II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Остаточный член в (11.33) оценивает погрешность метода, в котором (х„~ строят по формуле х„=у(х„1), где у(л) =х+~ д~~~фх)) (-и ))' й=1 (11.34) и ~(6). Функция д(у) будет на этом отрезке непрерывно дифференцируемой также не менее р раз. Отметим, что разности х' — х =д(0) -д(у) соответствует разность аргументов 0 — у=-у функции д(у). В 1838 г. П.Л. Чебышев в своей студенческой работе, удостоенной медали Московского университета, для вычисления действительных корней (11.1) предложил метод построения итерационной последовательности (х„), обладающей любым порядком сходимости р Е Х~(1).
В основе метпода ЯеБышева лежит представление формулой (7.19) Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа разности х' — х в окрестности некоторой точки у: 392 П. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С учетом формулы (5.1) Лаеранжа запишем у = Дх) — Дх') = ~ (ф)(х — х'), где ~ заключено между значениями х и х'. Тогда —,~д~Р~(зу)( — у)Р~ = ~д®(Д~)) ~, ~~~(~) ~Р ~ ~С~х — х'~Р. Здесь ~=д(ц), С= Мр1Р(р'., Мр —— пъах~д®(~(х)) ~ и Ь = пъах~~'(х)~. хеХ хЕХ Отсюда следует, что для элементов последовательности (х„) верно (11.12), т.е. (х,Д обладает порядком р сходимости к пределу х'.
Из (11.34) при р=2 с учетом д'(Дх)) =1/,Г'(х) придем к методу Ньютона с квадратичной скоростью сходимости, а при р = 3 — к методу с кубической скоростью сходимости, в котором (х„~ строят по формуле (11.35) Можно построить методы с более высоким порядком сходи- мости, но их редко используют на практике в связи с тем, что их преимущество в скорости сходимости проявляется обычно в малой окрестности х', когдаитерационный процесс почти сошелся и итерации можно прекратить вообще. Однако при необходимости очень точного вычисления корня при наличии ЭВМ с высокой разрядностью представления чисел и соответствующей достоверности информации о функции Дх) применение таких методов будет оправданным. 393 Вопросы и задачи Вопросы и задачи 11.1. Проанализировать влияние различных соотношений между значениями р и г на корни в (11.6). 11.2. Доказать, что число с будет т-кратным корнем уравнения Дх) = О, где Дх) — многочлен степени и > т, тогда и только тогда, когда ~®(с) =0 при 1=0, т — 1, а ф ~(с) ~ О.
11.3. Доказать, что нуль кратности т > 1 многочлена является нулем кратности т — 1 его производной. 11.4. Установить границы положительных и отрицательных корней уравнения -2х4-Зхз+5х~+6 = 0; найти значения этих корней численно и сравнить с точным решением.
11.5. Построить итерационную последовательность, аналогичную последовательности Герона в примере 10.5, для вычисления корня степени тб Х из числа а > О. 11.6. Составить условия „зацикливания" метода простой итерации. 11.7. Представить графически итерации по методу Ньютона в координатах х, ~р(х) для случаев 0 «р'(х) < 1 и -1 < «р'(х) < О. 11.9. Найти порядок сходимости метода секущих (11.29) в случае кратного корня на отрезке со знакопостоянной производной ~"(х). 11.10. При каких условиях метод Ньютона „зацикливается"? Проиллюстрировать ситуацию графически.
11.8. Доказать, что сочетание метода с первым порядком сходимости с уточнением по (11.32) дает квадратичную скорость сходимости. 394 11. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 11.11. Выяснить, к какому из корней х1 — — О, юр,з — — ~1 уравнения хз — ж = О сходится метод Ньютона при произвольном начальном приближении жо. При какихзначениях хо этот метод расходится или „зацикливается"? 11.12. Найти порядок сходимости упрощенного метода Ньютона в сочетании с методом секущих. 11.13. Найти порядок сходимости метода обратной квадратичной интерполяции. 11.14.
