3) найти окрестность точки х = О, в которой погрешность укаэанной замены не превысит заданного значения е.
Пример. а. Оценим погрешность приближенной формулы 1п(1+ х) х — х2/2+ хз/3 при ~х~ < 0,2. Используя (7.27), получаем х~ хз ( Цз 4 1п(1+х) =х + +Вз(х)) Вз(х) = 1 0<0< 1 ° 3 ' 4(1+ Ех)4' 177 7.4. Формула Маклорена При ~ж~ < 0,2 найдем ~Вз(ж)~ < (0,2)4/4 = 0,0004. б. Найдем с точностью до е = О, 01 приближенное значение ~ГЗ. Представим Ч'3 в виде 1/2 ~/3= ~/4 — 1=2 1 — — =2 1 —— 4 4 1 1 1 (-1/4) +1 В„( — 1/4) = — — — 1 ° * — — и (1 — 9/4) 2 2 2 (и+ 1).' по абсолютному значению не превышал е = 0,01.
Поскольку 3/4 < 1 — О/4 < 1, при и = 1 имеем 1 1 (-1/4) 2 В( '/') 2 2 2.(1 е/4)з/2 и 1/128 < ~В1(-1/4) ~ < 1/48ъ~З - 0,01203, т.е. представление этой функции многочленом Тейлора первой степени может не обеспечить заданной точности при вычислении значения ~/3. Действительно, вычисляя первые два слагаемых в (7.31) при х= — 1/4, получаем 1+(-1/4)/2=0,875 и ~/Зи2 0,875=1,75, что отличается от хорошо известного значения ~/3 = 1,732 с тремя верными десятичными знаками более чем на 0,01. При а = 2 получим и 1/1024 < ~В2( — 1/4)~ < 1/288~ГЗ= 0,00200, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
