II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Ф")( ) ~(ж) =Р„(~) =У(а)+У'(а) (~-а)+ (ж — а)'+...+ (~ — а)". Погрешность этого приближенного представления, т.е. разность ~(ж) — Р„(х), обозначим В„(ю). Тогда получим формулу У"( ) Дж) = Да) + ~ (а) (ж — а) +, (ж — а) +... + у(7х) (а) у(Ч (а) + , (х — а)" + Я(х) = ~ , (х — а)" + В„(х), (7.7) й=о называемую формулой Тейлора п-го порядка для функции Дж). При этом погрешность В„(ю), называемая остпатпочным членом формулы Тейлора, при ж -+ а является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с (ж — а)". Это утверждает следующая теорема.
7.2. Многочлен Тейлора и формула Тейлора 161 Теорема 7.1. Если функция ~(х) и раз дифференцируема в точке а, то при х-~ а В„(х) = о((х — а)"). (7.8) Л Для доказательства достаточно показать, что В (х) ,, И*) — (*) ~а (х — а) -+а (х — а)~ В„(х) . ~(" 1)(х) — ~(" ')(а) — ~(")(а)(х — а) х-+а (х — а)~ х-+а и! (х — а) 1 ~(гь-1)( ) ~(п-1)( ) ~(гъ)( ) = — 11п1 И1 х-+а х — а и.' Но по условию теоремы в точке а существует производная ~(")(а), т.е. в силу определения 1.2 производной существует предел у(п-1) ( ) у(в-1) ( ) 1пп — У(") (а).
х-+а х — а Поэтому правая часть предыдущего равенства равна нулю, откуда следует справедливость (7.8). ~ Покажем, что многочлен Тейлора является единственным многочленом степени и, который в окрестности точки а представляет и раз дифференцируемую в этой точке функцию Дх) с погрешностью более высокого порядка малости при х -+ а, чем любое иэ слагаемых данного многочлена. Теорема 7.2. Если функция ~(х), и раз дифференцируемая в точке а, представима с погрешностью о((х — а)") при х -+ а многочленом по степеням разности х — а вплоть до и-й 11-544 Отношение под знаком предела представляет собой неопределенность вида ~0/0~.
Условие теоремы и то, что Р„(а) = ~®(а) (й) (й = О, и — 1), позволяют для ее раскрытия последовательно (и — 1) раз применить правило Бернулли — Лоииталя: 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 162 ~ Пусть функция Дх) представлена многочленом по степеням х-а в виде в Дх) =~с»(х — а)»+а((х — а)"). а=о Напомним, что функцию оДх — а)") при х-+а можно пред- ставить в виде фх)(х — а)", где ~и(х) — функция, бесконечно малая (б.м.) при х -+ а.
Приравняем указанное представление функции Дх) и ее представление в виде (7.7) с учетом (7.8): ~с»(х — а) + »»(х)(х — а)" = ~ ~ (х — а) + т(х)(х — а)", й " х®() ~=о ~=о где )3(х) и у(х) — б.м. при х-+а функции (в общем случае различные). При переходе к пределу при х -+ а все слагаемые, кроме первых в левой и правой частях записанного равенства, обратятся в нуль.
Отсюда со — — Да). Отбрасывая равные между собой первые слагаемые и сокращая обе части равенства на х — а, получим е ~ с»(х — а)» ~ + ~3(х)(х — а)" » = 1=1 (* — ) + т(х)(х — а)" и-1 Переход к пределу при х -+ а в этом равенстве даст с1 — — ~'(а). Последовательно продолжая описанную процедуру, получаем с~ = ~®(а)/И при Й= О, и, т.е. при сделанных предположениях Я с), являются коэффициентами Тейлора, а ',), с~(х — а)"— й=о многочленом Тейлора функции Дх). ~ степени, то коэффициенты этого многочлена являются коэф- фициентами Тейлора, а сам многочлен — многочленом Тейлора степени и. 7.2.
