II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Вывести приближенные формулы для третьей и четвертой производных в среднем узле, используя значения функции в пяти узлах. 10.5. Построить естественный кубический сплайн для функции Дх), заданной таблично: 0,32 0,27 0,30 0,38 0,2 0,24 1,2214 1,3100 1,3771 1,4623 1,2712 1,3499 Поведение на отрезке [а, Ц интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона сильно зависит от локальных особенностей интерполируемой функции и может привести к суще ственной погрешности при интерполяции, поскольку ошибка в задании значения функции в каком-либо узле распространяется на весь отрезок.
При интерполировании сплайнами ошибка локализуется в окрестности узла и поэтому приемлемую точность можно получить даже при сравнительно редко расположенных узлах. Эта особенность сплайнов важна при интерполяции функций, значения которых получены путем измерения с ограниченной точностью и могут содержать случайные ошибки. Вопросы и эадачи 347 Найти в узлах приближенные значения ~'(х) и сравнить их с вычисленными, при помощи разделенных разностей. Сравнить значения ~(0,29), найденные при помощи кубического сплайна и интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона. 10.6.
По данным примера 10.4 методом Рунге уточнить значения производной в узлах х = 0 и х = 0,6. 10.7. Доказать справедливость формул численного дифференцирования: у ую+2 + 8у~+1 8ую-1 + Ь-2 )(~ 4~ 12л, -у;+р+27у;+1 — 27у;+у; 1 б) у,'.„~, %+3 — 6уМ + 18у'+1 — 10у; — Зу' ~ 4 126 и -у1+3+4ув+2+6ф+1 — 20у;+ 11ф 1 ~ 3~ 12У у1+2 — 2уМ1+ 2% 1 — у' 2 0(Ь|' Щ ~Ф 263 ь у+3+ 6у'+~ — 12у+ +10у — Зу 1 О(у) е) у,'" = 2йз + 11. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ 11.1. Постановка задачи Необходимость решения нелинейного уравнения вида Дх) =0 (11.1) ~: Х-+У множества Х СЖ на множество У СЕ.
Тогдазадачасостоит в построении (если это возможно) обратной к ~(х) функции х = ~ 1(у), которая осуществляет обратное отображение ': У вЂ” > Х, и нахождении образа х" = ~ '(0) б Х, соответствующегоего прообразу у=О (при условии, что У содержит элемент у= 0). Известно, что действите4ьная функция ~(х) одного действительного переменного х в некотором промежутке своей области определения имеет обратную функцию, если она в этом промежутке строго монотонна [1, 9.4].
Если в этом случае обратная функция определена в точке у = 0 и может быть с одним неизвестным х часто возникает в научных исследованиях и технических приложениях. В частности, „подозрительные" на экстремум стационарные точки функции у(х) следует искать из условия у'(х) = Дх) = О. В общем случае задача состоит в поиске таких значений х*, подстановка которых в (11.1) приводила бы к тождеству ~(х') = О. Эти значения называют корнями (или решениями) уравнения (11.1). По общей классификации задач вычислительной математики поиск корней (11.1) можо отнести к обратной задаче. В самом деле, пусть функция у = Дх) осуществляет отображе- ние 11.1.
Постановка задачи 349 задана аналитически, то говорят, что задача имеет точное аналитическое решение. Однако в общем случае возможность аналитического решения задачи отсутствует. Кроме того, числовые коэффициенты в (11.1) часто известны лишь приближенно, и поэтому поиск точного аналитического решения не всегда оправдан. В связи с этим важное значение приобретают методы приближенного численного решения (11.1) и способы оценки точности полученных результатов. Можно выделить два этапа численного решения (11.1): 1) отделение (или локалаэацил) корней, т.е.
установление возможно меньших по длине отрезков ~а;, 6;) локалиэанин корнл, на каждом из которых лежит одно и только одно значение х' Е (а;, 6;), обращающее (11.1) в тождество, причем это значение может быть как простым корнем (кратности г = 1), так и кратным корнем (кратности г > 1, г Е Х); 2) уточнение значений локалиэованных корней и оценка точности найденных значений. В силу теоремы 9.2 11) (первой теоремы Больцано — Коши), если непрерывная на отрезке ~а;, 6;) функция ~(х) принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует по крайней мере один корень уравнения (11.1). Если к тому же на этом отрезке Дх) строго монотонна, то этот корень единственный. Для дифференцируемой в интервале (а;, 6;) функции Дх) условиеее строгой монотонности равносильно знакопостоянству производной ~'(х) в этом интервале, причем ~'(х) в (а;, 6;) может обращаться в нуль лишь в конечном числе точек (см.
8.1). Искомый корень может соответствовать точке перегиба и быть нечетной кратности 2п+1, п б Х (рис. 11.1,а), если по крайней мере для 2п+1 раз дифференцируемой функции Дх) при й = О, 2п ~®(х ) = О, а ~~2"+'~(х') ф- О. Помимо этого при отделении корней следует иметь в виду случаи, когда функция ~(х) обращается в нуль в некоторой точке хд ее экстремума и имеет корень четной краткости 2т, т б Х (тогда Я(хд) =О при Й =О, 2т — 1 и ~1~ 1(хо) ф. О) (рис. 11.1, б), а также случаи точек излома 350 11. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ или заострения графика функции, если функция ~(х) в точке хо недифференцируема (рис.
