II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Если кривая Г задана в полярных координатах при помощи функции р(у) (9.21), дважды непрерывно дифференцируемой наотрезке ~а, Д, то полярные координаты у1 —— ~р1(~р) и р1 —— = р1(~р) произвольной точки С Е Й эволюты Й этой кривой будут определенными по формулам (9.35) функциями полярного угла <р Е ~а,,В] точки М Е Г, в которой центр кривизны кривой Г совпадает с С. Пусть гладкая кривая Г является графиком функции у = = Дх), трижды непрерывно дифференцируемой на отрезке ~с, И], причем ~'(х) и ~п(х) отличны от нуля на ~с, а]. Тогда справедливы свойства зволюты, устанавливаемые двумя следующими теоремами. Теорема 9.3.
Нормаль к кривой Г является касатпельной к ее зволюте Й в соответствующем центре кривизны. ~ Центр кривизны ((;ц) кривой Г в точке (х;у) Е Г лежит на нормали к кривой, являющейся графиком трижды непрерывно дифференцируемой на отрезке ~с, Ы] функции у = Дх). Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что угловой коэффициент — 1/у'= — 1/~'(х) нормали к кривой Г в точке (х; у) совпадает с угловым коэффициентом касательной к зволюте Й в соответствующем центре кривизны фп) ЕЙ.
276 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В силу (9.30) и условий теоремы функции Ях) и ц(х) непрерывно дифференцируемы на отрезке [с, Ы), причем с У'+3®~ у", 1+(у') 2,и ~3у'у"'-(1+У) гУ" У Ь) Д ~~+ъ3— (уи) 2 (уи) 2 (9.39) Отсюда с учетом правила дифференцирования функции, задан- ной параметрически (см. 2.4), угловой коэффициент касатель- ной к эволюте Й в точке ф и) равен Иц/Щ=г~'(х)/('(х) = = — 1/у', что доказывает утверждение теоремы. ~ Пусть точкам х=с и х=п' соответствуют: М1 и М~— точки кривой Г; С1 и С2— центры ее кривизны; Вг — — М1С~ и Вз — — М2Сг — радиусы ее крисг визны, т.е. С1 и С~ являются точками эволюты Й кривой Г а (рис.
9.11). Если функция Дх) м, с трижды непрерывно дифференс, 1~ цируема на отрезке [с, И~ и ~"(х) ф О, то в силу (9.27) и (9.30) функции В(х) = 1/Й(х), м Ях) и ц(х) непрерывно дифференцируемы на [с, И). Тогда функция з(х), описывающая Мг зависимость длины дуги эволюты от х, также непрерывРис. 9.11 нодифференцируема на [с, с~ и Теорема 9.4. При строго монотонном изменении радиуса В(х) кривизны кривой Г его приращение ЬВ при перемещении центра кривизны данной кривой по дуге ее эволюты Й равно по абсолютному значению длине этой дуги эволюты.
277 9,5, Эволюта и эвольвеита плоской кривой с учетом (9.20) и (9.39) ( ~( ))2 (~~( ))2+( ~( ))2 (1+ ~2)( УУ ( +У )У ) Для функции В2(х) = 1/Й2(х), согласно (9.27), имеем 2'" 2у"' 2В(х)В~(х) 3(1+ у~2)2 (1+ у'2)з Р2 23УУ2 — (1+ У 2)У = 2(1+у' ) Возводя левую и правую части зтой цепочки равенств в квадрат и деля почленно на В2(х) = (1+ У'2)з/У"2, получаем ))2 а2 ( УУ ( +У )У ) уИ4 Таким образом, (з'(х)) = (В'(х)), или (9.40) Поскольку функция В(х) строго монотонна на [с, И~, существуют обратная ей строго монотонная функция х(В) и сложная функция о(В) = 8(х(В)).
