II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 16
Текст из файла (страница 16)
4~ Рассмотрим геометрическую интерпретацию теоремы Коши. Если функция у(х) строго монотонна на отрезке ~а, Ь~, то соотношения у=Дх), я = д(х), хЕ[а, 61 задают параметрически функцию у(х) с областью определения уЯа, 61) (см. 2.4), а х играет роль параметра, изменяющегося на отрезке ~а, 61. На рис. 5.10 изображен график функции у(х) для случая у(а) < д(6). Производная у'(х) этой функции в точке хо — — у(с), с Е (а, 6), определяющая угловой коэффициент касательной к графику в точке М(хо, .у(хо)), согласно (2.21), равна ~'(с)/у'(с), что совпадает с правой частью (5.4).
Поэтому геометрический смысл соотношения (5.4), обычно называемого формулой Хоши конечных приращений состоит в том, что на произвольной дуге графика дифференцируемой функции, заданной параметрически,между концами Замечание 5.2. Если в теореме Коши опустить третье условие, то утверждение теоремы будет верно не для (5.4), а для формулы 120 5.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ А(д(а); ~(а)) и В(д(6); Д6)) этой дуги всегда можно найти хотя бы одну точку М (на рис. 5.10 таких точек две— М~ и Мр), в которой касательная к графику параллельнастягивающей концы дуги хорде АВ с угловым коэффициентом (У(6) — У(а))/(д(6) — д(а)) Рис. 5.10 Теореме Коши можно дать и механическое толкование. Пусть функции х = д(х) и у = Дх) задают изменение во времени х координат точки при ее движении в плоскости хОу, а график зависимости у(г) является траекторией этой точки. Тогда направленный по касательной к траектории вектор скорости точки с проекциями д'(х) и ~'(х) соответственно на оси Ох и Оу в некоторый промежуточный момент времени с 6 (а, 6) будет кол.аииеарек вектору перемещения точки за промежуток времени 6 — а, имеющему проекции д(6) -д(а) и ~(6) — Да) соответственно на оси Ох и Оу.
Возможна и иная механическая интерпретация (5.4): при одновременном в течение некоторого периода времени 6 — а прямолинейном движении двух точек хотя бы в один из промежуточных моментов времени с 6 (а, 6) отношение мгновенных скоростей этих точек совпадает с отношением их средних скоростей за этот период, если мгновенная скорость одной из них не обращается в нуль в интервале (а, 6).
5.3. Теоремв Коши Замечание 5.3. При доказательстве теорем Лагранжа и Коши была использована теорема Ролля. В то же время при у(х) = х имеем д'(х) =дЧс) = 1, у(6) — д(а) =6 — а и от (5.5) приходим к утверждению теоремы Лагранжа в виде (5.1), а добавление условия Да) = ~(6) приводит к утверждению теоремы Ролля. 4 ~(х) д(х) Ь(х) .г'(х) = Да) у(а) Ь(а) ~(6) д(6) Ь(6) который представляет собой линейную комбинацию этих функций, также непрерывную на отрезке ~а, 61 и дифференцируемую в интервале (а, 6).
При х= а или х =6 из равенства нулю определителя с двумя одинаковыми строками следует Е(а) = Г(6) = О, т.е. для функции Р(х) выполнены все условия теоремы Ролля и поэтому существует такая точка с б (а, 6), в которой ~'(с) д'(с) Ь'(с) Да) у(а) Ь(а) У(6) д(6) Ь(6) Г (с) = (5.6) Если положить Ь(х) =— 1, то из (5.6) следует (5.5), а при Ь(х) = 1 и д(х) = х получим формулу Лагранжа (5.1). Замечание 5.4. Теорема Коши (как и теоремы Ролля и Лагранжа) носит лишь достаточный характер. Пример 5.8. Трамвай проехал расстояние 5 между двумя остановками за промежуток времени Т. Убедимся, что при движении ускорение трамвая по абсолютному значению в некоторый момент времени было не меньше 45/Т~. Утверждения трех этих теорем могут быть представлены следующим образом. Рассмотрим функции ~(х), у(х) и Ь(х), непрерывные на отрезке [а, 6) и дифференцируемые в интервале (а, 6), и составим определитель 122 3.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ Зависимость з(~) пройденного пути от времени ~ непрерывна на отрезке [О, Т]. Скорость з'(8) трамвая также считаем непрерывной на этом отрезке и дифференцируемой в интервале (О, Т) функцией времени 1 (в противном случае при скачкообразном изменении скорости ускорение по абсолютному значению бесконечно велико, что требует приложения бесконечно больших сил). Проведем сравнение функции з($) с составной функцией и(~) = ~г/2 (Т вЂ” ~) г/2 'Й Е [О, Т/2~, ~й Е [Т/2, Т1, з(Т/2) — з(0) з(Т/2) — з(0) и(Т/2) — и(0) Тг/8 — — 11 Е (О, Т/2), з'(~1 ) з'(~1) и,'(Ф1) (5.7) а на отрезке [Т/2, Т1 — к функциям з(1) и и($) = (Т вЂ” ~)~/2: з(Т) — з(Т/2) з(Т) — з(Т/2) и(Т) — ц(Т/2) — Тг/8 — > ~г Е (Т/2, Т).