Многочлен Тейлора и формула Тейлора Таким образом, приближения функции Дх) многочленав ми вида ,') с~(х — а)" с коэффициентами с~, отличными от ~=о ~®(а)/И при й =О, и, задают Дх) в окрестности точки а с погрешностью, которая будет при х ~ а б.м. функцией более низкого порядка, чем при приближении многочленом Тейлора. В этом смысле многочлен Тейлора называют многочленом наилучшего приближения среди всех многочленов той же степени. Пример. Функцию ~(х) = 1/(1 — х) можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем х при ~х~ < 1 и первым членом, равным 1, т.е.
Дх) = — =1+х+х'+...+х" +В„(х), (7.9) причем Р„(х) = хп+1 1 хи+2 1 хи+1/(1 х) О(хи) х -+ О. Таким образом, в силу теоремы 7.2 многочлен и-й степени в правой части (7.9) является наилучшим приближением этой функции в окрестности точки х = О, а его коэффициенты должны быть коэффициентами Тейлора. Действительно, ~((х) 1/(1 х)2 Уи(х) 1 .
2/(1 х)3 ~(Й) (х) ~1/(1 х)/с+1 и У®(0)/И = 1 при Й = О, п. $ Формулу (7.7) Тейлора часто записывают в приращениях, обозначив х — а= Ах и Дх) — ~(а) =Да,+Ьх) — ~(а) =ЬДа): Ь3'(а)'= Х'(а)Ьх+ —,(Ьх) +...+, (Ьх)" + Г'(а) , Х'"1(а) " ~ " ( ) +о((Ьи)") =~, (Ьх) +оЦЬх)"). /с=1 (7.10) ЬУ(а) = У'(а) Ьх+ о(Ьх) Из (7.10) в частныхслучаяхпри п=1 и п=2 получим формулы для приращения в точке а дифференцируемой и дважды дифференцируемой в этой точке функции ~(х) соответственно 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 164 ~И ) Ь|(а) = ~'(а)Ьх+ —,(Ьх) +о((Ьх) ).
Здесь удержаны один (линейный относительно Ьх) и два (линейный и квадратичный относительно Ьх) слагаемых в приращении Ь~(а) функции Дх) в точке а. Эти формулы соответствуют линейному (7.1) и квадратичному (7.4) приближениям этой функции в окрестности укаэанной точки. Произведение ~®(а)(Ьх)" в (7.10) является дифференциалом й-го порядка И~~(а) функции ~(х) в точке а. Поэтому (7.10) можно переписать в виде ЬДа) =(Ч(а)+, +...+, +о((Ьх)") = (~2 ~(а) а- ~(а) и = ), + о((Ьх)"). (7.11) 1=1 Такой вид записи называют формулой Тейлора и-го порядка в дифференциалах. Она дает представление в окрестности точки а приращения и раэ дифференцируемой функции Дх) через ее дифференциалы в этой точке до и-го порядка включительно.
7.3. Различные представления остаточного члена формулы Тейлора ~®(а) 7(х) = ~ , (х — а) + о((х — а)"). /с=О (7.12) Однако эта форма остаточного члена не позволяет вычислить погрешность представления функции Дх) иногочленом Тей- Остаточный член в виде (7.8) формулы Тейлора и-го порядка (7.7) называют остаточным членом в форме Пеано (Д. Пеано (1858-1932) — итальянский математик). Объединяя (7.7) и (7.8), получаем формулу Тейлора и-го порядка с остаточным членом в форме Пеано 7.3. Различные представленил остаточного члена дора Р„(х) при заданномэначении х из окрестности точки а, не дает возможности установить размеры такой окрестности, в которой многочлен воспроизводил бы эту функцию с наперед заданной точностью, а также ничего не говорит о том, как можно влиять на погрешность за счет роста степени п многочлена.
Если в дополнение к условию теоремы 7.2 потребовать существования в точке а еще и хонечной производной ~~"+1)(а) функции Дх), то в силу этой теоремы можно установить, что ~(п+1)( ) Вп(х) = Дх) — Р„(х) = (х — а)"+'+ о((х — а) "+'), и получить иное представление остаточного члена в форме Пеано: В (х) — (х — а) "+' (7.13) (и+ 1)! где (ясно, что а(х) — функция, бесконечно малая при х-+а). Такое представление остаточного члена в некоторых случаях более удобно для анализа поведения функции ~(х) в окрестности точки а.
