II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 23
Текст из файла (страница 23)
при использовании многочлена Тейлора второй степени погрешность вычисления ъ~З не превысит Ь = 2 0,002 = 0,004 < е. В самом Для представления функции ~(ж) = (1+к)'12 в окрестности точки х = 0 используем (7.31). В данном случае необходимо подобрать п такое, чтобы при ю = -1/4 остаточный член в (7.31) 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 178 деле, сумма первых трех слагаемых в (7.31) при х = — 1/4 равна 1+ (-1/4)/2 — (-1/4)2/8 = 111/128 и ~/3 т 2 111/128 = = 1,734375, что отличается от значения ъ~3 = 1,732 с тремя верными десятичными знаками менее чем на Ь. в. Выясним, для каких значений х справедлива с точностью до 10 э приближенная формула созх = 1 — х2/2. Согласно (7.29), при т = 1 запишем совх = 1 — ж~/2+ В1(ж), где ЯХ В1(ж) = ( — 1) —,совках, 0 < 9 < 1. 4! Поскольку ~В1(ж)~ < ж4/4!, заданная точность будет гарантирована при условии ю4/4.
'< 10 э, или при ~х~ < 0,3935. Для трехчленной формулы созю ~ 1 — юэ/2+ ж4/4! из (7.29) при т =2 получим 6 В,( )=(-Ц' —. Е*, 0<в<1, 6! или ~В~(ж) ~ < ж6/6!, т.е. трехчленная формула обеспечивает ту же точность 10 э вычисления значений функции соах при условии ж6/6! < 10 э, или при ~х~ < 0,702. $ Пример. Представим функцию ~~э формулой Маклорена с точностью до бесконечно малой седьмого порядка 0(х ) при Иэ рассмотренных примеров видно, что с увеличением степени многочлена Тейлора он все с большей точностью и в более широком интервале значений аргумента воспроизводит заданную функцию.
Построенные в примерах 7.1-7.4 представления функций е~, 1п(1+ х), а~п х, созт и (1+ х)' формулой Маклорена являются основными. Комбинируя эти представления, можно рассматривать более сложные функции. При этом остаточный член В„(т) в (7.22) полезно записывать при помощи символа „О большое", т.е. указывая определенный порядок малости В„(ж) относительно переменного ж при ю-~О. 179 7А. Формула Маклорена х -+ О.
Знаменатель в функции фх = (з~пх)/созх запишем в виде созе = ~~ — в|или и используем (Т.ЗО) при и = -1/2 в виде (1+ л) 1/2 — 1 + 2+ О(хз), л Ф О 1 3, 2 8 В нашем случае г= -з1п2х. Поэтому 1 ° 2 3 ° 4 (1 — з~п~х) ~у~ = 1+-з1п х+-ап~х+0(з|п х) при х-Ф О. 2 8 Но тогда при х — ~ О Ф~х = (1 — зиРх) у з~пх = з)пх+ — з1пзх+ -з1п~х+О(з~п х). 3 2 8 3 5 Фцх = х — — + — +О(х')+- х — — +0(х') 3! 5! 2 3'. 3 хз 5 з .5 7 з + — х — — +0(х ) =х — — + — +0(х )+ —— 8 3! 6 120 2 — — +0(х )+ — +0(х ) =х+-х + — х +0(х ).
х т Зх ~ 1з 2 4 8 3 15 Итак, при х-~ О фх = х+-х + — х +0(х ). з 2 5 3 15 (7.35) Отсюда следует, что ~~х ° х при х-+О. ~ Пусть для функции Дх), дифференцируеяой в точке х = О необходимое число раз, известно представление ее производной при х — ~О ~'(х) = со+ с1х+ с2х2+ ... + с„х" +0(х"+') и Используя представление (7.28) в виде з1пх = х — хз/3!+хз/5!+ +0(х~) при х-+О, получаем 7.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 180 формулой Маклорена. Для этой формулы (как для частного случая формулы Тейлора) справедлива теорема 7.2 о единственности такого представления. Следовательно, коэффициенты с~, й = О, и, являются коэффициентами Тейлора, т.е. Ис~ = (~'(х))®~ о, или ~ф~+11(0) = Ис1,.