Доказать, что х' является корнем (11.16), если функция ~р(ж) непрерывна в точке х', а последовательность (х„) при х„= у(ю„1) сходящаяся. 11.15. Составить условия „зацикливания" метода секущих (11.29). 11.16. Найти достаточные условия сходимости метода Чебышева (11.35). СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Фролов С.В., Шостак Р.Я. Курс высшей математики: В 2 т.
Т. 1. М.: Высш. шк,, 1973. 480 с. Хинчин А.Я. Краткий курс математического анализа. М.: Гостехтеоретиздат, 1953. 624 с. Шилов Г.Е. Математический анализ: Функции одного переменного: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1969. 528 с. Справочные издания Александрова Н.В. Математические термины: Справочник. М.: Высш. шк., 1978. 190 с. Брониинейн И.Н., Семендлев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.
— М,: Наука, 1986. 544 с. Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математический словарь высшей школы / Под ред. Ю.С. Богданова. Минск: Вышэйш. шк., 1984. 528 с. Герасимович А.И., Рысек Н.А. Математический анализ: Справочное пособие для студентов втузов и инженеров: В 2 т. Т. 1. Минск: Вышэйш. шк., 1989. 288 с. Дороговиев А.Я. Математический анализ: Справочное пособие для преподавателей математики, инженерно-технических работников и студентов. Киев: Вища школа, 1985. 528 с.
Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 1988. 848 с. Мишино А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра: Справочная математическая библиотека. М.: Физматгиз, 1962. 300 с. 'Савелов А.А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960.
293 с. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики / Л.И. Бородич, А.И. Герасимович, Н.П. Кеда, И.Н. Мелешко. Минск: Вышэйш. шк., 1986. 190 с. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер Х. Машинные методы математических вычислений: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 280 с.
Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров: Пер. с англ. М.: Наука, 1972. 400 с. Шун Т.Е. Прикладные численные методы в физике и техике: Пер. с англ. М.: Высш. шк., 1990. 256 с. 397 Задачники Виноградова И.А., Олейник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу / Под общ. ред. В.А. Садовничего.
М.: Изд-во МГУ, 1988. 416 с. Данко П.Е., Панов А Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 т. Т. 1. М.: Высш. шк., 1986. 304 с. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1977. 528 с. Дороговцее А.Я. Математический анализ: Сборник задач. Киев: Вища шк., 1987. 408 с. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред.
Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1970. 472 с. Канлан Н.А. Практические занятия по высшей математике. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1967. 946 с. Ковченова Н.В., Марон Н.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972. 368 с. Марон Н.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной.
М.: Наука, 1970, 400 с. Математический анализ в вопросах и задачах / Под ред. В.Ф. Бутузова, М,: Высш. шк., 1984. 200 с. Михайленко В.М., Антонюк Р.А. Сборник прикладных задач по высшей математике, Киев: Выща шк., 1990. 168 с. Оселедец В.Н., Каролинскал Л.Н. Сборник задач по высшей математике с техническим содержанием. М.: Изд-во Мин-ва обороны СССР, 1989. 148 с. Садовничий В.А., Григорьлн А.А., Конлгин С.В. Задачи студенческих математических олимпиад. М.: Изд-во МГУ, 1987. 311 с.
