II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 40
Текст из файла (страница 40)
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ Однако непосредственное использование (10.12) удобнее, по скольку позволяет следить при вычислениях за точностью нн терполирования, оценивая ее по убыванию абсолютных значе ний слагаемых. Если убывание быстрое, то можно прекра тить расчет на том слагаемом, абсолютное значение которого меньше допустимой погрешности.
Когда нет необходимости в построении многочлена Ф„1(х), а нужно найти лишь прибли женноезначение у' при конкретном значении х', достаточно в схеме вида (10.11) у;;+1 (г = 1, и — 1) заменить на у;(х' — х;+1) — у;+1(х' — х;) х; — х;+1 а значения у; . (~ = 1, и — 2, ~ = т+ 2, и) — на Д,...,, «(х' — х ) — Д+1,..., (х' — х;) Л,...,~— х — х. В Я В качестве у' принимают то значение ~, которое менее всего отличается от значений ~ с меньшим на 1 количеством индексов.
Описанный алгоритм называют схемой Эйшмеко по имени английского математика А.К. Эйткена (1895 — 1967). Пример. Используем схему Зйткена для нахождения у по данным примера 10.2 при х' = 1,15. х1 — — 1,0 хг ха=1,3 х4 — — 1,5 х5 — — 1,6 у, =1,ООО Л,г уг — — 1,032 Ь,з уз = 1,091 Уз,4 у4 = 1,145 У4,5 уб — — 1,170 1,048 Л,г,з 1,047 Уг,з,4 1,050 Уз,4,5 1,057 1,048 Л,г,з,4 —— 1,048 1,047 ~~,г,з,4,5 — — 1,048.
Ь,з,4,5 — — 1,048 1,046 323 10.6. Интерполирование с кратными узлами 'Гак как Л,г,з и Л г совпадают с принятой точностью расче- тов, вычисления можно было бы прекратить на втором этапе и принять у -1,048. 4~ Если заданная в табличной форме функция у = Дх) непрерывна и строго монотонна на отрезке [хд, х„| и имеет область значений В(~) = [уд, у„1 (или В(У) = [у„, уд1), то схему Зйткена можно применить для обратного интерполирования, т.е.
для нахождения значения х' Е [хд, х„|, соответствующего заданному значению у = ~(х ) Е В(~) функции Дх). В силу строгой монотонности Дх) в ее области значений определена обратная функция х = ~ д(у) (см. теорему 9.6 [11), и задача состоит в обычном интерполировании этой обратной функции в точке у'. Для этого в приведенных выше формулах достаточно всюду х и у поменять местами. Пример.
По данным примера 10.2 найдем значение х', соответствующее заданному значению у' = 1,100. р, =1,000 уг — — 1,032 1,333 ~д,г,з,4 = 1,332 1,332 Л,г,з,4,ь — — 1,332. ~г,з,4,ь = 1,332 1,332 уз —— 1,091 у4 — — 1,145 уь =1170 Если ограничиться точностью до второго знака после запятой, то можно принять х =~ д(у ) = ~ '(1,100) -1,33. 10.6.
Интерполирование с кратными узлами В уэлах интериоляиии хд Е [хд, х ], 1 = 1, т, помимо значений уд интерполируемой функции у =,~(х) могут быть гдФ хд — — 1,0 Л,г хг — — 1,1 ~г,з ха=1,3 Уз,4 х4 — — 1,5 Л,ь хь — — 1,6 1,312 Л,г,з 1,331 Л,з,~ 1,333 Уз,4,ь 1,320 324 10. ИНТЕРПОПИРОВА НИЕ заданы и значения ее производных у~ — ~'(х~), у~" — — ~" (х~), ..., у~~ ' ~ — — ~~ ' 1(х~) до порядка Й~ — 1 включительно, т.е. в каждом узле известно й~ значений.
Число й~ Е Х называют кратностью узла интерполяции х~, а при Й~ ) 1 узел интерполлиии называют кратным (в отличие от простого узла при Й~ = 1). Многочлен Н„(х) = аох" +а1х" '+...+а„1х+а„ степени п = Й1 + ... + )с~+... + Й вЂ” 1, для которого НИ(хД=у~, 1=Ъ,т, у=О,Й~ — 1, (10.13) Жв(х) — У1 + У1,2(х х1) + У1,2,3(х — х1) (х — х2) + ° ° ° + +У1,2,,;(х — х1) "(х — х; 1)+...+ + у1,2,...,„+1(х — х~) *" (х — х„) называют интерполлционкым многочленом с кратными узлами, или интерполлииокным многочлеком Зрмита — по имени французского математика Ш. Эрмита (1822-1901).
