II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 20
Текст из файла (страница 20)
функций хг1п(1+ х) и хз и дважды применяя правило Бернулли— Лопиталя, получаем (2х — 21п(1+ х) — х 1п(1+ х)) у~(0) = 1пп 2 х 2 — — — 1п(1+ х)— 1+х х-~о бхг (х — (1+ х) 1п(1+ х)) . — 1п(1+ х) 1 = 1пп — 1пп -+о (бхг(1+ х))' -+о бх(2+ Зх) 12 1 1 1 1 у~(х) = + г 1п(1+ х) х (1+ х) 1пг(1+ х) х' Поскольку в точке х = О существует конечная производная у'(0) = — 1/12, функция у(х) дифференцируема в этой точке. Наконец, выясним, непрерывна ли производная у'(х) в точке х =О.
Для этого при х фО вычислим 6.4. Другие виды неопределенностей 1 1 1пп у (х) = 1пп г + г з-+О х-+О (1 -1- х) 1и (1 + х) х (-х2+ (1+ х) 1П2(1+ х))' х-+О (х4)г (-2х+ 1пг(1+ х) + 21п(1+ х)) = 1пп е-ФО 4хзР !п(1+ х) 2 -2+2 +— 1+х 1+х = 1пп ж-+О 12 .г х — 1п(1+ х) . хг/2 1 = — 1пп = — 1пп -+О 6хг(1+х) -+О6хг(1+х) 12 Поскольку 1пп у'(х) = у'(0) = — 1/12, производная заданной е-+О функции у(х), согласно (1.1), непрерывна в точке х = О.
ф Неопределенные выражения вида 11"], 1ОО] н 1ооО] полезно предварительно прологарифмировать. Представим эти выражения в форме иоказателько-стеаеккой фукхции у(х) = (~(х))~ (6.13) При 1пп Дх) = 1 и 1пп у(х) =со (6.13) соответствует неопреж-+А х-+А деленности вида 11оо], а в случаях, если при х -+ А функция у(х) является б.м., а функция ~(х) — б.м. или 6.6., имеем неопределенности вида [ОО] или 1ооО].
После логарифмирования (6.13) получим 1пу(х) = у(х) 1п ~(х). (6.14) Теперь это выражение во всех трех случаях соответствует уже рассмотренной неопределенности вида 1О оо]. и с учетом (6.12) и эквивалентности функций хг(1+х) 1пг(1+х) и х4 при х -~ О, дважды используя правило Бернулли— Допиталя, получаем 152 6. РА СКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Допустим, что в точке А (конечной или бесконечной) существует 1ип 1пу(х) и он равен 6ЕЕ, +оо или -оо. Тогда х-+А в силу непрерывности логарифмической функции существует 1пп у(х) и он равен е~, +оо или нулю соответственно. ж-+А Пример 6.7.
Вычислим предел функции 1 у(х) = при х-+О, т.е. раскроем неопределенность вида 11' ]. Здесь в соответствии с (6.13) Дх) = (з1п х)/х и д(х) = 1/(1 — созх). Эти функции четные, поэтому можно рассматривать лишь х > О. Тогда, согласно (6.14), 1 з1пх 1пз1пх — 1пх 1пу(х) = 1п 1 — созх х 1 — созх Используя дважды правило Бернулли — Лопиталя и заменяя в процессе вычислений б.м.
при х-+О функцию з1пх эквивалентной ей при х -~ О функцией х, находим 1п з1п х — 1п х . (1п з1п х — 1п х)' 1пп 1пу(х) = !ип = 1ип ~-~+о *-++о 1 — соз х ж-++о (1 — созх)' созх 1 з1пх х . хсозх з1пх = йп . = 1пп ~-++о з1п х -++о хз1п~ х (хсозх — з1пх)' . — хз1п х 1 = 1пп = 1пп -++о (хз)' -++о Зх~ 3' Отсюда 81пх — -1 3 1 1пп у(х) = 1пп — =е '~ = —. х-+о х-~о х ,зф 153 6А. Другие виды ыеопределеыыостей Пример 6.8. Функция у(х) =(агссфх)~~~пх при х-«+ос приводит к неопределенности вида [Оо~. Дважды применяя правило Бернулли — Лопиталя, получаем !и агссйдх .
(1п агссСдх)' 1пп 1п у(х) = 1пп 1пп -++ *-++ )и х -++ (1пх)' Р -1 1 ( х 1+ хг агссф~х ~ 1 ! хг 1пп — 1пп х-++оо 1/х в-~+оо (агссфх)' 1 — х г ц+ г1г 1 г — 1пп ' ' = !пп = — 1. + -1/(1+ хг) + 1+ хг Следовательно, 1пп у(х) = 1пп (агссфх)~~~"* = е ' = 1/е, х-++оо х-«+оо Пример 6.9. Функция у(х) = (Зхг+3')'~' при х — «+оо приводит к неопределеному выражению вида !ооо]. Используя правило Бернулли — Лопиталя, вычисляем 1п(3хг+ 3*'), (1п(Зх~+ 3 )) 1пп 1пу(х) = 1пп 1пп ю-++00 х-++оо Х ю-++оо (Х) ~ бх+3~1пЗ .