Садовничий В.А., Подколзин А.С. Задачи студенческих олизпшад по математике. М.: Наука, 1978. 208 с. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича: В 3 т. Т. 1. М.: Наука, 1981. 484 с. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность, Дифференцируемость / Под ред. Л.Д. Кудрлвцева, М.: Наука, 1984. 592 с. Сборник задач по методам вычислений / Под ред. П.И. Монастырного. М.: Физматлит, 1994. 320 с. ПРЕДМЕТНЫЙ 'УКАЗАТЕЛЬ Алгоритм Евклида 352 Аргумент скалярный 244 Базис ортонормированный Ш, йД вЂ” правый П1, 882 — Френе сопровождающий 282 Бином Ньютона 1-86, УЮ Бинормаль 281 Брвхистохрона 304 Вектор бинормальныи 281 — главный нормальный 281 — Дарбу 283 — единичный П1, 24У вЂ” нулевой П1, 282 Вектор-функция двумерная 244 — дифференцируемая в точке 246 -- непрерывно на множестве 248 — непрерывная в точке 246 — скалярного аргумента 244 — трехмерная 244 Векторы коллинеарные сонаправленные П1, 24У -- П1, УУ вЂ” ортогональные П1, УИ Вектор Ш, УУ Вронскиан Ч1П, 105 Гипотрохоида 299 Гипоциклоида 299 Годограф 250 Делитель многочленов общий 351 --- наибольший 351 Дефект сплайна 342 Дискриминант квадратного трехчлена 354 Дифференциал вектор-функции в точке 246 — длины дуги плоском кривой 258 — функции в точке 63 ---- второй (второго порядка) 95 ---- первый (первого порядка) 95 ---- и-й (и-го порядка) 95 Дифференцирование 20 — логарифмическое 47 — численное 328 Длина кривой 253 Дополнение алгебраическое П1, 41 Единица мнимая 1-149, 857 Задача идентификации 310 — обратная 348 Значение функции максимальное 199 -- минимальное 199 -- наибольшее 1-201, 10У -- наименьшее 1-201, ШОУ -- экстремальное 199 Инвариантность формы записи дифференциала 67 Инволюта (эвольвента) 274 Интервал неопределенности корня 373 Интерполирование 310 — вперед (назад) 320 399 Интерполяция 310 — квадратичная (трехточечная) 313 — линейная (двухточечная) 312 Кардиоида 298 Касательная 18 — к кривой 2$1 — односторонняя 26 Катеноид 268 Квадратриса Динострата 288 Комбинация линейная ?-226, 8Я Константа ?-21$, 157 Контур замкнутый 251 -- простой 2$1 Конхоида 294 Координаты точки ?-46, ?-78, ???, И1 Корень действительный 3$4 — кратныи 349 — локализованный 349 — простой 349 — уравнения ?-345, 88, 848 -- алгебраического 350 Корни комплексно сопряженные 354 Козффициент угловой И?, 18 Козффициенты биномиальные ?-86, ВЗ вЂ” многочлена ?-132, 82 — Тейлора 160 Кратность корня нечетная (четная) 349 -- уравнения 349 — нуля многочлена ?-159, 1е8 — узла интерпол»ции 324 Кривая алгебраическа» 261 — Вивиани 306 — гладкая 251 - днфференцнруемая непрерывно 251 Крива» замкнутая 2$1 — кусочно-гладкая 251 — (непрерывная) 249 — плоская 2$7 — распадающаяся (приводимая) 262 — спрямляемая 2$3 — таутохронная 304 Кривизна дуги среди»» 263 — кривой в точке полная 283 — плоской кривой в точке 263 — пространственной кривой в точке 280 Кривые циклоидальные 299 Круг производящий 299 Кручение кривой в точке 282 Лемниската Бернулли 300 Лини» винтовая 255 — цепная 266 Лист декартов 241 Локализация (отделенне) корня 349 Локсодромия 307 Максимум функции абсолютный (глобальный) на отрезке 219 -- локальный 197 Матрица Ш, 41 — невырожденна» ???,,٠— симметрическая Ш, Иб — треугольная нижн»» ?П, 81У вЂ” трехдиагональная И?, 844 Метод бисекции 370 — касательных 382 — линейного интерполирования ?