II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 30
Текст из файла (страница 30)
8.17 построен график исследуемой функции, а также графики ее первой и второй производных. ни в одной точке не обращается в нуль, а в точках х1 = 0 и хя —— 1 не существует. При переходе аргумента х через значение х1 —— 0 вторая производная меняет знак с плюса на минус, т.е.
в силу теоремы 8.10 х1 является точкой перегиба функции ~(х). Поскольку ~(х1) = ДО) = О, начало координат является точкой перегиба графика этой функции. При переходе через точку хр = 1 вторая производная не изменяет знак, оставаясь отрицательной, и хь не является точкой перегиба функции Дх). Такимобразом, при х~=( — оо, 0) ~"(х) >О ифункция Дх) строго выпукла вниз, а ее производная ~'(х) возрастает, при хЕ(0, 1) и хЕ(1, +ос) ~"(х) <О и функция выпукла вверх, а ее производная в каждом из этих интервалов убывает.
Д.8.1. Исследование функций, заданных параметрически 231 Рис. 8.17 Дополнение 8.1. Особенности исследования функций, заданных параметрически Пусть зависимость у от х задана параметрически в виде где Т вЂ” множество значений параметра 1, для которых определены функции х(1) и р(8). Области определения и значений функции р = ~(х) совпадают с областями значений соответственнофункций х=х($) и у=у(~), ~(=Т. При этом функция Дх) в общем случае может и не быть однозначной, т.е.
ее график не обязательно будет иметь единственную однозначную ветвь, если не потребовать строгой монотонности функции х = х(1) на всем множестве Т. Перед исследованием функции Дх) и построением ее графика полезно построить графики функций х(1) и у(1). Точки пересечения графика функции Дх) с осями координат Ох и Оу связаны с идлями фунхций х(1) и у(1). Если у(1о) =О, ~о ЕТ, то график у=Дх) пересекает ось абсцисс Ох в точке хо = х(йо), а при х(йо) = О, йо Е Т, точка пересечения графика у = Дх) с осью Оу имеет ординату уо — — у(йо).
232 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Для нахождения критических точек и точек перегиба функиии Дх) необходимо исследовать поведение ее производных ~'(х) и ~"(х) при изменении параметра 1, выразив их через производные х'($), у'($) и х"(1), у"Я функций х(1) и у(~) по формулам вида (2.21) и (4.18) (с учетом того, что х = х(~), Й е Т): у'(й) „х'(й) у" (й) — у'(й) х" (й) х~(ц ' ® (х,( ))з График функции ~(х) имеет асимптоты, если существуют такие значения $, Е Т, что при 1-+ 1 или 1-+ оо либо одна из функций х(1), у(1), либо они вместе стремятся к бесконечности. В последнем случае можно ожидать существования наклонных асимптот графика Дх), что должно быть установлено дополнительным исследованием.
В первом случае, если х(1) -~ оо при 1 -+ $„то имеем горизонтальную асимптоту с уравнением у=у(1.), аесли у(1) — ~со при 1-+1„то получаем вертикальную асимптоту с уравнением х = х(1 ). Пример 8.2. Пусть зависимость у от х задана в виде з ~ ~ Е~(-1)* у(~) = — ' 1 ~~з Исследуем сначала функции х(~) и у(~), которые определены на всей числовой оси, кроме точки ~ = — 1 (в этой точке обе функции имеют точку разрыва второго рода, а их графики— вертикальную асимптоту). При этом х® 1'п~ з +оо 1ип х® 1цп з , +, о, +, е1~~3 ~, „, ~о ...~01~~3 ~г ~г 1пп у(~) = 11~ —,=-оо, 1ип у(~) = 11т — =+оо.
