II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 44
Текст из файла (страница 44)
11.3. Точные решения алгебраических уравнений Известно, что точные решения уравнений второй~третьей и четвертой степеней могут быть выраженЫ в виде аналитической зависимости от коэффициентов уравнений. Пусть сначала в (П.1) ~(х) = Рг(х) = аохг+ а1х+ аг ао т- ~~ О, т.е. функция Дх) — многочлен в'горой стеиени, или квадратный трехчлен. Выделяя полный квадрат г аг а1 а1 У(х) =ао х+ — +аг— 2ао 4ао 354 П. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ и подставляя Дх) в (11.1), имеем а1 а2 ао х+ — = — — а2. 2ао 4ао Отсюда следует известное из школьного курса математики ре- шение квадратпмого рравмемил — а1 =Е х— (11.2) 2ао Рз(х) = ао(х — с) +61(х — с) +62(х — с)+6з, трижды используя для нахождения коэффициентов схему Гор- нера с учетом формулы 1=1, тп, 6~ = а~+ 6~ 1с, где тп принимает значения 3, 2 и 1: Квадратный трехчлен имеет экстремум в точке, где производная ~'(х) =2аох+а1 — — О, или х= -а1/(2ао).
Из (11.2) следует, что нули квадратного трехчлена совпадают с точкой его экстремума, если 02 = а21 — 4аоа2 — — О (02 называют дискримимантпом квадратпного тпрехчмема). В этом случае оба корня действительные и равные, т.е. имеют крашность 2. При В2 > О корми дейстпвитпельные и различные, а при В2 ( О— комплексно соир*жемные (в частном случае а1 — — Π— чиство мнимые). Пусть теперь в (11.1) ~(х) = Рз(х) = аохз+ а1х2+ а2х+ аз, ао ~ О.
В этом случае уравнение (11.1) называют кубическим и оно имеет три корня. Для Рз(х) запишем разложение по степеням х — с в виде 11.3. Точоые решенив алгебраыческих уравнений 355 Иэ условия Ь1 — — 0 найдем с = — а1/(Зао). Тогда в разложении Рз(ж) будет отсутствовать слагаемое с квадратом разности ж — с. Подставляя в (11.1) вместо ~(ж) разложение Рз(ж) и обозначая ж — с=х+а1/(Зао) =у, после деления на ао получим неиолное кубическое уравнение уз+ Зру+ 2д = О, (11.3) где Заоа2 — а1 2 (Зао) 2 При р = О корнями (11.3) являются все значения у = = ~з — 2д (из них одно действительное, а два — комплексно сопряженные), а при д = 0 у1 — — О и у2,з — — ~/ — р.
Если и рф-0 и дф.О, то примем в (11.3) у=и — р и и получим цз)2+2даз рз = О. Отсюда цз д~ д2+рз и Избавляясь при помощи множителя от иррациональности в знаменателе и учитывая, что получающиеся слагаемые симметричны относительно знаков ~ и -~, запишем решение (11.3) в виде (11.4) известном как формула Кардано (итальянский математик, философ и врач Дж. Кардано (1501-1576) опубликовал ее в 1545 г., упомянув об авторстве итальянского математика Н. Тартальи (1499 — 1557), получившего решение (11.3) в некоторых частных случаях).
Стиационарньае твочки многочлена д(у) = уз+ Зру+2д, стоящего в левой части (11.3), удовлетворяют условию у'(у) = = Зу2+ Зр = О. В этих точках вторая производная у"(у) = 6у ф. 0 2З' 357 21.3. Точные решения алгебраических уравнений Р4(х) = ао(х с) + Ь1(х с) + Ь~(х с) + Ьз(х с) + Ь4 четырежды применяя для нахождения коэффициентов Ь1 — а1+ 4аос, Ь~ = а~+ (За1+ 6аос) с, Ьз — — аз+ (2а~ + (За1+ 4аос) с) с, ц4 = а4+ (аз+ (а2+ (а1+ аос)с)с)с схему Горнера (аналогично случаю с Рз(х)). Ясно, что при с = — а1/(4ао) Ь1 — — О и в разложении Р4(х) отсутствует слагае- мое с (х — с)з. Обозначая х — с = х+ а1/(4ао) = у и подставляя в (11.1) вместо Дх) разложение Р4(х), после деления на ао получаем у +2ру +2ду+г=О, (11.5) где 16аоаг — 54 8аооаз — 4аоа1а2+ аз1 32а~ ' 16аз 256азоа4 — 64а~оа1аз+ 16аоа1а~ — За4 (4ао)4 где ~ = ъl-Т вЂ” мнимая единица, а ю и и — действительные значения кубических корней в (11.4).
