II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Пусть функция у = ~(х) задана неявно уравнением х~+ 5ху+ у~ — 2х+ у — 6 = О. Найдем вторую производную этой функции в точке (1; 1). Дифференцирование обеих частей уравнения по х дает 2х+5р+5ху'+2уу' — 2+у' = О. Отсюда ( 2- 2х — 5у Д 1+ 2у+ 5х и значение первой производной в точке (1; 1) у'~~1.11 — — -5/8. Дифференцируя равенство для первой производной еще раз, получаем р, ( — 2 — 5у') (1+ 2у+ 5х) — (2 — 2х — 5у) (2у'+ 5) (1+ 2у+ 5х)~ Пример 4.13. а.
Найдем производную второго порядка функции у = Дх), заданной неявно уравнением у = х+ агс®~у. Дифференцируя обе части этого уравнения по х, получаем у' = 1+ у'/(1+ у~), откуда у' = 1+ 1/у2. Дифференцируя последнее равенство еще раз и учитывая выражение для первой производной, записываем 4.5. Дифференциалы высших порадков Подставляя сюда значения х = 1, у = 1 и у'= -5/8, находим у" ~ ~1,.11 — — 111/256. 4.5. Дифференциалы высших порядков (4.19) Очевидно, третьим дифференциалом (дифференциалом третье- го порядка) называют дифференциал (если, конечно, он суше- ствует) от дифференциала второго порядка, т.е.
,~зу ,~(„2„) (4.20) и так далее. Вообще, п-м дифференциалом (дифференциалом п-ео порядка) функции у = Дх) в некоторой тпочке называют дифференциал в этой точке (если он существует) от дифференциала (и — 1)-го порядка в указанной точке и обозначают Ы"у (или И"Дх)), т.е. И"у=И(Н" 'у). (4.21) Если х — независимое переменное, то Ых является произвольным независящим от х числом, которое при дифференцировании по х следует считать постоянным множителем.
Подобно производным высших порядков дифференциалы высших порядков также определим по индукции. В связи с этим дифференциал Ыу функции у = ~(х) в некоторой точке х (см. определение 3.1) там, где это необходимо для определенности, будем называть первым дифференциалом (дифференциалом первоео порядка) функции в данной тпочке.
Втпорым дифференциалом (дифференциалом втпороео порлдкв) функции у = Дх) в некоторой тпочке называют дифференциал в этой точке (если он существует) от дифференциала первого порядка в данной точке и обозначают Ру (или Р~(х)). Итак, Д.4.1. Толкование дифференциала второго порлдка где С'~ — число сочетаний из п элементов по Й элементов. Дифференциалы более высоких, чем первый, порядков, вообще говоря, не обладают свойством инвариантности формы записи. Действительно, если у = Дх) и х = д(х), то с учетом теоремы 2.2 о производной сложной функции получаем Йу = ~'(х) у'(х) Ых = ~'(х) ~Ь. (4.26) а'у = Ы(Иу) = Щ'(х) йи) = Ы(~'(х)) сЬ+ ~'(х) В(сЬ) = = ~"(х) (Ь~+ ~'(х)Ы~х, (4.27) т.е.
уже в выражении для дифференциала второго порядка сложной функции у = ~(д(х)) появляется дополнительное слагаемое ~'(г) а2х. Лишь в частном случае линейной функции х = у(х) = сох+ с1 имеем (Ь = сойх и сРх = Ы~х = ... = И" х = О, т е а™у У(тв) (х) ~~та У(а)(х)(~ ах)ю Дополнение 4.1. Геометрическое и механическое толкование дифференциала второго порядка Можно ли усмотреть геометрический смысл дифференциала второго порлдка а2у функции у ~(х)? На рис.