Условия (10.13) представляют собой систему п линейных алгебраических уравнений относительно и коэффициентов ао, а1, ..., а„, которая имеет однозначное решение при любых правых частях, поскольку соответствующая ей однородная систе.иа имеет лишь нулевое решение, т.е. иатрииа этой системы невырождена.
Действительно, пусть О„(х) — многочлен степени п. Тогда условия С„(х~) = О, ! = 1, т, у = О, Й~-1. И означают, что числа х~ являются его нулями кратности, не меньшей, чем й~. Поэтому многочлен С„(х) имеет не менее 11+... + й~+... + й = и+ 1 нулей. Это возможно только тогда, когда все коэффициенты С„(х) равны нулю, т.е. соответствующая (10.13) однородная система уравнений имеет лишь тривиальное решение.
Многочлен Н„(х) можно построить, не решая систему (10.13). Для этого рассмотрим интерполяиионный многочлен Ньютона 10.6. Интернолирование с кратными узиами 325 степени и, построенныЙ по и+ 1 простым (не кратным) узлам. Если приближать узел Х3 к узлу х1, то средний наклон У1,3 —— (уз — У1)/(х3 — Х1) графика многочлена Ф„(х) между этими узлами будет стремиться к значению у' = ~'(х1) производной функции у = ~(х) в точке Х1. Тогда в пределе при Х3 — ~х1 и заданном значении у' узел Х1 станет кратным с кратностью 2, а вместо У„(х) получим интерполяционный многочлен Эрмита Нп (х) У1 + У1(х х1) + У1,1,3(х х1) + У1,1,3,4(х Х1) (х ХЗ) + +" +У1,1,3,...,в(Х-Х1)'(Х-Хз) "(Х вЂ” Х'-1)+" + +у1,1,3,...,и+1(х-х1)'(х-хз) "(х-хя), гао у, ь; — розоеаенноз разность у1 е; (ь = З,а+1), в которой У13 заменено на у'„х3 — на Х1 и У2 — на у1.
Если теперь и хз -~ Х1 при условии, что х1, У1 и у', фиксированы, то с учетом правила Бернулли — Лопитпаля и определения 1.2 производной У1 — (У1 — Уз) /(Х1 — Хз) 11п1 У1 1 3 — — 11п1 +е] жз-+ж1 Х1- ХЗ Уз У1 У1(хз х1) ° Уз У1 У1 хз-+х, (ХЗ вЂ” Х1) 2 хз-+*1 2(ХЗ вЂ” Х1) 2 и вместо Н„(х) получим Нув(х) = У1 + У1 (х — х1) + У1 (Х вЂ” Х1) /2+ У1,1,1,4(х — Х1) + .. ° + +У1,1,1,4,,;(Х вЂ” Х1) (Х вЂ” Х4) ° ° (Х вЂ” Х; 1)+...+ + У1ь1ь1ь4е" ьув+1 (Х вЂ” Х1) (Х вЂ” Х4) ' ' ' (Х вЂ” Хув), где у111, — разделенная разность у 33, (1=4,п+1), в которой У1 2 заменено на у~~, У13,3 — на у~~'/2, У3 и уз — на У1, а х3 и хз — на Х1. Ясно, что, полагая поочередно х;-+х1 (г = 4, и+ 1), в итоге получаем многочлен Тейлора и 1вв) Р„(х) = У1 + у~1 (х — Х1) + — (х — х1) +...
+ 1, (х — х1). 2 и.' 326 10. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ Щх) — О„(х)3 < М„+д ", (10.14) (и+ 1).' где М„+д — наибольшее абсолютное значение производной порядка и+1 функции Дх) в интервале (хд, х ) и " ~*~=П(*-*~"— многочленстепени и+1 с нулями х~ (1=1,т) кратности Й~. Пример 10.3. Пусть на концах отрезка [хд, хз] заданы значения уд, у~д, уг и у~з для функции дх), определенной на ~хд, хз1. Тогда т=2, йд —— й2 — — 2 и и =йд+йз — 1=3. Построим многочлен' Нз(х), удовлетворяющий условиям Оз(хд) = Уь Оз(хд) = Уд Оз(хз) = Уь Оз(хз) = Уг (10.1М Для этого используем интерполяционный многочлен Ньютона степени и = 3 для и+1 = 4 простых узлов хд, хз, хз, х4 б Е дхд, хз1: ~з(х) = уд+ уд,з(х - хд) + уд,з,з(х — хд)(х — хз) + + уд,зд 4( — хд) (х — хз) (х — хз) ~ Такой предельный переход позволяет считать многочлен Тей лора степени и интерполяционным многочленом Эрмита, ко.
