II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Т„Я является многочленом степени и, причем для четных п Т„(1) будет четной функцией, а для нечетных и— нечетной (рис. 10.6,а). Функции Т„(1), называемые мкоеочлеками Чебыаиева, введены П.Л. Чебышевым в 1854 г., а их общепринятое обозначение происходит от французского написания его фамилии (ТвсйеЬусйеЯ). Нули ~~ многочлена Т„($) п ри и Е Я удовлетворяют уравнению Д.10.1. Минимизация ыогрешыости иытерполяции Рис. 10.В Отсюда следует, что т=1,и — 1, причем т„~1' ) =сов(пассаов(сов — г)) = совтт = ~-1)~, гг' 2Й вЂ” 1 ~~ = сов л', Й = 1, и, 2и ф ПЪ и 1„, =соя — л, и 340 10.
ИНТЕРПОЛИРОВА НИЕ т.е. минимумы и максимумы многочлена Чебышева при и > 1 чередуются. На концах отрезка [ — 1, Ц Т„(1) = 1 и при а Е Х Т„( — 1) = ( — 1)". Таким образом, многочлен Чебышева Т„(~) при иЕХ имеет на [-1, Ц и нулей и и-1 экстремум вточках ~~ и 1' соответственно, причем Т„(1' ) = (-1)~, т.е. по абсолютному значению все экстремальные значения одинаковы и равны 1.
Геометрически нули многочлена Чебышева и точки его экстремумов являются проекциями на отрезок [-1, Ц точек деления на 2п равных частей полуокружности, построенной на этом отрезке. На рис. 10.6,б построение отвечает случаю и = 3. Характерно, что нули и точки экстремумов, отмеченные соответственно кружками и крестиками, сгущаются к концам отрезка. Коэффициент при старшей степени 1 многочлена Т„(~) при и 1= Х равен 2" 1. Среди всех многочленов Р„(1) степени и с равным 1 коэффициентом при старшей степени многочлен 2' "Т„(1) имеет наименьшее уклонение от нуля на отрезке [ — 1, Ц, т.е.
п1ах ~21 "Т„($)~ =2' " < п1ах ~Р„(8)~. -1($;(1 " -1($,(1 Покажем зто. Предположим обратное и рассмотрим разность В„, (~) = 21-"Т„(~) — Р„(~), которая есть многочлен степени и — 1, поскольку при вычита- нии члены 1" взаимно уничтожаются. В точках ~1 = сов(йг/и), 1=0, п, Т„(11) = (-1)~, и поэтому В„1($1) =21 "(-1)' — Р„® Если на отрезке [ — 1, Ц п1ах~Р„($) ~ < 2' ", то тогда значения В„1(11) с возрастанием 1 от 0 до и будут поочередно менять знак и раз, т.е. многочлен В„1(1) степени а — 1 будет иметь не менее и корней, а это невозможно в силу осяовиой теоре- мы алгебры и теоремы 4.3 [1~, что доказывает справедливость (10.26).
Если в (10.25) принять 21 — 1 Ф~ = СО — 1Г1 $ = 1, П, 2п 341 Д.10.2. Интерполирование сплайнами то в силу равенства многочленов, имеющих одинаковые нули, при $ Е [-1, 1~ получим Й„(1) = 2~ "Т„(8). Таким образом, выбор в качестве н узлов интерполяции нулей многочлена Чебышева Т„($) обеспечивает наименьшее уклонение от нуля многочлена Й„(1) на отрезке [ — 1, 1~, причем В случае произвольного отрезка [а, 6] выбор а узлов интер- поляции в точках а+6 6 — а 2~ — 1 х; = — + — сов — я', 2 2 2п г=1,п, Дополнение 10.2. Интерполирование сплайнами Увеличение числа иитериоляциоииыю узлов и построение по ним интперполлционного многочлена высокой степени в общем случае не обеспечивает снижения наибольшей возможной погрешности интерполяции.
При большом числе узлов на отрезке [а, 61 рациональнее строить на составляющих его отрезках многочлены сравнительно невысокой степени и стыковать эти многочлены между собой. Реализация этой идеи привела к появлению сплойк-фуккций (или просто стмайков) Я (ж)— функций, непрерывных на [а, 6) вместе со всеми своими производными до порядка р включительно и совпадающих на обеспечивает минимизацию наибольшей возможной погрешности интерполяции (или экстраполяции) на [а, Ц а раз дифференцируемой в интервале (а, 6) функции, причем эта погрешность будет не больше М„(6 — а)"/(22" 1п!). Выбор расположения заданного числа узлов интерполяции на отрезке связан с более общей проблемой наилучшего приближения функций. Когда этот выбор приводит к минимуму максимально возможной погрешности, то говорят о чебышевском ириближении (или о принципе минимвкса).