Тогда по правилу дифференцирования сложной функции (см. 2.2) с учетом (9.40) е'(В) = З(х)/В'(х) = =Е1. Согласно формуле (5.2) конечных приращений, Ьа=о'(В,)ЬВ, где Ь8=з(д) — 8(с), ЬВ= В2 — В1, а В, заключено между значениями В1 и В2. Отсюда ~Ь8! = = ~о'(В,)ЬВ[ = ~о'(В.) ~ ~ЬВ~ = ~ЬВ~. ю Аналогично можно доказать теоремы 9.3 и 9.4 для случая, когда кривая Г и ее эволюта Й заданы в параметрическом виде (9.17), (9.38) при условии, что функции х(1) и у(1) трижды непрерывно дифференцируемы при ~ б [а, Ц. Эти тео- 278 9. ГЕОМЕТРИ ЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ремы обосновывают простой механический способ построения по заданной кривой одной из ее эвольвент. Если нерастяжимую нить, натянутую на жесткий контур, соответствующий заданной кривой с дугой С1С2 (см.
рис. 9.11), сматывать с этого контура, оставляя ее натянутой, то конец нити опишет дугу М1М~ эвольвенты заданной кривой. Действительно, в произвольной точке М эвольвенты ее радиус кривизны равен отрезку МС, нормальному к эвольвенте в этой точке и лежащему на касательной к дуге С1Ср в ее точке С, а приращение М2Сг — М~С1 радиуса кривизны эвольвенты по построению в точности равно длине дуги С1С~ заданной кривой (эволюты). Ясно, что конкретный вид эвольвенты зависит от длины С1М1 свободного участка нити. На рис.
9.11 штриховой линией обозначена эвольвента для случая, когда длина свободного участка нити равна нулю. Пример 9.4. Пусть окружность радиуса В и ее эвольвента имеют общую точку М0(В, О) (рис. 9.12, а). Для окружности как эволюты используем координатное представление (9.38) в виде Й = (® ц) 6 Ж: ~ = Всоз1, ц = Вз1п 1; 1 Е ~0, 2~г ~~.
Так как отрезок СМ касательной к окружности является разверткой дуги СМ0 (это и объясняет одно из названий эвольвенты — развертка), его длина равна В1. Тогда координаты точки М х = Ов = ОА+ 0М = Всоз1+ ВМп 1, у = ВМ = АС вЂ” ПС = Вз1п ~ — В~ созе. В итоге эвольвента Г окружности й имеет координатное представление вида (9.17): Г=((х;у) Е=Ж~: х=В(созй+йз1пй), у=В(зЫ вЂ” Юсова); ФЕ~О, 2згЦ.
279 9.$. Эвоиота и эвольвеита пяоской кривой Рис. 9.12 В технике эвольвенту окружности применяют для профилирования зубчатых зацеплений. Пусть боковые поверхности зубьев двух цилиндрических зубчатых колес с параллельными осями вращения, проходящими через точки 01 и Ор (рис. 9.12,6), очерчены по эвольвентам, а линия контакта зубьев при некотором взаимном положении колес проходит через точку К. Тогдавточке К нормали КМ1 и КМ2 кэвольвентам Э~ и Э2 будутлежатвнаотрезке М1Мр общей касательной к окружностям радиусов й1 и Вр соответственно (эти окружности по отношению к эвольвентам являются эволютами). При вращении колес точка К перемещается вдоль отрезка М1Мр (новое положение эвольвент показано на рис. 9.12, б штриховыми линиями) до тех пор, пока рассматриваемая пара зубьев не выйдет из взаимного зацепления.
Однако зубчатую передачу профилируют так, что к этому времени возникает 280 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Дополнение 9.1. Кривизна и кручение пространственной кривой Пусть гладкая пространственнал кривая Г с длимой дуги зг задана при помощи натурального параметпра з в виде Г = ~т б Е~: 'г = т(з), з Е (О, зги. Так как ~г'(з)~ = 1 (см. 9.2), то Ф(з) = т'(з) является единичным вектором касательной к кривой в точке М с радиус-вектпором т'(з) (рис. 9.13) . Если вектпор-функчия т'(з) дважды непрерывно дифференцируема на отпрезке 10, зг1, то на этом отрезке вектор-функция Ф(з) имеет непрерывную производмуто и определена непрерывная функция Й(з) = ~Ф'(з) ~ = = ~т'"(з)~, называемая кривизной иростпранстпвенной кривой в тпочке М.