4.3 вертикальной Дх) 1 ( х ) штриховкой отмечены криволинейные „клинья", которые возникают между графиком функ- у(о) ции и касательной МТ. УравХ1(х) нение у=Да)+~'(а)(х — а) ка- д(х) сательной линеаризует зависимость у = ~(х) в окрестности О точки а. Ординаты В1(х) = Рис. 4.3 7-544 Подчеркнем, что Ы~ = у'(х) Ых и х = у(х) нельзя считать в данном случае независимыми. Поэтому дифференциал от Ыу следует искать как дифференциал произведения 98 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ = ~(х) — ~(а) — ~'(а) (х — а) этих „клиньев" характеризуют по- грешность приближенной формулы вида (3.7) ~(х) — Да) + ~'(а) (х — а) = ~(а) + 4(а) (4.28) и могут быстро возрастать по мере удаления от точки а. Дифференциал второго порядка функции у = ~(х) в точке а И~у = д~(а) = ~~ (а) ах = ~'~(а)(Ьх) = ~ ~(а)(х — а) приводит к уравнению параболы д(х) = ~"(а)(х — а)~, график которой показан на рис. 4.3 штрихпунктирной линией.
Графики функций В~(х) и д(х) прилегают один к другому в окрестности точки а, поскольку оба они касаются в этой точке оси абсцисс. Поэтому заманчива попытка хотя бы частично скомпенсировать погрешность формулы (4.28), добавив для уточнения в ее правую часть еще одно слагаемое: Дх) = Яа) + ф'(а) + К сРЯа), или Ях) и ~(а) + ~'(а) (х — а) + К~" (а) (х — а) . Коэффициент К следует подобрать так, чтобы в точке а втпорые производные левой и правой частей последней формулы (соответственно ~"(а) и 2К~"(а)) были одинаковыми. Отсюда К=1/2 и Дх) ~(а) + ~'(а) (х — а) + ~" (а) (х — а) ~/2.
(4.29) Возникает естественное подозрение, что эту формулу можно улучшать и дальше, если учитывать дифференциалы третьего и более высоких порядков (по крайней мере, дифференциал с~~у = И~Да) = ~"'(а)(х — а) важно учитывать в ситуации, когда ветви графика функции у = Дх) лежат по разные стороны касательной, проведенной к графику в точке М, как показано на рис.
4.4). Далее будет возможность строго доказать (см. 7.2), что так оно и есть, а пока ограничимся высказанны- Д,4. 1. Толкование дифференциала второго порлдка ми интуитивными соображениями о том, что дифференциалы выше пер- У(х) вого порядка характеризуют отличие графика функции от касатель- У(а) ной, а дифференциалы выше второго порядка — отличие этого графика от квадратной параболы, описываемой правой частью (4.29). Дифференциалам выше первого порядка можно дать и механическое толкование. Пусть, как и ранее (см.
пример 1.2), функция в = ~(1) описывает зависимость от времени $ пройденного расстояния в при прямолинейном движении материальной точки М массой т, причем в момент времени = а скорость точки М о(а) = ~'(а). Если при ~ > а равнодействующая Г приложенных к точке М сил равна нулю (Г = 0), то материальная точка продолжает движение по инерции с постоянной скоростью е(а) и в = в(а)+о(а)(1 — а), или ~(й) = ~(а) + ~'(а)(й — а), а формула (4.28) становится точной.
Если же вектор равнодействующей коллинеарен вектору скорости и сохраняет постоянное ненулевое значение, движение будет равнопеременным (равноускоренным или равнозамедленным) с постоянным ускорением ы = Е/т. Известно, что в этом случае пройденное расстояние описывает уравнение в = = 8(а) + о(а)(1 — а) + ы(1 — а)~/2, или ~(~) = ~(а) + ~'(а) (~ — а) + +~"(а)(~ — а)~/2, где ~"(а) = ю= Р/т. Теперь точной становится формула (4.29), а дифференциал второго порядка а28 = = <РДа) = ~н(а) ($-а) 2 будет равен удвоенной разности пройденного расстояния при равнопеременном и равномерном движениях материальной точки. Если же равнодействующая Р = Е(1) зависит от времени, то ускорение ж = Р'(1)/т также будет меняться, а дифференциалы третьего азв = Р~(а) и более высоких порядков будут характеризовать разность пройденных расстояний при реальном законе движения и равнопеременном движении с постоянным ускорением ~н(а) = го(а) = Р(а)/т.
