II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Действительно, координата г = Н$ точки при движении по винтовой линии линейно зависит от длины В1 дуги окружности, описываемой проекцией этой точки в плоскости хОу (см. рис. 9.4). Поэтому виток винтовой линии после развертки цилиндрической поверхности на плоскость станет прямолинейным и перейдет в ги- 257 9,3. Плоские кривые потенузу указанного треугольника. Нетрудно проверить, что длина такой гипотенузы будет в1. Если перенести начало координат в точку (О; О; Н~3) и повернуть оси Ох и Оу вокруг оси Оз на угол,В, то тогда в новой системе координат Ох1у1х1 (см. рис.
9.4) (9.16) переходит в х1 — — ВсоМ1, у1 — — Вв1п11, г1 — — Н$1, $~ Е [О, Т~, 9.3. Плоские кривые Кривую, лежащую в некоторой плоскости, называют гмоской. Если эта плоскость выбрана за координатную плоскость хОу, то хоординатное представление плоской кривой Г имеет вид Г= ((х;у; х) б В~: х=х(8), у=у(1), я =О, 8 б [а, 6~), причем равенство х = О обычно опускают и пишут Г= ((х;у) (=И~: х =х(й), у=у(й), йЕ [а, Ь]). (9.17) График непрерывной наотрезке [с, Ы~ функции Дх) является плоской кривой с координатным представлением Г=((х;у) ЕИ: х=х, у=Дх); х 6[с, с~).
(9.18) В этом случае роль параметра выполняет аргумент х. где $1 —— 1 —,В, т.е. точки винтовой линии при ее повороте вокруг оси Ок движутся по этой же винтовой линии. Можно сказать, что винтовая линия при повороте вокруг своей оси „скользит" вдоль себя. В технике это свойство используют в резьбовых соединениях. 258 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Плоская кривая является годографом радиус-вектора г(1) = х(1)г+ у(1)у или т (х) = х~+,~(х)у для представлений (9.17) и (9.18) соответственно. Для непрерывно дифференчируемой плоской кривой при представлении (9.18) вместо (9.15) получим — = ~г'(х) ~ = 1+ (~'(х));Е О, (9.19) т.е.
особые точки отсутствуют и плоская кривая является гладкой. Из (9.19) при йх > О для дифференциала длины дуги паосмой нривой получим Ы8 = ~/~х~+Иу~ > О, или Из~ = Нх + Ну~, (9.20) где Иу = ~'(х)~Ь. Из рис. 9.5 следует, что й равен длине отрезка МоК касательной к графику функции Дх) в точке Мо с абсциссой х. Если в качестве параметра выбрать длину з дуги кривой, то, как и в 9.2, получим, что Иг/Ыз является единичным вектором, направленным по касательной в сторону возрастания параметра з. В этом случае й ах.
в)у . — = — г+ —,у = басова+,у сов)8, а+,8 = я'/2, Из Ыз ~Ь т.е. ах(йз = сова и ау/сЬ = сов ф = в1п а. Углы о и,в показаны на рис. 9.5. Рис. 9.$ 259 9.3. Лдоские кривме При представлении непрерывно дифференцируемой плоской «риной в виде (9.17) из (9.15) следует Поэтому условием существования особых точек будет обращение в нуль производных х'(1) и у'(1) при одинаковых значениях параметра ~. В противном случае ~г'(~)~ фО и кривая будет гладкой.
Тогда (9.20) верно при условии, что Ых = х'(~)й и Ыу = у'(1)Й. Для касательной к кривой в точке со значением параметра 1о уравнение в виде (9.11) сохраняет силу, а в цепочке равенств (9.12) следует опустить правую часть. Если для гладкой кривой в точке 10 х'(10) -,ЕО, то у этой точки существует окрестность 13(1о), в которой производная х'(1) знакопостоянна и не обращается в нуль, а функция х(1) строго монотонна. Тогда у точки х0 — — х(~0) существует такая окрестность 13>(х0) = х(0(10)), в которой определена строго монотонная непрерывно дифференцируемая функция 1(х), и эта кривая является графиком непрерывно дифференцируемой сложной функции Дх) = у(1(х)), х Е 13~(х0).