-348, 870 — многошаговый 370 — Ньютона (касательных) 382 -- упрощенный 386 — одношаговый 370 400 ПРЕДМЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ Метод прогонки И1, 844 — уропорцнональных частей 1-348, 870 простой итерации 375 Рунге 335 секущих 386 хорд 1-348, 870 Чебышева 391 Й-швговый 370 Минимум функции абсолютный (глобальный) на отрезке 219 -- локальный 197 Минор И1, 814 Многочлен 1-132, ЯФ -- интерцоляцнонный 313 -- Лагранжа 315 -- Ньютона 320 -- с кратными узлами 324 -- Эрмита 324 - — — кубический 327 — Тейлора 160 — характеристический ?У, 800 Многочлены взаимно простые 351 - Чебышева 338 Модель математическая 310 Наклон сплвйнв 342 Начало координат?-77, 1П, 180 Неопределенность 1-240, 181 Неравенство треугольника 1-152, 1-177, 188 Нормаль 22 — глввнал 281 — к кривой в точке 264 Нуль многочленв 1-159, 818 -- т-кратный 351 Образ множества (подмножества) при отображении 1-70, 810 Образ элемента при отображении 1-70, 848 Обусловленность 374 Овалы Кассини 300 Операция линеиная И1, 88 Определитель И1, 41 — Ввндермонда (степенной) П1, 814 Ось абсцисс 1И, ЯЯ вЂ” координат И1, 100 — полярная И1, ЯЯЯ Отделение (локализация) корня 349 Отношение разностное 17 Отображение (функция) 1-70, Я0 — обратное 1-75, 8?8 Отрезок, вложенный в отрезок 1-47, ЯЯЯ вЂ” касательной (чодкасательной) 22 --- полярной 261 — локализации корня 349 — нормали (поднормалн) 22 --- полярной 261 Парабола 1-107, 88 Параметр 1-115, И вЂ” кривой 249 -- натуральный 255 Переменные выравнивающие 318 Плоскость координатная П1, 48 — нормальная 282 — соприкасающаяся 282 — спрямллющал 282 Полюс И1, ЯЯЯ Порядок алгебраической кривой 262 — малости бесконечно малой функции 1-358, 880 — сходимости метода 370 Последовательность возрастающая (убывающая) 1-218, 878 401 Последовательность итерационная 1-1оо, 070 — монотонная (строго монотонная) 1-218 170> ба — ограниченная 1-219, 170 Правило Бернулли — Лопиталя 132 — Гврвикв 374 — дифференцирования сложной функции 44 — Крамера И1, 814 — цепное 44 — Штурма 367 Предел бесконечный 1-257, 10 — вектор-функции 244 Представление кривой векторное 249 -- координатное 250 Приближение функции квадратичное 158 -- линейное 156 — чебышевское 341 Принцип минимвкса 341 Проекция вектора нв ось П1, 100 Произведение векторов векторное П1, 2?б -- скалярное П1, 240 -- смешанное П1, йбб Производная бесконечная 19 — — определенного знака 27 — вектор-функции в точке 246 ---- вторая 248 — конечная 19 — односторонняя 26 -- бесконечная (конечная) 27 -- слева (справа) 26 — функции в точке 19 — — — — вторая (второго порядка) 78 -- — — первая (первого порядка) 78 — — логарифмическая 47 Производная и го порядка 78 Прообраз множества (подмножества) при отображении 1-70, ЯΠ— элемента при отображении?-70, 84В Псевдосфера 271 Радиус-вектор 244 Радиус кривизны плоской кривой в точке 263 — — пространственной кривой в точке 280 — полярный 1-151, П1, 200 Развертка 274 Разложение вектора в базисе П1, ЙД вЂ” определителя 1П, 41 Разность конечная 320 -- правая и левая (вперед и назад) 330 -- центральная 332 — разделенная 320 Резольвентв кубическая 358 Репер кривой сопутствующий 282 Секущая 18 — (кривой) 251 Система координат декартова прямоугольная П1, 244 -- полярная И1, 2И вЂ” линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) П1, Яб ---- однородная И1, 824 Скорость сходимости квадрвгичная 371 -- кубическая 371 -- линейная (сверхлинейная) 370 Соотношение рекуррентное 1-87, УО 402 