Ясно, что если у~ (Й= = 1, 2, 3) — корни (11.3), то корнями уравнения Рз(х) = О будут х~ = у(~ — а1/(Зао). Частный случай уравнения Рз(х) = О при аз — — ао и а~ —— = а1 называют возвратным кубическим уравнением. Один его корень х1 = -1, а два других — корни квадратного уравнения аох2+ (а1 — ао) х+ ао —— О, левая часть которого будет частным отделения многочлена аохз+а1Х~+а1х+ао на х+1. В случае аз — — — ао и аг — — -а1 х1 —— 1, адвадругих — корни уравнения аох~+(а1+ао)х+ао = О.
Если в (11.1) Дх) = Р4(х) = аох4+ а|хз+ а~х~+ азх+а4, ао у'-О, то имеем алаебраичесяое уравнение чешверюиой спвепеяи с четырьмя корнями. Запишем для Р4(х) разложение по степеням х — с в виде 358 11. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ При д = О из (11.5) получим биквадратпное уравмекие с корнями У1,2,3,4 Если и д=О и р=О, то корнями (11.5) являются всезначения В случае г = О у1 = О, а остальные три корня можно найти из решения неполного кубического уравнения уз+2ру+ +2д = О. Метод решения (11.5) в общем случае был найден итальянским математиком Л.
Феррари (1522-1565) и опубликован в 1545 г. его учителем Дж. Кардано. Если ввести вспомогательный параметр $, то (11.5) можно записать в виде (У2+ р+ ~) 2 = 21У2 — 5~У+ д + 2р~+ р2 — г, (11.7) Правая часть (11.7) представляет собой квадратный трехчлен относительно у. Для преобразования его в полный квадрат параметр $ следует выбрать из условия равенства нулю дискриминанта этого трехчлена, т.е. у2 — 2ф2+ 2р$+ р — г) = О. Отсюда получим так называемую кубическую резольвектву 2~з+ 4р~2+ (р2 — г) й — д2 = О уравнения (11.5), имеющую хотя бы один действительный корень. Обозначим его $1. Тогда (11.7) примет вид 2 (у'+р+~ )'=2~1 у — ~ 211 что дает два квадратных уравнения У2+ ~/Я у+ р+ 11 ~ Я~/21~ —— О, четыре корня которых будут корнями (11.5).
Л. Эйлер выразил эти корни через все три корня $1, $2 и 1з кубической резольвенты: 11. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 360 Уравнение степени выше четвертой в общем случае не разрешимо в радикалах, т.е. его корни не удается выразить через его коэффициенты при помощи действий сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней [1, 4.4).
11.4. Отделение корней алгебраических уравнений Р„(х) = аох" + а1х" ~ +... + а„1х + а„ степени п ао фО и а„у'-О. Если а„=0, то алгебраическое уравнение (П.9) Р„(х) =О имеет корень х' = 0 и степень (11.9) можно понизить. Обозна- чим а = шах(~а1~, ~а~~,..., ~а„О и Ь= пьахДао~, ~а1~,..., ~а„10. Тогда справедлива следующая теорема. Точное решение алгебраических уравнений третьей и четвертой степеней громоздко. В прикладных задачах числовые значения коэффициентов яногочленов в левой части этих уравнений известны обычно приближенно, и находить точные значения корней этих уравнений часто не целесообразно.
Алгебраическое уравнение степени выше четвертой в общем случае не имеет точного аналитического решения. Поэтому на практике алгебраические уравнения третьей и выше степени решают численно. В связи с этим важным становится первый этап численного решения таких уравнений — отделение корней. Ограничимся рассмотрением действительных корней алгебраических уравнений с действительными коэффициентами, т.е. действительных нулей соответствующих многочленов. Пусть для многочлена 11.4. Отделение корней алгебраических уравыеыий 361 Теорема 11.1.