Помимо (9.17) и (9.18) плоскую кривую можно представить в виде Г = ((х; у) Е И~: Р(х, у) = О; х Е ~а, 6] ~ или Р= р(~Р)> (РЕ ~а ф (9.21) Г = ((х; у) Е И: Р(х, у) = О, у б ~с, И]) при помощи уравнения Р(х, у) = О, неявно задающего зависимость у от х или х от у [1, 3.2]. Пусть в плоскости кривой Г задана полярная система координат (рис. 9.6) с полюсом в начале прямоугольной декартовой системы координат и полярной осью, направленной по оси абсцисс Ох.
Тогда значения полярных угла <р и радиуса р однозначно задают точку (у; р) этой плоскости, а плоскую кривую Г можно представить зависимостью 260 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ где р(у) — непрерывная неотрицательная функция, определен- ная на отрезке ~а,,о1 и связанная с декартовыми координатами соотношениями х = р(р)соыр и у = р(~р)япу. (9.22) Рис.
9.6 Переход от (9.17) к (9.21) возможен при помощи соотношений р= ~х2+у~ н у= агс~д-+Йг, ~9.23) у где В=О, если х) О, анри х <0 1=1, если у>0, и й= — 1, если у<0; при х=О <р=(~г/2)вдпу. Так как Их = (р'(у) сов~р — р(у) в1пу) Йр Йу = (р'(~р) в1пу+ р(у) сову) Йр, 261 9.3. Пдоские кривые вместо (9.20) имеем 1Ф! или (9.24) Пример.
Рассмотренная в примере 8.2 плоская кривая, называемая декартовым листом, может быть задана при помощи уравнения х +у — ху=О, (9.25) а также в виде (9.21) функцией Р(4 = 3 з ' ~ Е ( — я'/4, З~г/4). 3„ + 3„ ' Представление этой кривой в виде (9.18) возможно лишь по трем отдельным однозначным ветвям ~1(х), ~~(х) и Ях) (см. рис.
8.19, а). Плоские кривые делят на алгебраические и трансцендентные в зависимости от того, какие функции входят в уравнение кривой, записанное в прямоугольной декартовой системе координат. Определение 9.8. Плоскую кривую называют алаебраической, если ее уравнение можно записать в прямоугольных Отрезки МР, МР, 0,0 и ОР на рис. 9.6 называют соответственно отпрезками поллрных касательной, нормали, подкасатпельной и поднормали при условии, что прямая Р0 перпендикулярна полярному радиусу ОМ, а прямая МР— касательной МВ. 262 9. ГЕОМЕТРИ ЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ декартовых координатах в виде Аох" +А1х" 'у+...+А„у" +Вох" '+ +В1х" ~у+...+В„, 1у" 1+Сох" ~+С1х" зу+...+ + С„2у" ~ +... + Ьох + Ь1у+ М = О, где коэффициенты Ао, ..., М вЂ” действительные числа и Ао+...+А~ ф-О.
Среди таких уравнений, задающих одну и ту же кривую, есть уравнение с наименьшим значением п, называемым порядком алеебраической кривой. Если левую часть уравнения Р(х, у) = О кривой можно представить произведением конечного числа сомножителей Р1(х, у), Р~(х, у),..., то кривую называют распадающейся (или приводимой) и ей соответствует система кривых с уравнениями Р1(х, у) = О, Рр(х, у) = О,.... Например, из (9.25) видно, что декартов лист является нераспадающейся алгебраической кривой третьего порядка. Некоторые плоские кривые рассмотрены также в Д.9.2.
9.4. Кривизна плоской кривой Одной из характеристик формы кривой является степень ее искривленности, которая нуждается в количественном выражении. Такую характеристику можно ввести следующим образом. Пусть задана плоская гладкая (а следовательно, спрямляемая) кривая с натуральным уравнением г = т(в), где в — натуральный параметр, равный текущей длине ее дуги.
