II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Если же ~'(а+О) ф- ~'(а — О), то в силу замечания 5.1 ~'(а+О) = = У+(а) и ~'(а — О) = ~' (а), а тогда ~+(а) ф- ~' (а), т.е. функция У(х) недифференцируема в точке х = а (см. 1.6), что также противоречит сделанному предположению. Итак, если функция дифференцируема в окрестности некоторой точки, то ее производная в этой точке либо непрерывна, либо имеет точку разрыва второго рода. 127 Д.Б.1. О непрерывности проиэводных Если в точке ж = а 3~'(а) ф- О, то в силу (1.2) и определения 1.2 производной в некоторой окрестности этой точки разностное отношение (~(ж) — ~(а))/(ж — а) сохраняет знак ~'(а). Это означает, что =Ы > О: Чж Е $3(а; о) Дж) > ~(а) в случае ~'(а)(ж — а) > О и ~(м) < Да) в случае ~'(а)(ж — а) < О.
Если, кроме того, производная ~'(л) в точке х = а непрерывна, то существует окрестность этой точки, в которой ~'(ж) сохраняет знак производной ~'(а). Тогда 361 > О: Уж1, жг Е У(а; 61) при с1 < хр Джг) > 1'(с1), если ~'(а) > О, и ~(ж~) < 1(ю1), если ~'(а) < О, т.е. в этой окрестности непрерывная функция у = ~(х) строго монотонна и имеет непрерывную и строго монотонную обратную функцию ж = ~ '(у) (см. теорему 9.6 11]). Таким образом, в условии теоремы 2.3 о производной обратной функции достаточно было потребовать существования у функции у = ~(х) в точке ж = а непрерывной производной ~'(а) у'- О, или с учетом ~(а) = 6 3 1ип ~'(х) =,Г'(а) ф О =~ 3(~ ~(у)) $д=ь = Ц~'(а). Аналогично можно видоизменить условие существования производнойй функции, заданной параметрически.
Еще раз подчеркнем, что непрерывность ~'(ж) в точке х = а является лишь необходимым условием существования ~"(а), а для существования ~®(а) необходима непрерывность в этой точке ~(" 11(х). Из существования ~®(а), согласно определению 1.2 производной, следуют существование ~~" '1(х) в некоторой окрестности точки а и непрерывность ~1" ~1(ю) в этой точке. В свою очередь, в этой окрестности, согласно теореме 1.2 о непрерывности дифференцируемой функции, будет непрерывна производная ~~" 21(ж) и все производные меньшего порядка вплоть до и = О, т.е.
непрерывна и сама функция ~(ж). Ясно, что все сказанное относится и к односторонним производным в точке а, и к соответствующим полуокрестностям этой точки. 128 Б. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ Вопросы и задачи 5.1. Какие условия теоремы Ролля нарушены для функций, графики которых изображены на рис. 5.12? 5.2. Доказать, что Чр Е И уравнение р~(х)+~'(х) =0 имеет хотя бы один корень в интервале (а, 6), если ~(х) ф О, ~(а) =~(6) ифункция ~(х) дифференцируема на отрезке 1а, 61.
Рис. $.12 5.3. Доказать, что существует такая точка с Е (а, 6), в которой с~'(с) = ~(с), если функция ~(х) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжанаотрезке ~а, Ц, а>0 и, кроме того, 6~(а) = а~(6). 5.4. Доказать, что существует такая точка с Е (а, 6), в которой ~'(с)/~(с) = д'(с)/у(с), если функции ~(х) и д(х) удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке ~а, 61 и, кроме того, Да)у(6) = ~(Ь)у(а) и ~(х)у(х) ф.О Чх Е ~а, Ь|. ~(6) — Да) Ь+ а 6- а ~(6) — Да) ' 5.6. Доказать, что уравнение 3~+4~ = 5~ имеет на В единственное решение х = 2. 5.7. Сколько нулей может иметь функция Дх) в интервале (а, 6), если она дважды дифференцируема в этом интервале и ~" (х) ф 0 Чх Е (а, 6)? 5.5.