Удобство состоит в том, что при конечном значении ~~"+1~(а) ф. О вполне определен порядок малости при х -+ а остаточного члена по сравнению с разностью х — а, тогда как об остаточном члене в виде (7.8) можно сказать лишь то, что он более высокого порядка малости, чем (х — а)" при х — ~ а. В частном случае может оказаться, что ~~"+1~(а) = О, и тогда остаточный член в (7.13) будет при х -+ а более высокого порядка малости, чем (х — а)"+'. Однако желательным является такое представление остаточного члена В„(х), которое допускает возможность его непосредственной количественной оценки при конкретных значениях х и и. Пусть функция Х(х) определена и и раз непрерывно дифференцируема на отрезхе [а, а+6~ (Ь > О) и, 166 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА кроме того, по крайней мере в интервале (а, а+ Ь) существует и конечна производная ~("+11(х) (рассуждения в случае отрезка ~а — Ь, а| аналогичны). Рассмотрим остаточный член В„(х) = ~(х) — Р„(х) = Дх) — ~(а) — ~~(а) (х — а)— ~"( ) ~("'и — — (х — а) — ...
— (х — а)". (7.14) 2.' п! Зафиксируем теперь произвольное х Е (а, а+ и) и, заменив в (7.14) постоянное число а переменным л, составим вспомогательную функцию «р(х) =~(х) -~(и) -~'Я (х — х) — — (х — х) —... — (х-г)", ~ "~( ) 2. '' п.' причем будем считать, что г меняется на отрезке [а, х]. На этом отрезке функция «р непрерывна как алгебраическая сумма непрерывных функций и на концах отрезка принимает значения «р(а) =В„(х) и «р(х) =О. Кроме того, в интервале (а, х) существует производная «р'(х) = -~'(х) — (~" (х) (х - г) — ~'(г))— — ( — «х-г) -~ «з)«з-л)) —...— гР"( ) У(~+1~(,) ~(и) ( ),, У(в+~) (х) — (х-г)"- (х-г)" ) =- (х-х)".
п! (и-1)'. п( Возьмем произвольную функцию Ф(л), непрерывную на отрезке (а, х1 и имеющую не равную нулю производную 4~'(х) по крайней мере в интервале (а, х). К функциям «р(х) и $(л) применим на отрезке (а, х] формулу (5.4) Коши конечных прирашекий «р(х) — «р(а) ~Дс) 4)(х) — ~(а) «~'(с) ' где с — точка, лежащая между точками а и х. Поскольку «р(х) = О, «р(а) = В„(х) и «р'(с) = -~("+~~(с) (х — с)"/и!, из (7.15) 167 7.3.
Различные представленил остаточного члена получим 4~(х) — ф(а) ~ф "+'1(с) 4'(с) и.' (7.16) Если теперь вместо ф(х) подставить в (7.15) любые, но удовлетворяющие укаэанным выше условиям функции, то получим различные формы записи остаточного члена В„(х) формулы Тейлора. Пусть Ф(л) = (х — г)р (р > 0). Эта функция непрерывна на отрезке 1а, х|, и ее производная ф'(г) = -р(х — х)Р 1 ф. О Чг б (а, х). Тогда иэ (7.16) следует - (х — а)» ~~ "+~1(с) У (с) ( )л+1-р( )р и!р Так как с=а+д(х — а) при 0< д< 1, то х — с=х — а — д(х — а) = = (1 — д)(х — а) и окончательно У~ "+'1(а+д(х-а)) В„(х) — ' " (1-д)"+' р(х — а)"+1, 0<д<1. (7.17) и!р Это выражение называют остаточным членом в форме Шлемильха — Роша (О. Шлемильх (1823 — 1901) — немецкий математик, Э.
Рош (1820 — 1883) — французский математик и астроном), или остаточным членом в общей форме. Ясно, что (7.17) применимо и в случае х < а. В частном случае р = и+1 из (7.17) получим остаточный член в форме Лааранжа ~ф"+'1(а+ 9(х — а) 1 В~(х) — ' ' (х — а)"+', 0 < 9 < 1, (7.18) (и+ 1)'. который похож на последнее слагаемое многочлена Тейлора Р„+1(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
