II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 15
Текст из файла (страница 15)
м Рассмотрим функцию Г(х) = ~(х)е~1~1 и ее производную Р'(х) = ~'(х)Ф'1+,1(х)сл1'1д'(х) = (~(х)д'(х) + ~'(х))е~1 1. Пример 5.3. На отрезке [О, 1] функция ю(х) непрерывна и трижды дифференцируема. Докажем утверждение: если ю(0) = ю(1) = ю'(0) = ю"(1) = О, то существует точка хо Е (О, 1), в которой ю"'(хо) = О. ~ Для функции ю(х) на отрезке [О, 1] выполнены все условия теоремы Ролля.
Поэтому существует точка с б (О, 1), в которой ю'(с) = О. Теперь можно применить теорему Ролля на отрезке [О, с] к функции ю'(х) и заключить, что существует такая точка Ы Е (О, с), в которой юп(И) =О. Но тогда на отрезке [Ы, 1] будут выполнены все условия теоремы Ролля для функции ю"(х), а значит, существует точка хо Е (И, 1) С (О, 1), в которой ю"'(хо) = О. Ь Функцию ю(х) в данном случае можно рассматривать как зависимость от продольной координаты х прогиба ю упругой балки при ее изгибе под действием распределенной поперечной нагрузки д(х) (рис. 5.6).
Левый конец (х = 0) балки защемлен, т.е. он не может смещаться вертикально (ю(0) = 0), а его по- Рис. 5.6 Поскольку Р(х) удовлетворяет на отрезке [а, 6] всем условиям теоремы Ролля, существует такая точка с ~ (а, 6), в которой Р(с) = ®с)д'(с)+ ~'(с))е~<'> = О. Но так как е~1'1 уЕ О, то Дс)д'(с) + ~'(с) = О, т.е. с является корнем заданного уравнения. ~ 112 5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ перечное сечение — поворачиваться. Поэтому касательная к линии прогиба балки при х = 0 остается горизонтальной и ы'(0) = О. Шарнирная опора на правом конце (х = 1) балки пре пятствует вертикальному смещению (ю(1) = 0), но позволяет поперечному сечению балки свободно поворачиваться, так что ее ненагруженный участок при х > 1 остается прямолинейным, т.е. а" (х) = О при х > !. Поскольку функция ю(х) трижды дифференцируема в точке х = 1, в этой точке непрерывна вторая производная ю"(х), и поэтому ю"(!) = О.
Допустимая условиями закрепления балки линия прогиба изображена на рис. 5.6 штрихпунктиром. Применение теоремы Ролля позволяет установить на линии прогиба наличие характерных точек с нулевыми значениями первых трех производных функции прогиба, что необходимо для анализа работоспособности балки под действием нагрузки. Качественный характер зависимостей и'(х), ю" (х) и и'"(х) показан на рис. 5.6. 5.2. Теорема Лагранжа и формула конечных приращений Теорема 5.3 (Лагранжа).
Пусть функция у = ~(х) 1) непрерывна на отрезке 1а, 6~, 2) дифферениируема в интпервале (а, 6). Тогда между точками а и 6 найдется хотя бы одна такая точка с (а < с < 6), для которой справедливо равенство ДЬ) — ~(а) = ~'(с)(Ь вЂ” а). (5.1) ~ Введем вспомогательную функцию Г(х) = ~(х) — ~(а)— ДЬ) — Да) (х — а). Ь вЂ” а Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [а, 6] как сумма 5.3. Теорема Лагранжа и формула конечных приращений 113 непрерывных функций и в интервале (а, 6) имеет конечнуя производную ДЬ) — У(а) 6 †и, наконец, непосредственной подстановкой легко убедиться, что г (а) = Р(6) = О.
Итак, в интервале (а, 6) существует точка х = с, в которой производная Р'(с) = ~'(с) — = О, Ь вЂ” а а отсюда следует (5.1). 6~ Для выяснения геометрического смысла теоремы Лагранжа заметим, что отношение ДЬ) — У(а) ВС Ь вЂ” а АС является угловым коэффициенпюм хорды АВ (рис. 5.7), а ~'(с) — угловым козффициентом касательной к графику функции у=Дх) в точке с абсциссой У х = с. Таким образом, утверждение теоремы Лагранжа равносильно следующему: на непрерывной дуге АВ, имеющей в каждой точке невертикальную ка- у У(х) А сательную, всегда найдется по ~Л4 м м 3 краинеи мере одна точка М, в р а с1 с~ Ь х которой касательная параллельна хорде АВ (на рис. 5.7 таких Рис.
