II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 27
Текст из файла (страница 27)
~ В. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 210 Теорема 8.8. Дифференцируемая в интервале (а, 6) функция У(х) выпукла вверх в нем тогда и только тогда, когда все точки графика функции лежат не выше любой касательной к нему в этом интервале (в случае строгой выпуклости вверх все точки графика функции, кроме точки касания, лежат ниже любой касательной к нему в этом интервале). ~ Начнем с доказательства необходимости. Запишем уравнение вида (1.10) у= У( о)+У'(хо)(х-хо) касательной к графику функции У(х) в точке (хо, У(хо)), где хо Е= (а, Ь). Согласно формуле (5.1) Лагранжа, У(х) = У(хо) + У'(с)(х — хо) где точка с лежит между х и хо. После вычитания послед- него равенства из предыдущего получим у- У(х) = (У'(хо) — У'(с))(х- хо).
или У(хо) — У(х) > У'(хо) ~~х Е (аь хо)) хо У'(хо) )~ Чх ~ (хо, 6). У(х) — У(хо) (8.5) Для строго выпуклой вверх функции, согласно теореме 8.7, производная убывает. Поэтому знак разности У'(хо) — У'(с) совпадает со знаком разности х — хо и, следовательно, у— — У(х) > 0 Чх б (а, 6) ~(хо). Для выпуклой вверх функции, согласно теореме 8.7, производная не возрастает в (а, 6) и поэтому у- У(х) > 0 Чх Е (а, 6) ~ (хо). Тем самым необходимость условия данной теоремы доказана. Теперь докажем достаточность условия теоремы, по которому точки графика функции У(х) лежат не выше любой касательной к нему в интервале (а, 6), т.е.
у — У(х) = У(хо) + У'(хо)(х — хо) — У(х) > 0 Чх, хо Е (а, Ь), 211 8А. Условия выпуклости фуикции 'Гаким образом, Чх1Е(а, хо) и Ух~6(хо, Ь), (8.6) хо-х~ хг-хо что соответствует условию (8.4) выпуклости вверх функции Дх) в интервале (а, 6). Строгое неравенство в (8.5) приводит к строгому неравенству и в (8.6), а это соответствует условию строгой выпуклости вверх функции У(х) в интервале (а, 6). ~ Итак, дуга графика выпуклой вверх и дифференцируемой в интервале функции лежит не ниже стягивающей эту дугу хорды и не выше касательной, проведенной в любой точке данной дуги (см.
рис. 8.7). Докажем еще одно часто используемое на практике достаточное условие строгой выпуклости функции. Теорема 8.9. Если функция ~(х) дважды дифференцируемавинтервале (а, Ь) и ~"(х) <О (~"(х) >0) Чхб(а, Ь),то функция строго выпукла вверх (вниз) в этом интервале. 4 Возьмем в интервале (а, 6) произвольную точку хо и проведем касательную к графику функции в точке (хо, Дхо)). Согласно (1.10), уравнение касательной имеет вид у = У(хо)+ У'(хо)(х — хо) Для доказательства теоремы достаточно показать, что все точки графика функции в интервале (а, 6), кроме точки касания, лежат ниже (выше) касательной. Представим функцию Дх) формулой (7.19) Тейлора порядка п = 1 с остпаточным членом в форме Лагранжа: Ях) =Ихо)+~'(хо)(х-хо)+ —,(х-хо), У-(с) 2 Я где точка с лежит между х и хо.
Вычитая из этого равенства предыдущее, получаем У( ) — у= ~ ( — о). У"(с) 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ Отсюда видно, что знак разности ~(х) — у совпадает со знаком ~"(с). Если ~"(с) < О, то ~(х) < у, т.е. все точки графика функции, кроме точки касания, лежат ниже проведенной к нему касательной, что в силу теоремы 8.8 означает строгую выпуклость вверх функции ~(х) в (а, Ь).
Если же ~"(с) >О, то Дх) > у. Согласно теореме, аналогичной теореме 8.8, но для функции, строго выпуклой вниз, это означает строгую выпуклость вниз функции Дх) в интервале у(х)--х~ (а, Ь). ~ То, что теорема 8.9 устанавливает лишь достаточное условие строгой выпуклости вверх (вниз), видно из простого примера для функции ~(х) = -х4, котораястрого выпукла вверх Ух б Е, хотя У"(хИ*=о=-12х~!*=о=О (рис. 8.8).
Пример. а. Найдем интервалы выпуклости функции ~(х) = агс®~х. Эта функция определена и бесконечно дифференцируема Чх б Е. Вычислим последовательно (агсф~х) = и (агс®х) 1 2х +х2 (»+ 2)2' Ясно, что при х < 0 (агс®х)" > О, т.е. функция строго выпукла вниз в интервале ( — оо, О), а при х > 0 (агс~~х)" < < О, т.е. функция строго выпукла вверх в интервале (О, +ос) (рис. 8.9). б. Докажем неравенство е~ '+~'»~~ < (е*'+ е~')~2 при х1 у~ хр. Для функции Дх) = е~ ~"(х) = е* > 0 Чх б В, т.е.
