II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Условия определения 8.5 можно также выполнить, если функция имеет бесконечную вторую производную в точке хо или вовсе не имеет в этой точке второй производной. Итак, подобно тому как необходимым условием существования экстпремума функции является наличие у нее хотя бы одной критпической тпочки (стациоиарной тпочки или точки, в которой она недифференцируема), так для существования точки перегиба непрерывной функции ~(х) необходимо наличие хотя бы одной критической точки хо .у ее производной У'(х), в которой либо ~"(хо) =О, либо ~"(хо) бесконечна или не существует.
Достиатиочные ус,яовил сущестпвованиа тиочки перегиба функции устанавливает следующая теорема. 217 В.5. Точкм перегиба в этой точке не существует. Кроме того, в точке х» — — 8 ~"(х~) = О. Таким образом, точки перегиба этой функции могут быть лишь в точках хо и х». При переходе аргумента х через значения хо — — О и х» — — 8 ~"(х) меняет знак, т.е. в силу теоремы 8.10 хо и х» являются точками перегиба функции Дх), а точки (О; 1) и (8; ез) — точками перегиба графика функции.
Теорема 8.11. Если функция Дх) дифференцируема в точке хо по крайней мере и раз (и > 2) и ~"(хо) = ... = =~ф" ~~(хо) =О, а ~ф"~(хо);ЕО, то хо является точкой перегиба функции Дх) тогда и только тогда, когда и нечетно. 4 Из условия теоремы следует, что функция Дх) по крайней мере дважды дифференцируема в некоторой окрестности 15~(хо) точки хо. Представим функцию ~"(х) в этой окрестности формулой Тейлора порядка и — 3 с осшаточиым членом в форме (7.13) Пеано: ~Ф ~( )+ ( )( (и — 2).' где а(х) — функция, бесконечно малая при х -+ хо. В силу того, что 1ип о(х) = О, 1нп (~~"~(хо) + о(х)) = ~~"~(хо) ф 0 и свойства знакопостоянства функции, имеющей ненулевой конечный предел ~1, 7.4), существует такая окрестность 0~(хо), В. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 218 Следствие 8.3. Если функция Дх) в точке хо дифференцируема по крайней мере трижды, причем ~"(хо) = О и ,~"'(хо) ф.
О, то хо является точкой перегиба этой функции. Пример. Для функции Дх) = х (т Е Я~ (1; 2)) первые т — 1 производные в точке хо — — 0 равны нулю, а ~1"'1(хо) = = т! ) О. В силу теоремы 8.11, если т нечетное, то хо —— = Π— точка перегиба этой функции (на рис. 8.6 графики для т = 3 и 5), а при т четном хо —— 0 не является точкой перегиба, хотя в ней и выполнено необходимое условие ~"(хо) = = т(т — 1)х 2~,,-о — — 0 (на рис.
8.6 график для т = 4). 8.6. Наибольшее и наименьшее значения функции в промежутке Пусть функция ~(х) непрерывна на отрезке [а, 6]. Тогда, согласно теореме 9.2 [1], она достигает на этом отрезке своих наибольшего М и наименьшего т значений. Если этот отрезок не содержит хритичесхих точек функции Ях) и она дифферениируема в интервале (а, 6), то ее ироизводнал ~'(х) знакопостоянна в этом интервале. Следовательно, функция Дх) строго монотонна на [а, 6] и М равнобольшему, а т— меньшему из значений ~(а) и ~(6). Если же функция ~(х) на отрезке [а, 6] имеет конечное число критических точек, то как наибольшего М, так и наименьшего т значения она может в которой ~ф"1(хо) + а(х) принимает знак ~ф"1(хо). Тогда у точки хо существует окрестность 13(хо) = 111(хо) 011~(хо), в которой при п нечетном вторая производная ~"(х) вместе с сомножителем (х — хо)" з меняет знак при переходе аргумента х через значение хо.
В этом случае из теоремы 8.10 следует, что хо — точка перегиба функции Дх). Необходимость нечетности и следует из того, что при и четном вторая производная,~"(х) Чх Е ~1(хо) сохраняет знак производной ~1"1(хо), что противоречит необходимому условию существования в хо точки перегиба функции Дх). Ф 8.б. Наибольшее и наименьшее значенин функции в промежутке 219 достигать либо на концах этого отрезка, либо внутри него.
В последнем случае эти значения будут одним из максимумов или ,иииимумов функции ~(х). Итак, для нахождения наибольшего и наименьшего значении функции ~(х), непрерывной на отрезке [а, Ц, необходимо: 1) найти все критические точки функции, попадающие на отрезок ~а, 61; 2) вычислить значения функции во всех указанных критических точках; 3) вычислить значения Да) и ~(6) функции на концах отрезка; 4) из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее. Если дифференцируемая в интервале (а, 6) функция строго выпукла вверх (или вниз), то в (а, 6) она имеет не более одной точки максимума (или минимума), значение функции в которой и будет совпадать с М (или с тп). В самом деле, для дифференцируемой функции Дх) необходимым условием существования экстпремума в точке хв б (а, 6) в силу теоремы 5.1 Ферма будет ~'(хо) = О.