Ь.Т точек две — М~ и М2). Если х — время, а Дх) — координата точки при прямолинейном движении, то отношение фЬ) — ~(а))/(д- а) определяет среднюю скорость точки за период времени Ь вЂ” а (см. пример 1.2). Тогда утверждению теоремы Лагранжа можно дать такую механическую интерпретацию: в промежутке (а, 6) 114 5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ Рис. 5.8 Доказанную в теореме 5.3 формулу (5.1) называют формулой Лаеранжа.
Возьмем произвольную точку х0 Е 1а, 6~ и придадим аргументу х функции у=~(х) приращение Ьхф.О, не выводящее точку х+Ьх за пределы отрезка ~а, 61. Запишем (5.1) для отрезка 1х0, х0+Ьх1, если Ьх > О, или для отрезка ~х0+Ьх, х01, если Ьх ( О. При этом число с, заключенное между х0 и х0+ Ьх, можно представить в виде с = х0+ ОЬх, где число 6 Е (О, 1). Тогда вместо (5.1) получим У(х0+ Ьх) — ~(х0) = ~'(х0+8Ьх)Ьх, или с учетом обозначения ~у = 1(х0+ ~ х) — Дх0) Ьу=У'( .+Ел )Ьх.
(5.2) Это равенство называют формулой конечных ирираиаений Она позволяет найти точное значение приращения функции есть хотя бы один момент времени с, для которого мгновенная скорость У'(с) совпадает со средней скоростью точки. Теорема Ролля — частный случай теоремы Лагранжа, так как при Да) = Д6) хорда АВ параллельна оси Ох. Как и теорема Ролля, теорема Лагранжа носит лишь достаточный характер.
Это видно на рис. 5.8, где изображены графики функций, непрерывных на отрезке 1а, 6), но не дифференцируемых в его внутренней точке х0. График на рис. 5.8, а не имеет точки, в которой касательная параллельна хорде АВ, а у графика на рис. 5.8, б такая точка М существует. 5,2. Теорема Лагранжа и формула конечных приращений 115 у = Дх) при любом конечном приращении Ьх аргумента х в отличие от приближенной формулы вида (3.6) Ьу = ~'(хр)Ьх, (5.3) погрешность которой стремится к нулю лишь при Ьх -~ О. В противоположность (5.2) часто (5.3) называют формулой бесконечно малых приращений, поскольку она верна с точностью до бесконечно малой при Ьх -+О функции о(Ьх) более высокого порядка, чем приращение Ьх аргумента х.
Пример 5.4. а. Проверим, удовлетворяет ли функция у = 1пх условиям теоремы Лагранжа на отрезке 11, е], и если удовлетворяет, то найдем точку с, фигурирующую в этой теореме. Функция у=!пх непрерывна на отрезке 11, е] ~1, 9.5], а ее производная у'=1/х конечна при любом х б (1, е). Поэтому, согласно формуле (5.1) Лагранжа, 1пе — 1п1 = (1/с)(е — 1) и отсюда с=е — 1.
б. Докажем неравенство агсФдх2 — агс1дх1 < х2 — х1, 1 агс®хг — агсфх1 — — — (х2 — х1), с Е (х1, х2). 1+ с2 Поскольку О < 1/(1+ с~) < 1, доказываемое неравенство верно. В частности, при х1 — — О, хг — — х > О получим агсф~х < х. ~ Из теоремы Лагранжа вытекает следствие. Следствие 5.2. Если функция Дх) непрерывна на отрезке [а, 6] и во всех его внутренних точках имеет равную нулю производную, то эта функция постоянна на указанном отрезке.
8' где хг > х1 > О. Для этого запишем формулу (5.1) Лагранжа для функции р=агсфх наотрезке 1х1, х2] с учетом того, что (агсф~ х)' = 1/(1+ х2): 116 5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ М Выберем на отрезке 1а, 61 произвольную точку х1. Функция ~(х) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке ~а, х1) С ~а, Ц.
Тогда, согласно (5.1), ~(х1) — ~(а) = ~'(с)(х1 — а), с Е (а, х1). Нопоусловию ~'(с) =0 ЧсЕ(а, х1) С (а, 6), и поэтому ~(х1) = = Да), т.е. значение функции в произвольной точке на отрезке ~а, 61 совпадает с ее значением в фиксированной точке а. Следовательно, функция Дх) постоянна на всем отрезке. ~ Замечание 5.1. Если ~'(х) = 0 Чх 6 Е, то ~(х) = = сопз$ Чх Е Е, поскольку на любом отрезке числовой оси будут выполнены условия следствия 5.2. Следствие 5.3.