Обозначим через а(в) угол между касательной к кривой в точке с радиус- вектором г(в) и осью Ох (рис. 9.7). При переходе от точки Мо к М приращение этого угла, т.е. острый угол между касательными к кривой в точках Мо и М 263 9.4.
Кривиэиа плоско» кривой ) Ьа(во) ~ где Ьз = з — зо — длина дуги МоМ, — средней кривизной этой дуги. Рис. 9.7 Определение В.9. Кривизной плоской кривой в тпочке т (зо) называют предел (если он существует) средней кривизны дуги кривой, когда дуга стягивается в эту точку, т.е.
с учетом определения 1.2 производной Ьа(зо) й(з0) 1П~ Ьз-+О (9.26) а величину В(зо) = 1/Й(зо), обратную кривизне, называют радиусом кривизны плоской кривой в данной тпочке. Если й(зо) = О, то радиус В(зо) кривизны кривой полагают Равным +со. Это приращение называют углом смежностпи дуги МоМ, а отношение 264 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Определение 9.10. Прямую Мой, проходящую через точку Мо кривой перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называют нормалью к кривой в данной тпочке (см. рис. 9.7), а точку Со нормали на расстоянии радиуса кривизны от Мо в сторону вогнутости кривой — иентром кривизны плоской кривой в тпочке Мо. Для любой дуги окружности радиуса В углу смежности Ьа этой дуги соответствует ее длина ВЬа. Следовательно, кривизна окружности одинакова во всех ее точках и равна 1/В, а радиус кривизны окружности равен ее радиусу. Нормаль в любой точке окружности проходит по радиусу, проведенному из центра окружности в эту точку.
Поэтому для любой точки окружности центр ее кривизны совпадает с ее центром. Ясно, что кривизна прямой равна нулю, радиус кривизны бесконечен, а центр кривизны бесконечно удален от прямой. Пусть кривая Г задана представлением вида (9.18), т.е. является графиком непрерывной на отрезке [с, в1 функции у = ~(х), и эта функция дважды непрерывно дифференцируема на [с, Ы].
Тогда угол между касательной к кривой и осью Ох а(х) = агс®Дх) Чх Е [с, Ы] и, согласно (9.26), с учетом (9.19) и правила дифференцирования сложной функции а(х(8)) получим ~ й~(х(8)) ~ ~ Иа(х) Ых ~ ~~"(х) ~ 1+ (~'(х)) (9.27) Согласно (1.11), уравнение нормали к кривой в точке Мо (см. рис. 9.7) с координатами хо и уо при ~'(хо) ф.
О, хо(= [с,ф, имеет вид хО ун уО р( ) ь 265 9.4. Кривизна плоской кривой где хн и ун — координаты произвольной точки нормали. Поскольку центр Со кривизны лежит на нормали, то его ко- ординаты ~ и ц тоже должны удовлетворять этому уравне- нию, т.е. ~~ — хо Г( о) (9.28) 3 силу определения 9.10 расстояние между точками Мо(хо, у) и Со® ц) равно радиусу кривизны В(хо) в точке Мо, Цоэтому при й(хо) ф- 0 1 й(хо) (9.29) (1 + (1'(хо))') ! У"(хо) ! Отсюда 1+ (У'( .))' — ю ("и Если ~"(хо) > О, то в соответствии с теоремой 8.9 функция ~(х) строго выпукла вниз.
В этом случае и > уо (см. рис. 9.7) и поскольку ~~н(хо)~ = ~н(хо)~, то + Ф"))' + Ф"))' ~-( ) ' ' " = ~"' ~-(* ) Итак, при ~н(хо) > 0 формулы для координат центра кривиз- ны имеют вид 1 = хо — У'(хо) „и т1 = до+ „. (9.30) 1+Ф )) +(~'( )) У (хо) ун(хо) Из (9.28) следует ( — хо —— -(ц — уо)~'(хо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