Но для строго выпуклой в интервале (а, 6) функции ее производная, согласно теореме 8.7, строго монотонна и не может в нем более одного раза принимать нулевое значение. Найденные указанным путем значения М и т называют иногда аБсолютпным (или алоБальным) соответственно максимумом и минимумом функции Дх) на отпрезке ~а, 6). Понятия абсолютного (или глобального) максимума и минимума объединяют термином аБсолютпный (или елоБальный) экстпремум, применимым к любому множеству, на котором определена функция. Как уже было отмечено, непрерывнал на отрезке функция обязательно достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений. Однако абсолютный экстремум для функции, непрерывной в интервале (а, 6) или имеющей точки разрыва 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 220 Рис, 8.13 Примеры.
а. Найдем наибольшее М и наименьшее т значения функции ~(х) = 2х — Зх~ — 36х — 8, непрерывной на отрезке [ — 3, 61. Сначала вычислим производную ~'(х) = 6х~ — 6х — 36 = 6(х + 2) (х — 3). Обе стационарные точки х = -2 и х = 3 этой функции при- надлежат заданному отрезку. Значения функции в стационар- ных точках и на концах отрезка: У( — 3) = 19 Х(-2) = 36 ~(3) = -89 ~(6) = 100 Отсюда видно, что наибольшего значения функция достигает на одном из концов отрезка, т.е. М = Д6) = 100, а наименьшего на отрезке [а, Ц, может и не существовать.
Например, для непрерывной на отрезке [а, 6] функции Дх), график которой приведен на рис. 8.13, абсолютный минимум т= У®, а абсолютный максимум М = ~~(6), тогда как в интервале (а, б) абсолютный минимум т' = ДН), а абсолютный максимум не существует. 8.6. Наибольшее и наименьшее значения функции в промежутке 221 (х) х-1/зе-х х2/Зе-х *е-х 2 2 — Зх 3 з~з~х Критические точки функции х1 — — 2/3 и х~ — — 0 принадлежат указанному отрезку. Значения функции в критических точках и на концах отрезка: ~(-1) = е ~ 2,72, /"(О) = О, ~(2/3) = = (2/3)з/зе ~/з — 0,39, Д1) = 1/е 0,37.
Итак, на отрезке [-1, Ц функция имеет абсолютный максимум М = Д-1) = =е=2,72 и абсолютный минимум т=ДО) =О. в. Покажем, что составная функция 2'+1 при — 1<х<0, ~(х) = 2 при х=О, 2х — 1 при 0<х<1, определенная и ограниченная на отрезке [ — 1, Ц, не имеет на этом отрезке ни абсолютного максимума, ни абсолютного минимума (рис. 8.14). Действительно, на полуинтервале [-1, 0) значения функции возрастают от 3/2 до 2, на полуинтервале (О, Ц они возрастают от 0 до 1, но при этом функция не принимает ни значения 2, ни значения О. Поэтому функция ограничена на отрез- ке [ — 1, Ц, но вследствие разрыва в точке х = 0 не достигает на указанном отрезке своих наибольшего и наименьшего значений.
Рис. 8.14 значения т = ~(3) = -89 — в одной из стационарных точек, которая, очевидно, является точкой минимума данной функции. б. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции ~(х) = х~/зе х, непрерывной на отрезке [-1, Ц. Вычислим производную 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ 222 8.7. Асимптоты графика функции В выпуске 11) введено понятие асимптоты графика функции. Напомним, что различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные, которые могут быть как односторонними, так и двусторонними.
Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у = ~(х), если хотя бы один из пределов 1пп ~(х) х-+а-0 или 1пп Дх) бесконечен. Отсюда следует, что вертикальные ж-+а+О асимптоты у графика функции ~(х) могут быть только при наличии граничных точек области определения функции или точек разрыва.
Пример. а. Найдем вертикальные асимптоты графика 1 функции у = е 2. Ясно, что эта функция определена во всех точках числовой оси И, кроме точки х = 2. Вычислим пределы 1 1пп е~-~ = 0 ж-+2-0 1 1пп е™ =+оо. -а+0 2 Следовательно, прямая х = 2 Рис. 6.15 является односторонней вертикальной асимптотой графика рассматриваемой функции при х — ~ 2+0 (рис. 8.15).
б. Выясним, существуют ли вертикальные асимптоты у графика функции у = 1/х. Эта функция определена на множестве Е~(0), причем 1 1пп — = -оо ж-+-0 х 1 и 1ип — =+оо. -~+0 х Итак, прямая х = 0 является двусторонней вертикальной асим- птотой графика функции у= 1/х (см. рис. 8.10). ~ 8.7. Асимптоты графика Функции 1пп — = Й1 фО 1(х) х-++оо Х и 11т (~(Х) — Й1х) = 61 и достаточно существования второго из них.
Аналогично, чтобы график этой функции имел левостороннюю наклонную асимптоту у = Йгх+ 62, необходимо существование двух конечных пределов 1'1тп — = Й~ ф. 0 Дх) и 1пп фх) — й2х) = Ьр и достаточно существования второго из них. Если при этом Й1 —— Йг — — Й и 61 — — 6~ —— 6, то график данной функции имеет двустороннюю наклонную асимптоту у = Йх+6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