Ф ~й,-о т +-1-о 1-~-~з ' ~-+с.-о и-+-1-о 1-~-~з Кроме того,при Фо — — О х(йо) =у(8о) =О и при й-+со х(й) -+О и у(й) -+ О, т.е. графики функций х(й) и у(й) проходят через начало координат, а ось абсцисс О1 является их двусторонней горизонтальной асимптотой. Д.8.1. Исследование функций, заданных параметрически 233 Найдем производные (8.8) (8.10) + 1 — (~ ~з) (~ ~4)1 ~3,4— 6 з з 3 з 7~=345 где ~з,4 — действительные корни уравнения ~~ — 71~+1 = О.
При переходе аргумента 1 через значение 14 0,53 вторая производная у"(1) меняет знак с плюса на минус, а через значение ~з 1,90 — с минуса на плюс. Поэтому, согласно теореме 8.10, 1з и 14 являются точками перегиба функции у(1). (й) 3 2 ' 1 — 2~3 (8.7) 2 — 13 У ( ) (1+~зР ~з ® зз (1+ ~з)з (8.9) ~6 7дз+ 1 (1+ ~з)з Смысл общей для функций х(1) и у(1) критической точки 1, = — 1 уже выяснен.
У функции х(1), согласно (8.7), есть еще одна критическая точка 1~ — — 1/~Г2 ~ 0,79, в которой х'(11) = = О. Она является тпочкой максимума (х(1~) = с = ~/4/3- 0,53) функции х(1), так как в силу (8.9) хи(11) = — 4~Г6/3 < 0 (см. следствие 8.2). У функции у(1) помимо 1, = — 1 являются критическимиещедветочки $о=О и ~2 — — ~/2=1,26, в которых, согласно (8.8), производная у'(й) обращается в нуль.
Из (8.10) р"(~о) = 2 > 0 и р"(12) = — 2/3 < О, т.е. в силу следствия 8.2 $о является точкой минимума (у(1о) = 0), а 8~ — точкой максимума (у(1~) = с) функции у(1). Иэ (8.9) при 1о — — 0 и ~~ — — ~У2=1,26 х"(~) =О, но 1е не является точкой перегиба функции х(1), так как х"(1) не меняет знак при переходе аргумента 1 через значение 1о, тогда как 1г есть точка перегиба этой функции, поскольку х" (1) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку 1~ (см. теорему 8.10). Числитель (8.10) представим в виде 8.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 234 Рис. 8.18 Итоги исследования поведения функций ж(1) и у($) сведены в табл. 8.2 и 8.3 соответственно, а на рис. 8.18, а и б представлены графики зтих функций и их первых и вторых производных. Теперь приступим к построению графика функции ~(ж). Так как нет таких значений 1, б Т, что при ~ -+ ~. порознь или Д.8.1. Исследование функций, эадаииых параметрически 235 Таблица 8.2 х'($) х($) (-оо, — 1),Р ( — 1, 0),Р ~о =0 й1 т 0,79 а 0,53 И1 ~я) 1з и 1,26 т0,42 (Юх, +оо) Краткая х" ($) характеристика поведения функции Возрастание, выпуклость вниз Точка разрыва второго рода, вертикальная асимптота Возрастание, выпуклость вверх График проходит через начало координат Возрастание, выпуклость вверх Максимум с горизонтальной касательной Убывание, выпуклость вверх Точка перегиба с наклонной касательной Убывание, выпуклость вниз Фрагмент графика 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ 236 Таблица 8.3 и'(~) К'(~) ( — оо, — 1) (-1, 0) ~а=О 0 + горизонтальная касательная (0~ ~4) ~4т0,53 + + 0 (~4~ ~2) / (~2~ ~З) ~Ъ~ ~з 190 + (~з +оо) 'Ъ ~2 а 1,26 т 0,53 Краткая характеристика поведения функции Убывание, выпуклость вверх Точка разрыва второго рода, вертикальная асимптота Убывание, выпуклость вниз Минимум в начале координат, Возрастание, выпуклость вниз Точка перегиба с наклонной касательной Возрастание, выпуклость вверх Максимум с горизонтальной касательной Убывание, выпуклость вверх Точка перегиба с наклонной касательной Убывание, выпуклость вниз Фрагмент графика Д.8.1.
