II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Подставляя это выражение и (9.27) в (9.29), находим 266 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Нетрудно проверить, что (9.30) верны и для случая ~"(х) < 0 Если в некоторой точке хо б ~с, Ы] ~'(хо) = О, т.е. касательная к кривой горизонтальна, то Й(хо) = ~~"(хо)~, нормаль вертикальна и (9.30) остаются в силе: ~= хо и ~= Лхо)+1/Г'(хо). Пример9.2.
Функция У(х) =асЬ(х/а), хай,задаетцеамую мимюо (рис. 9.8), форму которой принимает под действием силы тяжести однородная гибкая нерастяжимая тяжелая нить (цепь) с закрепленными концами. Действительно, рассмотрим дугу АМ длиной з с приложенными к концам силами Ро и Р натяжения нити, направленными по касательным к кривой соответственно в точках А и М. Уравнения равновесия этой дуги в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления будут Ро — — Рсоь.~ и рз = Ряпу, (9.31) где у — угол между касательной в точке М и осью Ох, а р — вес единицы длины нити. Отсюда ф~ у = ~'(х) = рз/Ро.
Рис. 9.8 267 9А. Кривизна плоской кривой Дифференцируя по х и учитывая (9.19), находим ~н(х) = (р/Рд) йз/йх, или ~"(х) — — — совам. р Р ( + (г(*~)')"' Й(х) ~~" (х) ~ (1+ 8],2(х/а))3/2 (1/а) сЬ(х/а) и длина отпрезка нормали МХд Ж=Дх) . 1 Дх) 81п(~г/2 — у) со87 = — = у(*),/Г+ 1~'~ = = асЬ (х/а) =~( ) равны между собой, что позволяет легко находить центр кривизны любой точки цепной линии. Для окружности с центром в начале координат тоже В = Ф, но для нее эти отрезки совпадают, а для цепной линии они расположены по разные стороны от рассматриваемой точки на кривой.
В частности, центр кривизны точки А имеет координаты (=О и п=2а. Представление функции ~(х) = а сЬ(х/а) по формуле Ма- клорена х 1 х 2 1 х 4 асЬ вЂ” =а 1+ —,Н + —,Н +о(х ) ! Условие постоянства левой части этого равенства выполняется при подстановке ~(х) = асй(х/а), если принять а = Рд/р. Тогда длина дуги АМ 8(х) = а~'(х) = а ВЬ(х/а). Радиус кривизны цепной линии с учетом (9.27) 2б8 9. ГЕОМЕТРИ ЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ показывает, что при малых отношениях х/а цепная линия близка к параболе с уравнением у = а+ х2/(2а).
Но при произвольных ж/а параболе соответствует форма провисшей нити, несущей нагрузку, равномерно распределенную не по ее длине, а по ее горизонтальной проекции. Действительно, в этом случае вместо (9.31) для дуги Ам (см. рис. 9.8) будем иметь Ро — — Рсозу и рж = Рв1п у, или ®~у = ~ (х) = рх/Ро. Этому соотношению удовлетворяет функция Дж) = а+ х~/(2а) (если по-прежнему принять а = Ро/р), график которой является параболой, проходящей через точку (О; а). Примером нити, имеющей форму параболы, может служить трос или цепь висячего моста, поддерживающий его настил при помощи ряда вертикальных стержней (см. пример 3.2 и рис. 3.3 в ~1]). Цепная линия является решением поставленной Д.
Эйлером в 1744 г. задачи о поиске кривой, проходящей через две заданные точки и образующей наименьшую по площади поверхность вращения относительно заданной оси, пересекащей под острым углом прямую, проведенную через заданные точки. Поверхность вращения цепной линии называют квтеиоидом.;ф Если кривая Г определена координатным представлением вида (9.17) и функции х(1) и у(1) дважды непрерывно дифференцируемы на отрезке ~а, 61, то с учетом формул (2.21) и (4.18) для производных функции, заданной параметрически, в виде х = х(1), 9.4.
Кривиэна плоской кривой подстановкой в (9.27) и (9.30) получим при 1 Е 1а, 61 з/г' ( 1 ) у и ( ~ ) х ( 1 ) у ( 1 ) ((*'и)) + Ь'и)) ) (9.32) ,(,) ("())'+Ь'())' '-' "" (~)у (~)-.-(~)у(~) (9.33) „„,.„, ( ())'+Ь())' — +'('). (1)у () .-(1)у(1) Пример 9.3. Уравнения х = а 1п$д — +асоз1, у= ав1п1, 1 Е (О, 7г) 2 а/2 созга х'(~)— ав1п$ = а фф2) созгф2) в1п ~ ' 1+ з1пг 1 х" (1) = — а . сов$; з1пг 1 у'(1) = асоМ, у"(1) = — аз1п 1.
задают кривую Г, по которой перемещается в горизонтальной плоскости хОу материальная точка М, прикрепленная к одному концу нерастяжимой нити длиной а, если другой конец этой нити перемещать по лежащей в той же плоскости прямой (на рис. 9.9, а этой прямой является ось Ох, а (О;а) соответствует начальному положению материальной точки). Эту кривую называют шрактрисой (от латинского слова йаЬо — тащить). Параметр 1 соответствует углу между касательной к кривой и осью Ох.
В вершине трактрисы 1=я/2. При изменении 1 от т/2 до нуля материальная точка перемещается по левой ветви трактрисы, а при изменении от я'/2 до к — по ее правой ветви. Для вычисления радиуса кривизны и координат центра кривизны для произвольной точки трактрисы предварительно найдем 270 9. ГЕОМЕТРИ ЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Рис.