Тогда для самой функции Дх) коэффициентами Тейлора будут ~~"+Ц(0)/(1+1)! = = с1,/(й+ 1), а ее представление формулой Маклорена при х -+ 0 примет вид Д ) У(0) + + с1 2+ с2 3+ + ~~~-1 в+0( в+1) (7 36) 2 3 и хз х5 2п+1 Дх) = агс®~х = х- — + — —...+( — 1)" +0(х~"+з). (7.37) 3 5 2и+1 Отсюда следует, что агсгцх х при х-+О. 7.5. Вычисление пределов при помощи формулы Тейлора Формулу Тейлора (в частном случае — формулу Маклорена) с остаточным членом в форме Пеано удобно использовать для раскрытия неоиределенности вида 10/0~ путем выделения главной части бесконечно малых (б.м.) функций. Пусть требуется найти предел при х -~ а отношения ~(х)/у(х), в котором функции ~(х) и у(х) являются б.м.
при х -+ а. Если для этих функций выполнены условия теоремы 7.1, то при х -+ а можно построить представления вида Дх) = А(х — а)" +о((х — а)") и у(х) = В(х — а) +о((х — а) ), Пример. Найдем представление функции Дх) = агсФдх формулой Маклорена. Поскольку ~'(х) = (агс~~ х)' = 1/(1+ х2), учитывая (7.32), получим ~'(х) = 1 — х2+х4 — ... +( — 1)"х™+ +0(х2"+2) при х-+О, т.е. со — — 1, с2 — — -1, с2„— — (-1)". Тогда, принимая во внимание, что ДО) = О, в силу (7.36) можно написать при х -+О 7.5. Вычисление пределов при помощи формулы Тейлора 181 где А, В Е Е ~ (О), т, п б И, ограничившись в них лишь первы- ми не равными нулю слагаемыми. Тогда ( х ) А ( х и ) ~ + о ( ( х и ) ~ ) Ь= 1ип — = 1ип х~а д(х) х~а В(х п)тв + о((х — п)ш) = — 1ип (х — а) А .
и-ш В х-+а (7.38) Пример. а. Вычислим яп х — агс~~х Ь| — — 1ип х+О хЗ Так как в знаменателе выражения под знаком предела стоит б.м. при х -+ 0 функция хз, то представление функций в числителе этого выражения следует проводить до членов, содержащих хз включительно, т.е. с учетом (7.28) и (7.37) япх = х — х~/3!+о(х~) и агсСкх = х — хз/3+о(х ) при х -+О.
Тогда 3/39+о( 3),+ 3/3+о( 3) Ь1 — — 1ип х-+О з хз/6+ о(хз) = 11гп = 11гп ~ — +а(х)) = —. х-+О ХЗ х-+0~6 ) 6 Здесь через а(х) обозначена б.м. при х -+ 0 величина ,( 3)/ 3 и взависимости от соотношения между п и т возможны три характерные ситуации: 1) 1 =0 при п > т; 2) Ь =А/В, если п = т; 3) Ь = оо при и < т. Другие виды неопределенностей могут быть сведены к неопределенности вида ~0/0] (см.
6.4). Если а у~ О, то для удобства представления функций,~(х) и д(х) целесообразно ввести новое переменное ~ = х — а. Это позволяет воспользоваться более простой формулой Маклорена. Случай х -+ оо заменой переменного х = 1/1 также сводится к случаю ~-+О. 182 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА б. Найдем совх — е х ~~ Ь2 — — 1пп хз ~®х Исходя из видазнаменателя с учетом ф~х ° х при х-+О, можно предположить, что определяющую роль при вычислении этого предела должны играть члены четвертого порядка малости по сравнению с х, которые возникнут после представления стоящих в числителе четных функций. Поэтому, используя (7.26), (7.29) и (7.35), запишем при х -+ О е' = 1+ х+ х~/2+ о(х~), созх = 1 — хз/21+ х4/4!+о(х4) и Сдх = х+о(х).