Исследование функций, эаданных параметрически 237 х(~) -~ оо или у(1) -+ оо, то у графика функции ~(х) отсутствуют горизонтальные и вертикальные асимптоты. Проверим, соответствует ли точка 1, = — 1 наклонной асимптоте в системе координат хОу. Поскольку пределы (с учетом замены переменных) Й= 1ип — =1ип — = 1ип 1= — 1 ~(х) . у(1) -+ х ю-+с. х(~) с-+-1 Ь= 1ип фх) — Йх) =!ип (у(й) — Йх(й)) = Р ~ . ~(~+1) = 1ип — (-1) = 1ип 1+ ~з 1+ ~з ~., 1(~~ ~+1)(~+1) существуют, график функции Дх) имеет наклонную двустороннюю асимптоту с уравнением у = Йх+6, или у = — х — 1/3.
С учетом (8,7)-(8.10) первые две производных функции ~(х) равны: ~'(х) = —, у'(~) ~(2 — ~з) х(~) 1 — 2~з ' (8.11) '0у"(~) - х"( )у'( ) (1+ ')' ~ ®)з (1 2~з)з' (8.12) Из рис. 8.18,а ясно, что при 1 Е ( — 1, 1~], где 11 — — 1/~Г2- 0,79, функция х(1) возрастает. Поэтому ей соответствует однозначная обратная функция [1, 9.4] 1 = х '(х) с областью определения ( — оо, с], где с = х(~1) = 4~4/3 ~ 0,53. Таким образом, с учетом однозначности функции у(1), ~ Е (-1, ~1), в промежутке ( — оо, с] определенасложнаяфункция у(х '(х)) = = ~1(х), которая является одной из однозначных ветвей многозначной функции Дх).
Областью значений функции Л (х), согласно рис. 8.18, б, будет промежуток !О, +оо). Из (8.11) следует, что в интервале ( — 1, 11) производная У1(х) при 1о = 0 (х = О) обращается в нуль, ~Й Е ( — 1, 0) 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ 238 Рис. 8.19 (Чх Е ( — оо, 0)) отрицательна и ЪЙ Е (О, й1) (Чх Е (О, с)) положительна, т.е. меняет знак с минуса на плкк при переходе аргумента х через значение х=О. Поэтому х=О является для функции ~1(х) точкой минимума (см. теорему 8.5), причем ~1 (0) = у(10) = О. Д.ЗЛ. Исследование функций, заданных параметрически 239 Согласно теореме 8.2, функция ~1(х) убывает в интервале (-оо, 0) и возрастает в интервале (О, с). Из (8.12) Д'(х) > 0 ~й Е (-оо, ~~) и в силу теоремы 8.9 для случая положительности второй производной функция ~1(х) Чх Е ( — оо, с) выпукла вниз. В точке х = с, соответствующей значению 1 = 11 — — 1/~Г2, имеем Ы = Л(с) = у($1) = Л/3 ~ 0,42, но функция Л(х) недифференцируема (производная Я(с) бесконечна, а касательная к графику функции ~1(х) в точке (с, Ы) вертикальна).
При х-+ — оо ~1(х) -++со и график Л(х), изображенный на рис. 8.19, а сплошной линией, приближается к наклонной асимптоте у = — х — 1/3. Промежутку ~11, +оо) убывания х(1) (см. рис. 8.18, а) соответствует однозначная ветвь ~р(х) многозначной функции Дх). Областью определения Ях) будет область значений (О, с~ функции х(1) при 1 Е ~11, +ос). Согласно (8.11) производная Д(х) обращается в нуль при 1з — — ~/2 (х(13) = = ~/2/3 = И ~ 0,42), Ж Е (11, 1~) (Чх б (Ы, с)) отрицательна и И б ($г, +ос) (Чх б (О, И)) положительна, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