функция строго выпукла вниз на всей числовой оси и поэтому удовлетворяет условию (8.3) при строгом неравенстве. Полагая в (8.3) д = 1/2, получим неравенство, которое требуется доказать. ф 8.5. Точки перегиба Рис. 8.9 Следствием теоремы 8.9 и свойства знакопостоянства функции, имеющей ненулевой конечныи предел, является следующее утверждение. 'Утверждение 8.1. Если вторая производная ~" (х) функции ~(х) непрерывна и отрицательна (положительна) в точке хо, то у этой точки существует окрестность У(хо), в пределах которой функция Дх) строго выпукла вверх (вниз). Ь.5.
Точки перегиба Определение 8.5. Пусть функция Дх) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки хо. Если при переходе аргумента х через точку хо меняется направление строгой выпуклости функции Дх), то хо называют тпочкой иерееиба этой фуюсиии, а точку (хо, ~(хо)) — тпочмой переаиба графика фрикции ~(х). Если в точке перегиба функция имеет кокечкую или Бесконечную производную, то это означает, что существует хасапзелькая к графику функции в этой точке. В силу теоремы 8.8 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 214 и ее аналога для фрикции, стпрого выпуклой вниз, график фун- кции переходит в точке перегиба с одной стороны касательной на другую (см.
рис. 8.9, точка (О;0)). 1/х при х ф- О, О при х=О в точке х = 0 имеет бесконечную производную (рис. 8.10) и при переходе аргумента х через эту точку меняет направление строгой выпуклости, поскольку ~"(х) = 2/хз < 0 при х < 0 и ~"(х) >0 при х > О. Однако в точке х =0 эта функция разрывна и поэтому х = 0 не является для нее точкой перегиба. Рис. 8.10 Рис. 8.11 Пример. а. На рис. 8.1 приведены графики функции Дх) = хз и обратной ей функции у(х) = х1~з, причем для функции у(х) производная вточке хо — -0 бесконечна.
Точка хо — — 0 для этих функций является точкой перегиба. Действительно, ~"(х) = 6х < О при х < О и ~"(х) > 0 при х > О, д"(х) = = -2х а~з/9 > О при х < 0 и у"(х) < 0 при х >О, что, если учесть теорему 8.9, означает смену направления строгой выпуклости обеими функциями при переходе аргумента х через точку хо — — О, т.е. точка х0 — — 0 удовлетворяет определению 8.6 точки перегиба. б. Функция 215 8.5. Точки перегибе 1п(1 — х) при х < О, ВЬх при х > О при переходе аргумента х через точку х = 0 изменяет направление строгой выпуклости (рис. 8.12), поскольку при х < 0 ~"(х) = -1/(1 — х)з < 0 и ~"(х) =БЬх ) 0 при х > О.
Следовательно, х = 0 является точкой перегиба данной функции, хотя она и не имеет в этой точке производной (ни У конечной, ни бесконечной), так как ~' (0) = -1 у6 ~+(0) = зЬх = 1. Напомним, что если касательные к ветвям графика непрерывной функции в некоторой точке образуют угол, отличный отО или к (см.
рис. 8.12), то говорят об угловой тпочке графика фунРис. 8.12 кции. ф Необходимьиа условием сущестпвованих точки перегиба хо фуккиии Ях), дважды дифференцируемой в некоторой окрестности этой точки, будет ~" (хо) = О. В противном случае при ~"(хо) ф- О у точки хо существует окрестность, в которой ~"(х) сохраняет знак ~"(хо), т.е.
в силу теоремы 8.9 функция' ~(х) строго выпукла в одном из направлений, в. Для функции ~(х) = хз1з (рис. 8.11) точка х = 0 не является точкой перегиба, так как при переходе аргумента х через эту точку функция не меняет направления выпуклости.
В самом деле, ~"(х) = -2х 41з/9 < 0 как при х < О, так и при х > О. График функции не „перегибается" через касательную в точке (О, 0), а как бы „возвращается назад". В таком случае говорят о тпочке возвратпа (иногда — о тпочке эаостпрени,я) графика функции. г. Функция 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ 216 Теорема 8.10. Если функция Дх) непрерывна в точке хо, дважды дифференцируема по крайней мере в проколотой О окрестности 13(хо) этой точки и втпорая производная ~"(х) этой функции меняет знак при переходе аргумента х через значение хо, то хо является точкой перегиба функции Дх).
~ По условию теоремы существует проколотая окрестность о о 13 (хо) С 13(хо), в которой ~" (х) имеет разные знаки по разные стороны от точки хо. В силу теоремы 8.9 точка хо является о границей содержащихся в 0,(хо) интервалов с различными направлениями строгой выпуклости функции Дх), что отвечает определению 8.5 точки перегиба. ° Пример. Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости зсфункции Дх) = е ~ . Вычислим ее первую и вторую производ- ные и ~"(х) = е'~,, х ф О. 9Яь Функция Дх) непрерывна на всей числовой оси Ж и в точке хо — — О имеет бесконечную производную, а вторая производная что противоречит определению 8.5 точки перегиба.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