11.1, в). Для выявления всех этих случаев необходимо проанализировать критические точки функции Дх). Рис. 11.1 Таким образом, вся необходимая информация для проведения этапа отделения корней (11.1) может быть в общем случае получена при исследовании функции ~(х) и построении ее графика и графиков ее первых двух производных (см. 8.8).
Несколько особое место занимают случаи, когда Дх) является многочленом. 11.2. Нули многочленов Если в (11.1) функция Дх) является многочленом степени а, то говорят о нахождении нулей этого многочлена, или о решении алгебраического уравнения соответствующей степени (о нахождении его корней). Далее будем рассматривать 351 11.2. Нули многочленов и1 (х) и2(х) — =О, ..., о,(х) =О.
е2(х) из(х) Все корни этих уравнений простпые, причем корнями первого из них являются все простые нули многочлена Дх) (и только многочлены, коэФФициенты которых являются действительными числами. Из основной тпеоремы алгебры и теоремы 4.3 ~1~ следует, что многочлен степени п имеет с учетом кратности и нулей в множестве комплексных чисел. Дейстпвительное число с является тп-нратпным нулем многочлена ~(х) тогда и только тогда, когда первым ненулевым слагаемым его представления многочленом Тейлора по степеням х — с будет ~~~ 1(с)(х — с) /т!, т.е. когда Дс) =О и ~®(с) =О при 1=1, т — 1, а ~~ 1(с) ф-О. Нуль кратности т>1 многочлена является нулем кратности т — 1 его производной.
Многочлен Дх) имеет кратные нули, если существует многочлен Ь(х), на который без остатка можно разделить и сам многочлен Дх) и его производную ~'(х). При этом Ь(х) называют оБщим делитпелем многочленов ~(х) и ~'(х). Наибольшим общим делитпелем (НОД) многочленов называют такой их общий делитель, который без остатка можно разделить на все другие общие делители этих многочленов.
Если НОД двух многочленов имеет нулевую степень, то такие многочлены называют взаимно простыми (они не имеют общих нулей). Пусть Ь1(х) — многочлен выше нулевой степени и является НОД многочлена Дх) и его производной ~'(х). Тогда многочлен и1(х) = Дх)/Ь1(х) имеет те же нули, что и Дх), но только простые. Это позволяет найти все нули ~(х) из решения уравнения о1(х) = О, более простого по сравнению с уравнением Дх) = О, а затем установить их кратность.
Пусть Ь2(х) — НОД многочленов Ь1(х) и Ь1(х), Ьз(х) — НОД Ь2(х) и Ь2(х) и так далее до многочлена Ь,(х) нулевой степени. Тогда и2(х) = Ь1(х)/Ь2(х), оз(х) = Ь2(х)/Ьз(х), ... вплоть до ю,(х) = Ь, 1(х)/Ь,(х). Составим уравнения 11. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЪ|Х УРАВНЕНИИ 352 они), корнями второго — все двукратные нули |(х), корнями последнего — все нули Дх) кратности 8 (нулей кратности выше 8 многочлен ~(х) не имеет). 5х5+30х4+ 65хз+ 70хз+ 60х+ 40 5х5+24х4+ 39хз+ 28хз+ 12х 6х4+ 26хз+ 42хг+ 48х+ 40 30 4+130 3+210 2+240 +200 30х4+144хз+234х2+168х+ 72 — 14хз — 24х2+ 72х+128 70х4+336хз+ 546хз+ 392х+ 168 70х4+120хз — 360х~ — 640х 216хз +906хз+ 1032х+ 168 1512хз+6342хг+ 7224х+ 1176 1512хз+2592хз — 7776х -13824 3750х~+15000х+15000 х~+ 4х+ 4 Пример 11.1.
Для многочлена Дх) = х5+6х4+ 13хз+ +14х2+12х+8 производная ~'(х) =5х4+24х +39х +28х+12. Для нахождения НОД Дх) и |'(х) используем амеоритад~ Евклида: разделим |(х) на |'(х); если остаток равен нулю, то,~'(х) и является НОД; в противном случае У'(х) делим на остаток, затем первый остаток на второй и так далее до получения остатка, равного нулю — тогда последний не равный нулю остаток будет НОД; если остаток является числом (многочленом нулевой степени), то принимают НОД = 1 и исходные многочлены будут взаимно простыми. При делении любой из многочленов можно умножать на число, не равное нулю. Поэтому НОД находят с точностью до постоянного множителя и обычно записывают так, чтобы коэффициент при его старшей степени был равен 1.
Итак, при делении „уголком" 353 11.3. Точные решении аигебраических Урааненнй 14хз+24хг — 72х -128 14хз+56хг+ 56х 32хг 128х -128 -32хг -128х -128 Таким образом, для Дх) и ~'(х) НОД Ь1(х) =хг+4х+4. ~налогично получаем для Ь1(х) и Ь1~(х) НОД Ьг(х) =х+21 а для Ьг(х) и Ь'(х) НОД Ьз(х) =1. Затем находим и1(х) = — — хз+2хг+х+2, иг(х) = — = х+2, Лх) з г ~® Ь (х) ' Ь (х) из(х) = — = х+2. Ьг(х) Ьз(х) Из уравнения — =х +1=0 "1(х) г юг(х) следует, что многочлен ~(х) имеет простЫе нули, являющиеся чисто мнимыми числами Ы, из отношения иг(х)/из(х) = 1 что не имеет двукратных нулей, а из уравнения юз(х) = х+2 = = 0 — что имеет трехкратный действительный нуль равныи Непосредственной проверкой устанавливаем что у(х) =(хг+1)(х+2)з х +6х4+Ихз+14х +12х+8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