63 +!" 3 1пп = 1пп ++ > Зхг+3~ ++ хг 3 — +1 Зе Поскольку при х — «+оо показательная функция 3 является б.б. более высокого порядка, чем степенная (см. пример 6.1), последнее отношение при х -«+оо стремится к 1п3, т.е. 1пп 1пу(х) =1пЗ. Тогда ю-«+оо 1пп у(х) = 1пп (Зхг+3 )~~~=е~"~=3. х-++оо х-++оо 6. РА СКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 154 Вопросы и задачи 6.1. Показать, что е1~~ — 1 1 б) 1ип ~-+оо к — 2агс$дх~ 2' 1 1 1 2 г) !1т — ( — — — ) = —.
я-+оо х йх $дх 3 6.2. Как можно изменить способ решения примера 6.3 в случае Ь = О? 6.3. Можно ли использовать для нахождения предела при х -+ оо следующих выражений: х2+соьх 1+х+в1пх созх е ~ (совх+281пх)+е 81п х х2-соах' (х+81пх созх)е 1пх' е ~(созх+8!Пх) правило Бернулли — - Лопиталя? 6.4. Установить эквивалентность функций 1 — созх — х2/2 и х4~24 при х-+ О. 6.5. Доказать, что для дважды дифференцируемой функции ~(х) Ях + Ь) — 2Дх) + Дх — Ь) А~о у 6.6.
Исследовать дифференцируемость в точке х = О фун- кций 1 1 — — х у~ О; у(х) = хагсфх х~ ' Дх) = 1/3 х=О, 6.7. Найти предел при х -+ О отношения у/х, если касательная, проведенная в начале координат к графику функции у = Дх), составляет угол а с осью абсцисс. хз — 4х~+4х 1 а) 1ип -а ха+ 12х+ 16 3 1п(х1Π— 10х+ 9) в) 1ип х-+1 1п(х~ — 5х+4) 1 1 — хф-О. х е*' — 1 1/2 х=О. 155 Вопросы и эадачи 6.8. Показать, что при х-+О функция 1/х — 1/(е — 1) -+ -~ 1/2. Можно ли отсюда установить, какой бесконечно малой при х -+ О эквивалентна функция е — х — 1? 6.9. Доказать, что х — агс®х хз/3 и агса1пх — х ° хз/6 при х-~О.
6.10. Показать, что б) 11п1 х1/!п(е -~) ю-++О а) 11п1 х'/1'+'"*1 = е' ю-++О 6.13. Показать, что а) 11гп (1пх)'~ =1; б) 1ипх~~(* ц=е; в) 1пп сов (1/х) =1; Х-++00 ю-+1 ж-+оо г) 1пп (с~~2х)~/~" = 1/е; д) 11гп(соах)~/ = 1/~/е; ж-++О ж'-+О ~~х ~, . е '/~ — соах 1 е) 1пп — = ~ф'е; ж) 1ип ю-ФО х -+О а'1 п~ х~ 12 Изменятся ли значения этих пределов, если х -~+со? 6.11.
Показать, что при х -+ л /4 (фх)'® * -+ 1/е. Изменитсялизначениеэтогопредела,если х-++О или х-+1г/2-0? 6.12. Доказать, что при х -++оо (1+ е~)1/~ -+ е. К какому пределу стремится эта функция при х -+ — оо? Формула Тейлора является одной из жемчужин математического анализа и широко используется как в теоретических исследованиях, так и в вычислительной практике. Она позволяет функцию, заданную сложным аналитическим выражением, заменить удобным для анализа многочленом. 7.1. Линейное и квадратичное приближения функции Приближенная формула (3.7) в виде ~Г(х) = ~(а) + ф(а) = ~(а) + ~'(а) Йх = Да) + ~'(а) (х — а) (7.1) позволяет для дифференцируемой в точке х = а функции Дх) найти ее приближенное значение в окрестности этой точки, не прибегая к непосредственному вычислению ~(х).
По существу, (7.1) дает возможность прогнозировать поведение функции ~(х) в окрестности точки а, располагая лишьзначениями ~(а) и ~'(а). Однако такой прогноз точен только для линейной функции в виде многочлена первой степени ~(х) = Р1(х) = =со+с~(х — а), так как Да) = Р~(а) =со и ~'(а) = Р,'(а) =с1. Поскольку правая часть (7.1) является линейной функцией относительно аргумента х, (7.1) называют линейным приближением функции Дх) в окрестности точки а. Погрешность приближенной формулы (7.1) В1(х) = ЬУ(а) — сЩа) = Дх) — Да) — ~'(а)(х — а) = о(х — а) (7.2) вызвана заменой приращения Ь~(а) = ~(х) — ~~(а) функции ее дифференциалом ф(а) = ~'(а)(х — а) и для дифференцируемой функции является при х -+ а бесконечно малой (б.м.) более 7.1. Линейное и квадратичное приближении функции 157 высокого порядка, чем дифференциал аргумента ах = х — а (см.
