II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Это свойство циклоиды было использовано в 1673 г. Х. Гюйгенсом для создания маятника, период Т = 4~г~/а/у (у = 9,81 м/с — ускорение земного тяготения) колебаний которого не зависит от амплитуды. Подвешенный на нити шарик движется по циклоиде (рис. 9.21, 6, штриховая линия), которая является звольвентой жесткого контура с профилем, выполненным также по циклонде. В обычном маятнике шарик движется по дуге окружности и период колебаний шарика будет приближенно постоянным только при небольших амплитудах, когда дуга окружности (см. рис.
9.21, б, штрихпунктирная линия) мало отличается от дуги циклоиды. Циклоиду также называют брахистпохроной (~3раХтто~— по-гречески кратчайший) — кривой скорейшего спуска. Материальная точка под действием силы тяжести, находясь в покое в заданной точке, переходит из нее в другую заданную точку, не лежащую с первой на одной вертикали, быстрее всего по циклоиде, обращенной выпуклостью вниз и имеющей точку возврата в первой точке. Задача о поиске брахистохроны, поставленная И, Бернулли в 1696 г., относится к вариационному исчислению (см. [1, Краткий исторический очерк~).
Рассмотренные выше кривые составляют лишь малую долю множества хорошо изученных плоских кривых, обладающих интересными и полезными свойствами, которые находят широкое применение в технике. 305 Вопросы и эадачи Вопросы и задачи 9.1. Доказать свойства (9.6) пределов векторных функций. 9.2. Доказать, что если !ип г(1) = а, то 1пп ~г'(1)~ = ~а~. 1-+1О ' 1-И~ Верно ли обратное утверждение? 9.3. Найти пределы вектор-функций: .1 — ~ .8'1п~ 1п(1-~) а) а — +2 — — Й при 8-+О; 1+8 .
81п$ . 1пф~г) б) в — +у +Й при 1-~ 1г. $ — 7г гг — 1 9.4. Доказать, что ($э (й)$) =э (й)э'(й)/$м (8)$. 9.5. Цсли в точке 10 дифференцируема вектор-функция г(1), то будет ли дифференцируема в этой точке функция ~т ($)~? Верны ли в этой точке равенства ~1'! = Щ)' и т ю' = = ~з ~(~г~)'? 9.7. Пусть функции т1(1), ~2($) и т з(1) дифференцируемы в точке 10. Выясните, верно ли в этой точке равенство (Г1Г2РЗ) = Т'1Г2Ч 3 + Р1Т2РЗ + Р1Р2Г'З. / Ф ! У 9.8.
Доказать, что уравнение касательной к годографу в точке с радиус-вектором ~($0) в векторной записи имеет вид если ~т ®(й0) ~ = О, й = 1, и — 1 и ~э 1"1(й0)! ф. О. 20-544 9.6. Доказать, что во всех точках некоторого интервала векторы т ($) и 1'($) ортогональны тогда и только тогда, когда в этом интервале ~з ($) ~ = сопвФ.
306 9. ГЕОМЕТРИ ЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 9.9. Найти производные вектор-функций: а) б+Ру+РЙ; б) Ып$+усоз$ — Й; в) ьаз1п~ы$+р'бсоз~ы$+Ьг и написать уравнения касательной в произвольной точке их годографов. 9.10. Найти производные функций: а) г з($); б) г($)г'(1)г"($); в) ю ($) Х ю'($) Х ~ "($).
9.11. Для дважды дифференцируемой на отрезке [а, 61 вектор-функции ~(1) выполнены условия з.(й)т®м"(Ф) = О, $г(Ф) х г'(й)$ ф 0 ~Й Е ~а, Ь~~. Доказать, что годограф этой вектор-функции лежит на неко- торой плоскости. 9.12. Показать, что кривал Вивиаии, задаваемая соотно- шениями х= Ва1п 1, у=Вз1п1 созе, я = Всоа$, 1 б ~О, 2т1, является пересечением сферы с уравнением х~+ уз+ х~ = В2 и цилиндрической поверхности с уравнением х2 + дз = Вх. Принадлежит ли кривой точка (В; 0; 0) и какому значению параметра ~ она соответствует? Доказать, что проекция кривой на плоскость хОз будет дугой параболы.
9.13. Лежит ли кривая с координатным представлением Г = ((х; у; я) Е Й: х = е" созе, у = е" з1п 1, .е = е~, 8 Е Й~ на конической поверхности с уравнением х~+ р~ = х~? При каком значении а эта кривая пересекает все образующие конуса под углом т/4? 307 Вопросы и задачи 9.14. Показать, что кривая с координатным представлением где ~(1) = 1+ Р+ ~4, лежит на сфере. 9.15. Доказать, что кривая, называемая моксодромией, с уравнением где 9 и ~р.— широта и долгота точки на сфере, пересекает все меридианы под углом а. 9.16. Доказать, что формулы Серре — Френе можно записать в виде Ф) =.0(з) хй(з), и'(з) =.0(з) хп(з), Ь'(з) =Щз) хЬ(з), где Щз) = ж(з) й(з) + Цз)Ь(з) — вектор Дарбу.