Величину В(з) =1/й(з) называют радиусом кривизны простпранстпвенной кривой в этой тпочке. зацепление между другой парой зубьев, и линия их контакта снова перемещается вдоль отрезка М1Мг. Если угловая скорость ыг ведущего колеса постоянна, то постоянна и скорость ы2В2 движения точки К по линии М1М2, называемой линией зацепления. Но тогда постоянна и угловая скорость ы1 — — ы2В2/В1 ведомого колеса. Таким образом, эвольвентное зацепление обеспечивает плавность вращения ведомого колеса и постоянство передаточного отношения ы1/ы2 —— В2/В1 зубчатой передачи.
Кроме того, некоторые изменения межосевого расстояния 010р (см. рис. 9.12, б), вызванные неизбежными погрешностями при установке зубчатых колес, не влияют на передаточное отношение, если эти погрешности, конечно, не столь велики, что зубья колес вообще не могут войти в зацепление. Характерно, что эвольвентное зацепление было предложено не кем иным, как математиком Л. Эйлером. Д.9.1, Кривизна и кручение пространственной кривой 281 Рис. 9.13 В тех точках з Е (О, зг1, где й(з) ф.О, определены единичные векторы и(з) =, Ф'(з) = — Ф'(з) = „т п(з) Ф'(з)! Из) !'"(з)! Ь(з) = й(з) х и(з) = т"(з) х т "(з), (9.41) !ги(з) ! называемые соответственно аяавным нормальным и бинормальным вектпорами кривой в точке М. Прямые, проходящие через зту точку параллельно векторам и(з) и Ь(з), называют соответственно главной нормальто и бинормольто (иногда для краткости так называют и сами векторы л(з) и Ь(з)).
Точку С, лежащую на прямой, которая проходит через точку М Е Г параллельно вектору ' ю(з), так, что вежтиоры Ж и тт,(з) коллинеарные сонаправленные, а длина !М~~! = = Й(з), называют центпром кривизны иростпранстпеенной 282 9. ГЕОМЕТРИ ЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ кривой Г в тпочке М. Радиус-вектор центра кривизны С' кривой Г в точке М будет ит(з) = т'(з) + В(з)л(з).
(9.42) Ь'(з) = й'(з) х и(з) + й(з) х и'(з) = Й(з)и(з) х л(з) + й(з) х и'(з). Первое слагаемое в правой части равно нулевому вектору, а во втором слагаемом вектор и'(з) ортогонален и(з). Поэтому векторы Ь'(з) и л(з) коллинеарны и отличаются лишь на некоторый множитель, который обозначают -м(з).
В итоге Ь'(з) = -х(з)и(з). Величину х(з) называют кручением кривой в тпочке М. Поскольку векторы л(з) и Ь(з) определены при условии к(з) ф О, в точках, где к(з) = О, кручение кривой не определено. Вектор-функция ж(з), з Е 10, зг1, задает эволюту й кривой Г, а вектор-функция тт(з) = т'(з)+(зг — з)Ф(з), з Е ~0, зг], задает ту из эвольвент Л кривой Г, которая с ней имеет общую точку с радиус-вектором т (зг) (см. рис. 9.13). Единичные векторы Ф(з), л(з) и Ь(з) образуют в силу (9.41) правую тройку некомпланарных векторов (правый базар), причем этот базис ортонормированный. Его называют сопутпстпвующим репером кривой, или сопровождающим 6аэисом Френе — по имени французского математика Ф.
Френе (1816-1890). Пяоскостпи, проходящие через точку М перпендикулярно векторам Ь, Ф и п, называют соответственно соприкасающейся, нормаяъной и спрямяяющей. Они образуют подвижный тирехаранник, или основной тприэдр, данной кривой в точке М. Если вектор-функция т'(з) трижды дифференцируема на отрезке [О, зг1, то Д.9.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