В данном случае х = -х2/2, т.е. е ~~ = 1 — х2/2+х4/8+о(х4) при х -+ О. Тогда 2+ х4/24+ о(х4) 1+ хй/2 х4/8+ о(х4) ~2= 11т х-+О хз(х+ о(х) ) -х4/12+ о(х4) . -1/12+ ~3(х) 1 = 1нп = 1пп -+о х4+ о(х4) -+о 1+ у(х) 12 ' где ~3(х) = о(х4)/х4 -+ О и у(х) = о(х'4)/х4 -+ О при х -+ О. в. Вычислим е~'с'Ях+ х~/2 - 1/(1 - х) Ьз — — 11п1 х-+О х ~дх~ Поскольку в знаменателе х ®х~ = хз+ о(хз) при х -+ О, представление функций в числителе необходимо проводить до членов, содержащих хз включительно. Используя (7.26), (7.32) и (7.37), запишем при х-+ О е' = 1+я+я~/2!+я~/3!+о(хз), /(1 х) 1+х+хг+хз+о(хз) и ~ а~Д1~х = х — хз/3+о(х4) ° Поэтому при х-+О 3 з 2 е®" '~ =1+ х — — +о(х ) + — х — — +о(х ) + 3 2 3 3 з з з з з + — х — — + о(х ) + о(х ) = 1+ х+ — — — + о(х ). 6 3 2 6 Д.7.1.
Формула Гейлора в приближенных вычисленилх 183 Тогда 1+х ! х2/2 хз/6+о(хз) ! х2/2 1 х х2 хз+о(хз) ~з — 1цп х-~0 хз+о(хз) -7хз/6+о(хз) . — 7/6+ у(х) 7 з+ (з) где у(х) = о(хз)/хз -+ 0 при х -+ О. г. Найдем Ь4 — — 1пп созх+— ю-ФО 2 Обозначим выражение под знаком предела через у и прологарифмируем его, учитывая, что созх+х2/2 > 0 при малых х: 1 1пу= 1п созх+— х(®~х — х) 2 Поскольку из (7.29) и (7.35) созх = 1 — х2/2!+ х4/4!+о(х4) и ~дх х + хз/3 + о(хз) при х + О 1п(соз х+ х2/2) 1ип 1пу= 1пп х-+о ~-+о х(фх — х) 1п(1+х4/4!+о(х4)) .
х4/24+о(х4) 1 =!ип — 1пп х-+о х(х+ хз/3-1- о(хз) — х) х-+о х4/3+ о(х4) 8 (здесь в силу (7.27) принято 1п (1+х"/4!+о(х4)) =х4/24+о(х ) при х-+ О). После потенцирования в итоге получим Ь4 = 1~т сова+ — ~ ~~ = 1!т у = е ~ . х-+О ~ 2 У х-+О Дополнение 7.1. Использование формулы Тейлора в приближенных вычислениях Формулу Тейлора можно использовать для построения достаточно простых и удобных в расчетной практике приближенных формул, которые с приемлемой погрешностью могут заменить точные, но громоздкие соотношения. 7.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 184 Я Примеры. а. Площадь 5 кругового сегмента, заштрихованного на рис. 7.4, можно выразить через основание 6 = ~АС~ и высоту Ь = ~ВВ~ сегмента, даже не зная значений радиуса круга В = ~ОА~ и центрального полуугла а. Действительно, из равенств В2 = (6/2)2+ +(В-Ь)~ и з1па=6/(2В) можно найти Рис. 7.4 Ь Ь2 . 6Ь 2+ 8Ь и с~ агсз1п Ь~+62/4 (при условии, что Ь < 6/2). Тогда с учетом (7.39) получим достаточно громоздкую формулу ~ 2а — з1п2а Ь б~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