Доказать, что уравнение ~'(х)~(х) = х имеет хотя бы один корень в интервале (а, 6), если функция ~(х) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке [а, 61 и, кроме того, Вопросы и эадвчи 5.8. Определить значение с в формуле Лагранжа (5.1) на отрезке ~0, 2] для составной функции (3 — х2)/2 Чх Е [О, 1], У(х) = 1/х Чх Е (1, 2]. 5.9. Доказать неравенства: а) ~ в1п х — в1п у~ < ~х — у~ Ух, у Е Е; б) ~агсФдх — агсСду~ < ~х — у~ Чх, у Е Ж; в) (х — у)/х < 1п(х/у) < (х — у)/у при 0 < у < х; г) 2~~х >вЬх Чх Е (О, я'/2); д) х — х'/2 < 1п(1+ х) < х Чх > 0; е) Фдх+2в1пх > Зх Ух Е (О, к/2)' ж) ф~х > х+ х~/3 Чх Е (О, л/2); з) 1п(1+совх) <1п2 — х~/4 Чх Е (О, 1г); и) Ф~х/®у > х/у при 0 < у < х < т/2; к) х2совх < в1п х Чх Е (О, ~г/2).
5.10. Что можно сказать о функции, если ее и-я производная является линейной функцией, определенной на всей числовой прямой? 5.11. Доказать, что существует такая точка с Е (О, 2), в которой ~"(с) = О, если функция Дх) непрерывна на отрезке ~0, 2], дважды дифференцируема в интервале (О, 2) и ~(0) = О, ~(1) =1, г"(2) =2. 5.12. Определить вид функции ~(х), удовлетворяющей условиям теоремы Лагранжа на отрезке ~а, О] и уравнению р~(х) = ~'(х) Чх Е (а, о), рЕЖ. 5.13. Доказать справедливость неравенств при х > 1: а) 2хз+Зх2 — 12х+7 > 0; б) Зх4+8хз — 6х2 — 4х+19> 0; в) хз+Зх+6х1пх+2>6х2 г) х4+8х+12х~1пх >8хз+1 д) 2~/х >3 — 1/х; е) е* 1+1пх — 2х+1>0. 130 $.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 5.14. Доказать неравенства при х > 0: а) х — хз/3! < 81п х < х — хз/3! + х5/5!; б) 1 — х2/2 < совх < 1 — х~/2+ х4/4.'; в) х' > ((х+1)/2) г) е < (1+х)1+~; д) х > хагсфх > 1п(1+ х~); е) е > (е* — 1)/х > е /2; ж) х+х~/2 > (х+1)!п(х+1) > х+х~/2 — хз/3.'; з) 1 — х~/2+хз/3 — (1+х)е > 0; и) 1/~х~+и ) 1п(1+1/х) ) 2/~2х+1). 5.15. Доказать, что существует такая точка с Е (а, 6), в которой 6~(а) — а~(6) = (~(с) — с~'(с))(Ь вЂ” а), если функция ~(х) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке ~а,Ь|, а>0. 5.16. Найти зависимость параметра 6 в (5.2) от х и Ьх для функций хз и е .
Доказать, что для обеих функций 9-+1/2 при Ьх — ~0. 5.17. Найти значение параметра 6 в (5.2) для функции агс~~х на отрезке ~0, 1] и функции 1пх на отрезке ~1, Ь~, 6> 1. 132 6. РА СКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ М Доопределим функции ~(х) и д(х) в точке х = а, положив Да) =д(а) =О. Тогда эти функции будут определены и непрерывны в окрестности 0(а) точки а, включая точку а, так как в точке а их значения совпадают (согласно второму условию теоремы) с их пределами при х -+ а, а в прочих точках этой окрестности непрерывность вытекает из первого условия о дифференцируемости данных функций. Таким образом, с учетом третьего условия теоремы к рассматриваемым функциям теперь применима теорема 5.4 Коши, так что в силу формулы (5.4) Коши конечных приращений запишем У(х) Лх) — У(а) У'(с) (6.2) д(х) д(х) — д(а) д'(с) Здесь х — некоторая точка из окрестности 0(а), а с= а+ +9(х — а), причем О <9 (1.
Если х-~а, то, очевидно, и с-+ а. Поэтому из условия 1ип (,~'(х)/д'(х)) = Ь следует, что и 1ип (~'(с)/д'(с)) = Ь, т.е. существует конечный или бесконечный с-+а предел правой части (6.2). Но тогда существует и предел (конечный или бесконечный) левой части (6.2) и справедливо (6.1). ° (Сцх — х)' 1/соз~ х — 1 1 — сод х 1+ созх (1 — созх) соз~ х соз~ х (х — и'и х)' 1 — соз х Итак, доказанная теорема сводит предел отношения б.м. функций к пределу отношения их производных (если, конечно, последний предел существует).