ДА.1. Толкование дифференциала второго порвдка 101 поскольку в данном случае сРУ(1) =у,",йз и сРх(1) = х",,й2, а также и из механических соображений: точка под действием силы, совпадающей по направлению со скоростью этой точки, должна двигаться по некоторой прямой с уравнением у = сох+ +с1, для которого у" =О. В слУчае Ухни У~ 0 втоРой диффеРенциал сад(х) = Р" Ых2 (если считать х независимым переменным) характеризует в текущий момент времени отличие траектории движения точки от прямолинейного по касательной к траектории. Если же считать независимым переменным ~ и в (4.30) подставить Ру(1) = у,",й~ = Шй~, И2х= х",,йВ = ш й2, Ых =х',й= и й и У' = ЮУ/Юх, тО ПОЛУЧИМ СООТНОШЕНИЕ з ®У Пх и ~У вЂ” = — Д +— Ц~х ®х ~х (4.31) устанавливающее связь угловых коэффициентов касательной (ОУ/Юх) И ПРЯМОЙ (ИУ/Юх), ВДОЛЬ КОторой направлена действующая сила.
Например, при движении точки М по окружности радиуса В (рис. 4.6), заданной параметрически соотношениями х(1) = Всо81, ~ЕИ, у(~) = Вв~п ~, Рис. 4.6 скорость направлена по касательной МТ с угловым коэффициентом оУ/о = у,'/х', = -сФц8, а ~" = -1/(Вв~пз1), = -Всов~ и, согласно (4.31), и ®х=хн= В;д ~)г ° з с~~~ с~~~ ~®~' ш — Всоа ВБЫз ~ 8 и ~ сои т.е. действующая на материальную точку сила направлена к центру окружности.
102 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ Вопросы и задачи 4.1. Показать, что если материальная точка движется прямолинейно по закону 8 = ае'+ 6е ', то ее ускорение численно равно пройденному пути. 4.2. Какого порядка производные имеет функция у =1х~з в точке х = О? 4.3. Найти производные у"(х) и у'"(х) от сложной функции у = Дд(х)), если функции г = д(х) и ~(г) достаточное число раз дифференцируемы. 4.4. Выразитьдифференциал ~Фу функции у=и и" через дифференциалы функций и(х) и и(х). 4.5. Функция имеет в точке а производную и-го порядка. Что можно сказать о существовании производных меньшего порядка в этой точке и ее некоторой окрестности? 4.8. Многочлен Р5(х) = 1+х+х2+хз+х4+хь обращается в нуль в точке х = -1. Убедитесь, что кратность этого нуля данного многочлена (корня уравнения Р5(х) = 0) равна единице.
Что можно сказать о кратности нуля х = 1 многочлена Р (х) х4 хз Зх~+ 5х 2 'р 4.Т. Определить, какого порядка производные имеют в точке х = 0 функции 1 — созх Чх < О, у= 1п(1+ х) Чх > 0; зйх — х Ух<0, х — з1пх Чх > 0; зЬх Ух<0, у= з1пх сЬх Чх > О. 4.8. Показать, что функция у= х" (С1соз(1пх)+С~з1п(1пх)) удовлетворяет уравнению х~у" + (1-2п)ху'+ (1+ п2)у = 0 при произвольных значениях постоянных С1, Ср б И и а Е Х.
Вопросы и задачи 103 4.9. Доказать, что при прямолинейном движении точки по закону е = ол++ 11, С > О, ее ускорение пропорционально кубу ее скорости. 4.10е Две точки движутся прямолинейно по законам 8~ —— = Р+Р/2+1+1/2 и 82 — — 2Р/3+ЗА — 51. Каково отношение их ускорений, когда совпадают абсолютные значения их скоростей? 4.11. Найти и-ю производную функций (ах+ 6)/(сх+ Ы), яп2х, япах япох, яп2ах созох, в1п4х+со84х, сИах 81пбх, е6х яп ах 4.12. С каким коэффициентом следует добавить в правую часть (4.29) дифференциал третьего порядка функции ~(х), чтобы совпали в точке х = а третьи производные от обеих частей этой формулы? 4.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