3.1). Установленные ранее соотношения эквивалентности ряда элементарных функций аргументу х при х -+ О (см. (1.12)), можно рассматривать как частные случаи (7.1). Геометрически они отражают близость касательмой к графику функции в окрестности точки касания. Но при этом между касательной, уравнение которой соответствует правой части (7.1), и графиком Дх) остаются отмеченные на рис. 4.3 вертикальной штриховкой криволинейные „клинья", ординаты В1(х) которых могут быстро расти с удалением от точки касания. Естествен вопрос: нельзя ли уточнить (7.1), выразив В1(х) через характеристики функции Дх) в точке а? Для ответа на этот вопрос выделим главную часть в степенной форме б.м; при х-+а функции В|(х), т.е.
найдем такие комстакты А и т, чтобы В1(х) = А(х — а) + о((х — а) ). Дл» нахождения этих констант воспользуемся условием эквива- лентности функций В1(х) и А(х — а)"', т.е. равенством В1(х) х-+а А(х — а)~ Если функция Дх) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки а и ~"(а) ф О, то, воспользовавшись дважды правилом Бернулли — Лопиталя, с учетом (7.2) запишем 1ип В1 (х) . ~(х) — Да) — ~'(а) (х — а) = 1ип ж-+а А(х — а) и' х-+а А(х — а) = 1ип = 1ип х-+а Ат(х а)т-1 ~-+1 Ат(т — 1) (х а)ш-2 Последний предел равен 1 при т = 2 и А = У"(а)/2. Тогда вместо (7.2) получим В (х) = А(х — а)'"+о((х — а)'") = (х — а)2+о((х — а)~). (7.3) ~"(а) 7.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 158 В итоге из (7.2) и (7.3) найдем более точную, чем (7.1), формулу Дх) — Да) + ~'(а) (х — а) + — (х — а) У"(а) 2 (7.4) с погрешностью ~"(а) В~(х) = Ях)-~(а)-~'(а)(х-а) — (х-а) = о((х-а) ) (7.5) 2 В2(х) = ~(х) — ~(а) — ~'(а) (х — а) — — (х — а) = О. У (а) 2 2 Пример. Построим квадратичное приближение для функции Дх) = 1/(1+ х ) в окрестности точки а = О. Поскольку с, 2(3хг -1) У ( ) (1 + 2)3 ' 2х ~'(х) =— в точке а = 0 получим ДО) = 1 ~'(0) = О и ~"(О) = — 2.
Тогда квадратичное приближение этой функции в окрестности данной точки, согласно (7.4), будет 1 Дх) = -1 — х~. 1+х2 На рис. 7.1 построены графики функции ~(х) =1/(1+х~) и многочлена Р~(х) = 1 — х2, имеющие в точке а = О равные более высокого порядка, чем (х — а)2 при х -+ а.
Поэтому правую часть в (7.4) называют квадратиичным приближением Фрикции ~(х) в окрестности точки а. При ~"(а) ф 0 оно отлично от линейного приближения (7.1), и в этом случае на рис. 4.3 ему соответствует штриховая линия, более близко, чем касательная, прилегающая к графику функции ~(х). Формула (7.4) точна, если ~(х) является многочленом степени < 2. Действительно, для У(х) = Р2(х) =с0+сд(х — а)+с2(х — а) имеем У(а) = Рр(а) = с0, У'(а) = Р~(а) = сд и ~"(а) = Р"(а) = 2ср, и поэтому погрешность 160 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА и ее производные. Действительно, Р„(а) = ~(а), У(7Ь)( ) Р„'(а) = (Яа)+/"(а)(х-а)+... +,(х-а)" ~) ~ =7'(а), У(7~)( ) Р„"(а) = (~"(а)+/"'(а)(х — а)+...+,(х-а)" х) ~ =7'"(а) и вообще для Й = О, п Р~")(а) = (~(~)(а) +...+,(х — а)" ") ~ = 7 (а).
Здесь и далее принято, что при Й = О У®(ж) = У(ж) и О' = 1. Многочлен (7.6) называют мноеочленом Тей вора, а его коэффициентпы — коэффициентпами Тейлора по имени английского математика Б. Тейлора (1685-1731). Приближенные формулы (7.1) и (7.4), очевидно, являются представлениями функции Дж) в виде многочлена Тейлора при и=1 и п=2 соответственно. Многочлен Тейлора дает некоторое приближение к функции ~(ж) в окрестности точки ж = а, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