Ксли для дифференцируемых при х > а функций Дх) и у(х) ~'(х) >у'(х) и ~(а) =у(а), то Дх) > > у(х) при х > а. Цх) = Ь'(с)(х — а) = (Дс) — у'(с))(х — а), с 6 (а, х). Функция Цх) >О, т.е. Дх) >д(х) при х >а, поскольку правая часть последнего равенства положительна. э Пример 5.5. Сравним функции ~(х) = е и у(х) = 1+х+ + хз/2 при х б Е. Эти функции равны при х = 0: ДО) = у(0) = = 1. Найдем ~'(х) = е* и у'(х) = 1+ х причем ~'(0) = у'(0) = 1. Первым рассмотрим случай х > О. Чтобы воспользоваться следствием 5.3, нужно сначала сравнить функции ~'(х) и у'(х) при х > О. Для этого вычислим ~"(х) = е и д"(х) = 1.
Поскольку при х > 0 е~ > 1, т.е. ~"(х) > д"(х), согласно следствию 5.3, ~'(х) > у'(х), т.е. е~ > 1+ х, а значит, и ~(х) > > д(х), или е* > 1+ х+ х~/2 Чх > О. ~ Функция Ь(х) =~(х) -у(х) наотрезке 1а, х~ удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. Так как Ь(а) =О, то из (5.1) следует, что П7 В случае х < 0 положим х=-и, и >О и запишем Дх) = = Ь(и) = е ", Ь'(и) = -е ", Ь"(и) = е "; у(х) = з(и) = 1 — и + +и2/2, з'(и) = — 1+и, з"(и) =1.
Поскольку з"(и) >Ь"(и) Чи> > О, а з'(0) = Ь'(0), в силу следствия 5.3 при и > О з'(и) > Ь'(и), т.е. — 1+и> — е ", или е ">1 — и, а значит, и е~ > 1+х Чх < О. Но в силу того жеследствия при з'(и) > Ь'(и) для и >0 и з(0) = Ь(0) справедливо неравенство з(и) > Ь(и) Чи > О, или 1 — и+и~/2> е ", а значит, и е < 1+х+хз/2 Чх < О, или е — 1 — х < х2/2 Ух < О. Графики функций ~(х), у(х) и у'(х) = 1+х представлены на рис. 5.9.
Рис. 5.9 5.3. Теорема Коши Теорему Лагранжа обобщает следующая теорема. Теорема 5.4 (Коши). Пусть функции Дх) и у(х): 1) непрерывны на отрезке [а, 6~; 2) дыфферениируемы в интпервале (а, 6); 3) производная у'(х) не обращается в нуль в интервале (а, 6). Тогда между точками а и 6 найдется хотя бы одна такая 118 5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ точка с (а < с < 6), для которой ~(Ь) — ~(а) У'(с) д(Ь) — д(а) д'(с) (5.4) Р(х) = ~(х) — Да)— ДЬ) — Да) д(Ь) — д(а) (д(х) — д(а)). Эта функция непрерывна на отрезке 1а, 61 и дифференцируема в интервале (а, 6) как линейная комбинация непрерывных и дифференцируемых функций на соответствующих промежутках. Кроме того, Р(а) = Р(6) = О.
Таким образом, функция Р(х) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, а значит, существует такая точка с б (а, 6), в которой Р(с) = О, т.е. У'(с) — д'(с) = О, д(6) — д(а) откуда следует (5.4). ~ Здесь необходимо предостеречь от соблазна „элементарно" доказать теорему Коши путем двукратного применения к функциям Д(х) и д(х) формулы Лагранжа (5.1) в виде ~(6) — ~(а) = ~'(с)(Ь вЂ” а) и д(Ь) — д(а) = д'(с)(6 — а) с последующим делением соответствующих частей этих равенств и сокращением на Ь вЂ” а ф.
О. Дело в том, что, действительно, для каждой из функций ~(х) и д(х) существует хотя ~ Покажем, прежде всего, что д(6) ф- д(а), т.е. левая часть (5.4) имеет смысл. Действительно, если бы д(6) = д(а), то для функции д(х) на отрезке 1а, 61 были выполнены все условия теоремы Роиац азначит, существовалабы такая точка с1 б (а, 6), в которой д'(с1) = О, что противоречит третьему условию данной теоремы. Теперь рассмотрим вспомогательную функцию 119 бы одна, но своя точка с Е (а, 6), для которой справедлива фор- мула Лагранжа, но совсем не обязательно, чтобы зти точки совпадали для разных функций. , ®Ь) — ~(а))у'(с) = (д(6) — у(а))~'(с). (5.5) Для доказательства (5.5) достаточно рассмотреть вспомога- тельную функцию г'(х) = (~(Ь) — ~(а))д(х) — (д(Ь) — д(а))Дх) и применить к ней теорему Ролля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