торый в одном узле (т = 1) совпадает с интерполируемой функцией по своему значению и значениям всех производных до порядка и включительно. Применяя последовательно процедуру предельного перехода Й~ — 1 раз к каждому фиксированному интерполяционному узлу хд (д = 1, т), в котором заданы значения У~, д = О, й~ — 1, 0) из интерполяционного многочлена Ньютона для (и+1)-го простого узла получим интерполяционный многочлен Эрмита степени и для т в общем случае кратных узлов.
У такого многочлена Эрмита помимо узловых значений будут совпадать с интерполируемой функцией еще и значения производных во всех или в некоторых узлах. Для погрешности интерполяции справедлива оценка вида (10.9): 327 10.6. Иитерполироваиие с кратиыми узлами где У1 — Уз 91,3— Х1 ХЗ У1,з — Уз,г 91,3,2 — > Х1 Х2 91,3,2 У3,2,4 Х1 Х4 причем Уз — Уг Уз,г = ХЗ Х2 У3,2 У2>4 Уз 2,4 = ХЗ Х4 92 У4 и 924 —— х2 Х4 При хз-~ Х1 и Х4-+хг следует 91,з и 92,4 заменить на 91 и 92 х3 и х1 на х1 и хг 93 и 94 на 91 и 92 соответственно. Тогда при хг -х1 — — Ь вместо Жз(х) получим Нз(х) = У1+У1(х х1)+91 1,2(х х1) +91 122(х — х1) (х хг) где Уг У1 У1 У1+У2 У2 91 2 91'1'г г 2 3 Многочлен Нз(х) обычно преобразовывают к виду г 2(х — х1)+Ь, г Х вЂ” Х1 Нз(х) = 91(хг — х) 3 + У1(хг — х) + 22(хг — х)+Ь ~ гх — хг + 92( 1) ЬЗ + 92(х 1) Ь2 (10.16) п1ах ~~(х) — Нз(х)~ < —, п1ах ~(х — х1) (х — хг) ~ = М4 —, М4 2 2 х1(х(хр 4! х1(х~~хр 384' где М4 — наибольшее абсолютное значение ~11(х) при х Е Е (х1, хг) и называют кубическим икшерпол~щионкым мноаочяеком Эрмиша.
По (10.16) нетрудно проверить выполнение условий (10.15). Для четырежды дифференцируемой в интервале (х1, хг) функции ~(х) из (10.14) следует оценка для наибольшей возможной погрешности ее интерполирования на отрезке [Х1, хг] многочленом Нз(х): 328 10. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ 10.Т.'Численное дифференцирование у 1 х хг Уд 1 хд хгд уг 1 хг п-1 х и-1 1 и-1 1. г Уи 1 Хи Хг ... Хп-1 то последовательным дифференцированием его первой строки можно для точки х. приближенно найти производные от первой до (и — 1)-й из выражений 1) и-г и-1 хд п-1 х у', О 1 2х, ... (и— уд 1 хд хд в ° ° уг 1 хг хгг =О, Уп 1 Хп г и-1 и у, О О уд 1 хд уг 1 хг ( — 1).' п-1 1 и-1 г г х, г хг г Хп и-1 хп уп 1 хп Инженерные задачи нередко приводят к необходимости вьд числения производных функции по ее табличным значениям (на пример, вычисление скорости и ускорения прямолинейного дви жения тела по измеренным значениям времени и пройденного пути).
В этом случае говорят о численмом дифференциро. ввиии функции. Формулы для вычисления производных будут приближенными, и их можно получить двумя путями. Первый из них связан с дифференцированием интперполлиионного многочлена, построенного по табличным значениям функции. Если при и узлах интерполяиии многочлен степени и — 1 задан при помощи определитпеля 329 10.7. Численное дифференцирование У1 — Уг Уе У1,2 = Х1- Х2 У1г-Угз 2 У1-Уг Уг-Уз У -2У1,г,з =2 х1-хз х1-хз х1-хг хг-хз В случае равноотстоящих узлов интерполяции имеем хз — — хг+ +Ь = х1+26 и получим выражения в конечных разностях и У1 — 2У2+ уз и у Ь Уг — У1 Ь (10.17) Общая схема получения формул вида (10.17) состоит в том, что в точке х, вычисляют значение Р„,(х,) (Й = 1, и-1) (й) й-й производной интерполяционного многочлена Р„1(х) и принимают его в качестве приближенного значения Й-й производной ~®(х.) функции ~(х) в точке х..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