Это правило раскрытия неопределенности вида ~0/О~ называют правилом Бернулли— Лоюижалл. Нередко предел отношения производных заданных функций удается найти путем элементарных преобразований. Например, для б.м. при х-+О функций ®х — х и х — з1пх отношение их производных несложно упростить: 6.1. Раскрытие неопределенности вида [О/О) 133 Отсюда следует, что предел отношения производных при х -+ 0 существует, причем (фх — х)' .
1+ созх 1ип ., = 1ип -+о (х — з1п х)' -+о соз2 х Заданные функции ®х — х и х — з1п х удовлетворяют услови- ям теоремы 6.1, и поэтому, согласно (6.1), ~~х — х . (~~х — х)' 1ип . = 1ип ., =2. -+о х — з1п х ->о (х — з1п х)' В этом примере отношение производных, в свою очередь, являлось неопределенностью вида ~0/О~, но ее удалось раскрыть, выполнив элементарные преобразования. Однако в других случаях может понадобиться применить теорему 6.1 повторно, а именно, если б.м.
при х + а функции У'(х) и д'(х) удовлетворяют всем условиям теоремы 6.1, включая существование при х + а предела отношения,~н(х)/д"(х), то, применяя правило Бернулли — Лопиталя к отношению ~'(х)/д'(х), в итоге получаем 1ип — = 1ип —, = 1ип — „= Ь. дх) . ~'(х) . ~н(х) ю-+в д(х) ю-+а д'(х) ~-+а д" (х) (6.3) ~и(х) 2(1 х2)/(1 + х2) 2 д" (х) -9созЗх — 2е ' — 4х2е" Пример 6.1. Найдем предел отношения б.м.
при х +0 функций Дх) = 1п(1+х2) и д(х) = созЗх — е* . Производные ~'(х) = 2х/(1+ х2) и д'(х) = -Зз1п Зх — 2хе этих функций сами являются функциями, б.м. при х -+ О, но нетрудно установить существование предела при х + О отношения вторых производных 134 6. РА СКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ равного -2/11. Следовательно, согласно (6.3), 1п(1+ х~) . 2х/(1+ х2) х-+о созЗх — е" ж-+о — Зз1п Зх — 2хе~ 2(1 х2)!(1+ х2)2 2 з-~о — 9 соз Зх — 2е~~ — 4х~е~' 11 т.е. искомый предел равен -2/11. Замечание 6.1.
При нахождении предела отношения функций по правилу Бернулли — Лопиталя обычно используют такую запись, как в (6.4), а в существовании нужных производных и пределов убеждаются непосредственно в ходе вычислений. Поэтому в дальнейшем будем приводить лишь запись необходимых преобразований. Замечание 6.2. Если все условия теоремы 6.1 выполнены только в правой (или только в левой) полуокрестности точки а, то эта теорема верна в отношении только правостороннего при х -~ а+ О (или только левостороннего при х -+ а — О) предела отношения ~(х)/д(х) функций в этой точке. В случае бесконечного одностороннего предела будем иметь либо +ос, либо -оо. Пример.
Из функций Дх) = /х и д(х) = з1пх первая определена лишь в правой полуокрестности точки х = О, так что для этих функций три первых условия теоремы 6.1 выполнены только в правой полуокрестности точки х = О, а именно при О < х < я'/2. В этой точке существует правосторонний предел отношения производных указанных функций: 1нп —,= 1нп ., = 1нп ~'(х) . (~(х)' . 1/(2~Гх) . 1 = 1нп = +00. -++о д'(х) -++о (з1п х)' -++о соз х -ь+о 2~/х соз х Следовательно, согласно теореме 6.1 и замечанию 6.2, в точке х = О существует бесконечный правосторонний предел +со отношения самих функций.
ф 6.1. Раскрытие меопредыенностн шда [О/0) 135 Теорему 6.1 нетрудно распространить на случай, когда аргумент х стремится к бесконечному пределу, т.е. к оо, +со или -оо. Теорема 6.2. Пусть 1) функции ~(х) и д(х) определены и дифференцируемы в окрестности бесконечно удаленной точки, т.е. при ~х~ > 6 > О, 2) Ие Дх) =0 и 1ип д(х) =О, 3) д'(х) ф. 0 во всех точках указанной окрестности, 4) существует (конечный или бесконечный) 1ип —, = Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