9.17. Через четыре точки пространственной кривой можно провести сферу. Если они стремятся к одной точке, то при определенных условиях зта сфера стремится к некоторой предельной, называемой соприкасающейся сферой. Указать эти условия и доказать, что ее центр лежит на бинормали в направлении ее единичного вектора на расстоянии ~В'(з)/ж~, где й(з) и х — радиус кривизны и кручение кривой в точке с радиус-вектором г(з). 9.18.
Найти уравнение параболы, имеющей ось симметрии, параллельную оси ординат и соединяющей начало прямоугольных координат с точкой (1; О), так, что дуга параболы образует вместе с нижней половиной окружности к~+ у~ = 1 кривую с непрервными касательной и кривизной. 9.19. Найти наибольшую кривизну у кривых с уравнениями: а) у = 1п ю; б) у = а 1п(1 — т~/а2). яо' 10. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 10.1. Табличный способ задания функции Функция у= Дх) как зависимость у от х может быть задана различными способами ~1, 3.2~. До сих пор мы использовали аналитический способ задания в виде формулы, а для наглядности применяли графический способ и изучали приемы построения графика функции по ее формуле.
Напомним, что зависимость у от х может быть описана и словесно или задана в виде некоторой определенной последовательности действий, т.е. алгоритмически, а также в виде таблицы и пар дискретных значений х; и соответствующих им значений у; (а=1,п): Такая таблица может быть результатом вычисления значений функции по значениям аргумента (твабу.пирования Фрикции) или итогом многократного измерения двух связанных между собой величин при проведении научно-исследовательского эксперимента или испытания технического объекта (простейший пример — измерение времени и пройденного за это время пути). Тогда возникает обратная задача: по отдельным парам значений х; и у; = ~(х;) составить более полное представление о функции у=~(х). Один из путей решения этой задачи — построить график функции Дх) по и точкам 310 10.
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ (рис. 10.1), координаты х; и у; которых заданы таблицей, предполагая, что х; Е ~х1, х„] и на отрезке ~х1, х„] ~(х) непрерывна. Этот путь дает наглядное представление о функции Дх), но обычно не позволяет решить задачу нахождения с необходимой точностью значений у для внетабличных значений х. Решение последней задачи и составляет предмет иктерпояирования. В нее также входит нахождение аналитического выражения для функции у = ~(х), которое бы при табличных значениях х; давало табличные значения у;.
Рис. 10.1 Согласно общей классификации задач вычислительной математики, интерполирование является задачей идектификации, в которой по заданным совокупностям элементов х; Е Х и у~ Е У образа У и прообраза Х требуется установить правило ~ отображения ~: Х -+ У, т.е. построить математическую модель объекта по результатам эксперимента или испытания. В более узком смысле вычисление значения у при каком-либо промежуточном внетабличном значении х Е Е (х;, х;+1) называют иктерпом,яцией, а при х ~ (х1, х„~— экстраполяцией. 10.2. Линейнва ыцтерпааациа 10.2.
Линейная интерполяция Простейшим вариантом икжериолирования является линейное, когда через две точки (х1, у1) и (хг, 'уг) с заданными координатпами (х1 ф хр) проводят прямую (рис. 10.2, а) с уравнением уг-у1 х — хр х — х1 у = у1+ (х -х1) или у= у1 +ур (10.1) х2- х1 Х1- Х~ Хр - Х1 и используют его для приближенного вычисления значения у =Их )=у +у (10.2) х1- х~ х~ - х1 функции у=~(х) в точке х=х' между точками х1 и хр. Рис.
10.2 313 10.3. Квздратичыан интерполяция где х1 < 6 < хо < 4я < х~. Тогда, учитывая, что Ь = хр — х1 > > 2ппп(хо — х1, х2 — хо), 1~р"(~1)! < Мз и !у"((~)1< Мэ, запишем Ь~ ! р(хо)! < М2 8 Итак, МзЬ~/8 — наибольшая погрешность, которая может возникнуть при линейной интерполяции. Если погрешность не должна превышать числа е > О, то возникает ограничение на выбор шага Ь между узлами интерполяции, а именно Ь < < /~~~Ма, При линейной экстраполяпии погрешность (~р~иИ быстро растет с удалением точки х от концовотреэка ~х1, хй1 вследствие роста (х — хо)~. Точность интерполирования можно повысить, если учесть больший объем информации о поведении функции, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