з'(~г) з%) й(1г) 1г — Т (5.8) После почленного вычитания (5.8) иэ (5.7), учитывая, что з(Т) — з(0) = 5, получим з(Т) — з(0) 85 з (11) 3 (8г) (5.9) Тг/8 Тг ~1 Т вЂ” 1г которая описывает равноускоренное движение некоторого тела эа первую половину промежутка времени Т и равноэамедленное — эа вторую половину этого промежутка.
Для этого применим (5.4) наотреэке [О, Т/2~ к функциям з(1) и и($) =Р/2: 123 Д.$.1, О непрерывности производных Поскольку на остановках трамвая з'(0) = 3'(Т) = О, с помощью формулы Лагранжа (5.1) запишем правую часть (5.9) в виде в'(11) — в'(0) з'(Т) — 3'(1~) 11 Т 12 где ~3 Е (О, ~1) и 14 Е (~~, Т). Используя последнее равенство в (5.9) и переходя к абсолютным значениям, найдем 8 ~/Т = !в (~3) — 3 (~4)! ~~ !3 (~3)!+ !в (~4)! Дополнение 5.1. О непрерывности производных Для существования в точке х = а второй производной ~"(а) функции Дх) необходимо, чтобы была непрерывной в этой точке первая производная ~'(х), т.е., согласно (1.1), 11п1 ~'(х) = ~'(а).
(5.10) Это непосредственно следует из теоремы 1.2 о непрерывности ди44еренцируемой функции. Однако дифференцируемость функции Дх) в некоторой окрестности точки х = а, что равносильно по теореме 1.1 существованию в этой окрестности производной ~'(х), еще не гарантирует выполнения условия (5.10). В этом можно убедиться на следующем примере. Таким образом, даже для случая равенства абсолютных знаЧЕНИй УСКОРЕНИЯ В МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ 13 И $4 (!3"(13)! !Зн($4)!) существует такой момент времени ~в Е (О, Т), что абсолютное значение ускорения !в"($о)! > 45/Т2.
Итак, при поездках на трамвае перегрузка (отношение ускорения трамвая к ускорению д = 9,81 м/с свободного падения) не менее 45/(дТ~) неизбежна. 124 5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ Пример. Функция х~в1п(1/х), х ф 0; О, х= О дифференцируема на всей числовой прямой. Действительно, для любого х ф- 0 имеем ~'(х) = 2х в1п(1/х) - сов(1/х), а в точке х=О Э 1пп Ь|(0) .. 1 = 1нп Ьхв1п — =О, Ьх-+О Ьх Ьх-+о Ьх т.е. ~'(0) = О. Но ~'(х) при х — ? 0 не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Это означает, что в точке х = 0 функция ~'(х) терпит разрыв, а вторая производная функции ~(х) не существует.
График этой функции показан на рис. 5.11. Рис. 5.11 Рассмотрим более общий случай, когда ДО) = 0 и ~(х) = = х~в1п(1/х) при т б Х и х ф-О. Тогда для любого х ф 0 имеем ~'(х) = тх 'в1п(1/х) — х~ з сов(1/х) и условие (5.10) выполнимо в точке х=О при т> 3. Однако вторая производная ~"(О) существует лишь при т > 4, поскольку 1пп = 1ип т(Ьх)~ 2в1п — — (Ьх)~ сов— Ь|'(0) тв-2 ° 1 т-3 Ьх-+О Ьх Ьх-+о Ьх Ьх 126 5.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ Замечание 5.1. Доказанную теорему нетрудно перенести на односторонние пределы и односторонние производные. А именно, если функция Дх) непрерывна в точке х = а справа, дифференцируема в интервале (а, а+ в) и существует то данная функция имеет в точке х = а непрерывную правую производную ~+(а) = ~'(а+О). Для доказательства достаточно в (5.11) перейти к пределу при х1-+а+О. Аналогично можно показать, что из существования левого предела ~'(а-О) бИ производной ~'(х) вточке х=а следует существование в этой точке непрерывной левой производной ~' (а) = ~'(а — О). Предположим теперь, что х = а является точкой разрыва первого рода для производной ~'(х) дифференцируемой в этой точке функции ~(х).
Тогда, согласно определению 9.6 11~ точки разрыва первого рода, 3 1ип ~'(х) = ~'(а+О) Л 3 1пп ~'(х) = ~(а — О). Если ~'(а+ О) = ~'(а — О) = А (точка устранимого разрыва), то, согласно теореме 7.1 ~1~ о связи односторонних пределов функции в точке с двусторонним пределом этой функции в той же точке, существует предел функции ~'(х) в точке х = а и он равен А, т.е. 3~'(а) = А и функция ~'(х) непрерывна в этой точке, что противоречит сделанному предположению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