9.9 Тогда с учетом (9.32) и (9.33) 1 В(1) = — = ас$ф; = й(~) = сов~ 1 а ~(8) = х($) — а сова = а 1п ф~ -, п(1) = у(1) + а —. 2' а1п 1 яп 1 Так как длина касательной к любой точке трактрисы равна а. для построения центра кривизны кривой в точке М из этой 9.4. Кривизыа плоской кривой 271 точки радиусом а делаем засечку на оси Ох и из полученной точки К к оси Ох восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с нормалью МС в точке С (см. рис. 9.9, а). Поскольку ~С = ас~~~ = В(1), точка С является искомым центром кривизны. Если с учетом равенства 81п й = 2 ®(й/2)/(1+ ®~~(й/2)) из выражений для Я$) и п($) исключить 1, то получим = асЬ(~/а), т.е. центр кривизны в произвольной точке трактрисы лежит на цепной линии (см.
пример 9.2 и рис. 9.9,а, штриховая линия). Длина отрезка нормали МФо трактрисы в точке М Щй) = афй, а значит, В(й)Ф(й) = а~ = сопвФ. Таким же свойством обладает окружность с центром в начале координат, но для нее отрезок нормали и центр кривизны лежат по одну сторону от кривой, а для трактрисы — по разные стороны. При вращении окружности вокруг оси, проходящей через ее центр, получают сферу, а при вращении трактрисы вокруг оси Ох — поверхность, называемую исевдосферой (на сфере и псевдосфере реализуются неевклидовы геометрии Римана и Лобачевского соответственно).
Контактные поверхности пяты (цапфы) 1 (рис. 9.9, б) и подпятника 2 опоры планшайбы 3 карусельного токарного станка являются участками псевдосферы. При вращении планшайбы вокруг оси Ох из-за трения происходит износ контактных поверхностей. Скорость износа связана с мощностью, развиваемой силами трения и зависящей от произведения скорости скольжения, коэффициента трения и контактного давления, уравновешивающего вес планшайбы и закрепленной на ней обрабатываемой детали. Локальная скорость скольжения пропорциональна у, а локальное значение контактного давления обратно пропорционально 81п1 (см.
рис. 9.9б). Но для произвольной точки М трактрисы у/81п1 = а = соп8$, что обеспечивает равномерный износ контактных поверхностей и долговечность опоры. 4~ 273 9А. Кривизна плоской кривой спирали р'(у) = а" 1па, рн(у) = а~1п~а и радиус кривизны, согласно (9.34), т.е.
пропорционален полярному радиусу этой точки. Поскольку р"~р2 = 1 и щп(р(р'+ р'/р) = оп(1па+ 1/1па) = вцп(а — 1), согласно (9.35), Ю(~р) = (я'/2) зип(а — 1) и полярные координаты центра кривизны ~р1(~р) = у+ — вцп(а — 1), р1(~р) = а~1п а. 2 (9.36) Рис. 9.10 Логарифмическая спираль замечательна тем, что угол между касательной в любой ее точке и полярным радиусом этой точки постоянен. В самом деле, так как для любой кривой, заданной в полярных координатах уравением р = р(~р), Ф= у- ~р (см.
рис. 9.6), $д у= у'(ср)/ж'(у) и после подстановки производных ~в~ — ~м р(р) 1+С~7 ®р р(р)' (9.37) 274 9. ГЕОМЕТРИ ЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ то для логарифмической спирали ®4 = 1/1па = сопяФ. Это свойство используют при профилировании по логарифмической спирали режущей кромки вращающихся ножей, благодаря чему угол резания я ~2 — ф между лезвием ножа и направлением резания остается постоянным по всей режущей кромке. В гидротехнике для уменьшения потерь напора воды изгибают по логарифмической спирали канал, подводящий поток к лопастям турбинного колеса. В биологии логарифмическую спираль связывают с законами органического роста: она угадывается. например, в форме раковин некоторых моллюсков и в расположении семечек в подсолнухе.
9.5. Зволюта и эвольвента плоской кривой Определение 9.11. Множество центпров кривизны кривой называют ее эволютой. По отношению к своей эволюте кривую называют эвольвентой (иногда имволютой или разверткой). Ясно, что эволютой окружности будет ее центр. Из примера 9.3 следует, что эволютой трактприсы будет цепная линия. а эвольвентой цепной линии — трактриса. Если из (9.36) исключить полярный угол у, то найдем уравнение эволюты логарифмической спирали при а > 1 в виде р1(~р1) =а~' ~~ 1па, т.е. эволютой будет тоже логарифмическая спираль, но повернутая относительно исходной спирали с уравнением р(д) = а на некоторый угол.
Если основание а удовлетворяет условию а ~~1па = 1, то такая спираль будет служить сама для себя эволютой (а значит, и эвольвентой). Если плоская гладкая кривая Г является графиком дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке ~с, а1 функции 9.6. Эволюта и эвольвента плоской кривой Дх), то (9.30) можно рассматривать как параметрическое задание с параметром х эволюты Й этой кривой. Зависимость между координатами точек эволюты в виде функции и = ц(~) можно получить, если удастся из (9.30) исключить х. Если же кривая Г определена координатным представлением вида (9.17) и функции х(8) и у(8) дважды непрерывно дифференцируемы на отрезке ~а, 6], то координатным представлением эволюты Й кривой Г будет где функции ('(1) и тф) параметра 1 определены в (9.33).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