Любой действительный корень х' (11.9) (если он вообще существует) удовлетворяет неравенству ~а„~, а Ь+ ~а„! 1ао1 < ~х'~ < 1+ —. (11.10) ~ При ~х~ > 1 с учетом неравенства (1.4) и формулы (1.8) ~1~ для суммы членов геометрической прогрессии ~а1х" +...+а„1х+а„~ ~( < а(~х~ — 1~+~хп-~~+ + ф+ ц ~х~ — 1 ~х~ — 1 С учетом того же неравенства (1.4) ~ао~ ф" = ~аох"~ = ~Р„(х) — (а1х" '+...+а„1х+а„)~ < < ~ Р„(х) ~ + ~а1х" +... + а„1х+ а„~ < ~ Р„(х) ~ + а ~х~" Наличие действительного корня х' соответствует условию ~Р„(х')~ =О, или в~я ~ао~ ~х ~" — а . < О ~х'~ — 1 Сокращая на ~х ~" и умножая на ~х*~ — 1, имеем ~ао~ ~х'~— — ~ао~ — а < О, т.е.
верхняя граница для абсолютного значения действительного корня: ~х'~ < 1+ а/~ао~. Уравнение 1 ао а1 а„ Р„вЂ” = — + — +...+ — +а„= О, тВ и и-1 или а„г" +а„1г" 1+...+а1г+ао — — О, имеет корнями числа х', обратные значениям корней (11.9).
Поэтому ~я ~ = 1/~х'~. Но по аналогии с доказанным выше ~г'~ < 1+ЬДа„~, откуда нижняя граница для абсолютного значения действительного корня: ~х'~ > ~а„~/(Ь+ ~а ~). я 11. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 362 Пусть А — наибольшее из абсолютных значений отрица тельных коэффициентов многочлена Р„(х). Тогда верхнюю границу положительных корней (11.9) устанавливает следующая теорема. Теорема 11.2. Если в многочлене Р„(х) ао > О, а~ > О при 1=1, т — 1 и а <О (т<п), то для любого положительного корня (11.9) х'< 1+ (11.11) < Заменим неотрицательные коэффициенты а~ (й = 1, т — 1) многочлена нулями, а все последующие — на -А.
Тогда при х > 1 с учетом формулы (1.8) ~11 для суммы членов геометрической прогрессии Р„(х) > аох" — А(х" +х" 1+...+х+1) = и-тв+1 и-т+1 а — 1 и х = аох — А > аох — А х — 1 х — 1 +1 = (аох~ 1(х — 1) — А) Если х > 1+ (А/ао)'~, то аох~ 1(х — 1) — А ~~ т-1 1 1 > ао 1+ — — — А=ао — > О.
Значит, при х > 1+(А/ао)'l™ Р„(х) > О, т.е. Р„(х) может обратиться в нуль лишь при х' < 1+ (А/ао)1~ . $» Ясно, что в отсутствие у многочлена Р„(х) отрицательных коэффициентов уравнение (11.9) не имеет положительных корней. Если в (11.9) ао < О, то следует рассмотреть уравнение -Р„(х) = О, имеющее те же корни, что и (11.9). 363 11.4. Отделение корней алгебраических уравнений Иногда верхнюю границу (11.11) удается улучшить, т.е.
понизить путем записи многочлена в виде Р„(х) = Р1 (х) + Р~(х) +... + Е',(х), где у каждого многочлена Р;(х) (г = 1, 8) коэффициент при старшей степени положителен и в ряду козфициентов знак изменяется не более одного раза. Если найдено положительное число о, такое, что Р';(о) >О, ~=1, 8, то Г;(х) >О при х >а. Действительно, если Р;(х) = а;Ох"'+а;1х"' '+...+а;„„причем а;~ > 0 при 1 < 1 < т; и а; < О при 1' > т;+ 1, то функция ')Г( ) — '+ + — ' " '+'+ + ~а.
!а. х хи,-ти, получим, чтопри х>~3 Р„(х) >О иу(11.9) при х>13 нетдействительных корней. Подбор,д проще начинать с выполнения условия Р„ ф) > О, понижая затем порядок производнои (зъ-1) вплоть до выполнения условия Р„ф) > О и увеличивая при необходимости 13. Верхняя граница положительных корней (11.9) применима для оценки их нижней границы, если взять уравнение Р„(1/г) = = 0 и учесть, что х'=1/х'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