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Соче ганне 1-84, 88 Спираль логарифмическая 272 — синусоидальная 299 Сплайн (сплайн-функция) 341 — интерполяционный 342 — кубический 342 -- естественный 345 -- фундаментальный 344 — линейный 342 Степень многочлена 1-132, 88, 818 Сфера соприкасакпцаяся 307 Схема (алгоритм) Горнера 1-1$8, ЯИ вЂ” Эйткена 322 Сходимосгь метода 370 -- локальная 384 Табулирование функций 309 Теорема алгебры основная 1-159, Я8 Точка асимптотическая 272 — возврата (заострения) графика 21$ — излома графика 27 — касания 252 — кривой изолированная 296 -- конечная (начальная) 2Ы -- кратная 251 -- неособая (обыкновенная) 251 -- особая 251 — критическая функции 201 — максимума фумкции 199 --- локального 198 — — — — строгого 198 — минимума функции 199 --- локального 198 ---- строгого 198 — перегиба графика функции 213 -- функции 213 Точка распрямлення кривой 284 — самопересечення (узловая) графика 240 — стационарная функции 200 — угловая графмка 27 — уплощения кривой 284 — экстремума функции 199 --- локального 198 - - — — строгого 198 Траектория 250 Трактриса 269 Трехгранник подвижный 282 Трехчлен квадратный 1-132, 818 Трнэдр основной 282 Тройка некомпланарных векторов правая 1И, 888 Трохонда 299 Угол полярный 1-151, 111, 888 — смежности дуги 263 Узел интерполяции 312 — — кратный 324 Улитка Паскаля 298 Уравнение алгебраическое 3$0 — — четвертой степени 357 — биквадратное 358 — дифФеренциальное обыкновенное второго порядка Ч11?, 87 -- — первого порядка Ч?11, 4Б — квадратное 354 — кубическое 354 -- неполное 3$5 — нелинейное 348 — прямой с угловым козффицментом П1, 88 Уравнения кривой натуральные 285 -- параметрические 51 403 Условие существования точки перегиба достаточное 216 — — — — необходимое 215 Формула Кардано 355 — конечных приращений 114 — Коши конечных приращений 119 — Лагранжа 114 - Лейбница 89 — Маклорена 171 — Тейлора 160 -- в дифференциалах 164 -- с остаточным членом в форме Лагранжа 168 -- — — — — — Пеано 164 Формулы Серре — Френе 283 Функции координатные вектор-функции 244 — тригонометрические обратные 1-129, 4Ю Функция векторная скалярного аргумента 244 — выпуклая (строго) вверх (вниз) в интервале 207 — действительнал действительного переменного 1-71, 1-106, 244 -- (скалярная) 1-71, 2Ц вЂ” действительного переменного 1-71, 5 — дифференцнруемая 33 — — в интервале 33 — — — промежутке непрерывно п раз 80 --- точке 30 — — — — непрерывно и раз 79 -- на множестве 33 — дробно-рациональная 1-133, ц3 — линеаризованная в окрестности точкм 68 Функция линеарнзованная относительно точки 68 — линейная 1-132, 97 — неявная 55 — общего вида 1-124, 227 — показательно-степенная 1-344, 46 ентр кривизны плоской кривой в точке 264 — — пространственнои кривом в точке 281 Циклонда 299 Цмссомда Диоклеса 292 Число действительное 1-44, ЗИ вЂ” комплексное 1-149, ЯИ вЂ” обусловленности абсолютное 374 Член остаточный в общей форме 167 — — — форме Коши 168 — — — — Лагранжа 167 ---- Пеано 164 -- формулы Темлора 160 Шаг винтовой линии 256 Эвольвента (инволюта) 274 Э вол юта 274 Экстраполяция 310 — линейная (двухточечная) 312 Экстремум функции абсолютный (глобальный) 219 -- гладкий 201 -- локальный 198 -- острый 201 Элемент матрицы 1П, 41 Эпитрохоида 299 Эпмциклоида 299 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Основные обозначения 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