342 10. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ (х;+1-х)г(х;+1+2х-Зх;) (х;+~ — х)г(х — х;) .)з ° . х.)г (х-х;) (Зх;+1-2х-х;) (х-х;) (х-х;+1) +уг+1 ( ..)з +в'+1 ( . х,)г Совокупность таких многочленов, построенных на всех частичных отрезках, и образует интерполяционный сплайн Яз(х), х Е ~а, Ц с дефектом Ьт = 2. Если же в интерполяционных узлах х; б ~а, 6) (г = 1,п) известны лишь значения у; = Дх;) интерполируемой функции ~(х), то можно указать два способа построения Яэ(х), х Е Е ~а, о1.
Первый иэ них, называемый локальным, связан с использованием формул численного дифференцирования (см. 10.7) при 1=1,п — 1 У1+1 У1 Уд+1 — У~ 8 т или я+1 т х1+1 х1 А+1 — Х1 (10.28) каждом составляющем [а, 6] частичном отрезке с некоторым многочленом степени т. Разность Ьт= т — р называют де фектпом сплайма. Пусть заданы значения у; (г = 1,я) интерполируемой функции у=Дх) в узлах а=х1« ... х; « ...
х„=6. Сплайм называют имтперполлциоммым, если Я„,(х;) = у; для всех ~ = 1,п. Значение в; = Я„',(х;) именуют макломо.ц сплайма в точке х;. Простейший интерполяционный сплайн 81(х) — зто непрерывная ломаная из отрезков прямых, проведенных через соседние точки с координатами х;, у< и хы1, р|е1, 1= 1, в — ! (лимеймый сплайм). Для него т = 1, р = 0 (непрерывна лишь нулевая производная, т.е.
сама функция) и Ьт= 1. Иэ интерполяционных сплайнов, непрерывных вместе со своими первыми производными, наиболее часто применяют кубические сплавы Яэ(х). Если заданы значения у;, з;, у;+1 и в;+1, то на частичном отрезке ~х;, х;+1) такой сплайн совпадает с кубическим интерполяционным многочленом Эрмита вида (10.16): 343 Д.10.2.
Интернолнрованне слыайнами которые имеют первый порядок точности. При равноотстоя- щих узлах с шагом Ь= х;+1 — ю;, 1=1,л — 1, целесообразно использовать формулы второго порядка точности с централь- ной разностью У'+1-У-1 26 ~=2,и — 1, а на концах отрезка— -391 + 492 — Уз У -г 4У -1+3Ув ( ) 81 ~~ 26 И 8„т 2Ь Рис. 10.7 Во втором способе, называемом глобальным, значения 8;,. 1' = 2, и — 1, определяют из условия непрерывности в узлах ж; второй производной язн(ж) сплайна яэ(ю), что дает Ьт = = 1. Именно с этим способом связано возникновение термина „сплайн" (Вр11пе), что в переводе с английского означает гибкую линейку, используемую как лекало для проведения гладкой кривой через фиксированные точки (рис.
10.7). Из курса со. противления материалов известно, что условие непрерывности второй производной функции прогиба упругой линейки с промежуточными опорами как раз и соответствует ее равновесию. Таким образом, интерполяционный кубический сплайн с непрерывной второй производной является математической моделью гибкой линейки, проходящей через фиксированные точки. 10.
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ Используя (10.27), из условия Н"; 1(х;) = Нз;(х;), г = = 2,п — 1, получаем систему п — 2 линейных алгебраических уравнений 8; 1 1 1 8;+1 +28; + + ХВ Х$1 Х! Х$1 ХМ+1 ХЗ Х3+1 Х! 1Х; — х'-11' (х,+1 — х'!' содержащую и неизвестных 8;, 1 = 1, и. Для однозначно- го определения неизвестных необходимо задать два дополни- тельных условия, накладываемых на сплайн на концах отрезка ~а, 61. Рассмотрим некоторые варианты. 1.
Если на концах ~а, 6~ известны значения ~'(а) и ~'(6), то, полагая в (10.30) 81 — — ~'(а) и 8п = ~'(6), получаем систему п — 2 линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, легко решаемую методом прогонки. Построенный таким образом сплайн называют фундаменчпалъным куби- ческим силайном. 2. НЕИЗВЕСТНЫЕ 81 И 8п МОжНООПрЕдЕЛИтЬ ПрИбЛИжЕННО ИЗ (10.28) или (10.29) и затем решить систему (10.30) относительно остальных неизвестных 8;, 1= 2, и — 1. 3. Если ~(х) — периодическая функция с периодом 6 — а, то из условий Яз(а) = Яз(6) и Язв(а) = Язп(6) следуют два уравнения 28+8 8п- +28п 3 У -У 3 У -У-- 81 — 8п и + — 3 г+3 г Хг — Х1 Хп Хп-1 (Хг Х1) (Хп Хп-1) которые дополняют систему (10.30), но матрица итоговой системы уже не будет трехдиагональной.
4. При известных на концах отрезка ~а, Ц значениях ~"(а) и ~"(6), полагая Бз'(а) = Нз1(х1) = ~"(а) и 5з(6) = = Нз'„1(хп) = ~"(6), получим с учетом (10.27) два дополни- тельных уравнения 481+28г = (6(Уг — У1) — Уи(а)(хг — х1)) (хг — Х1), (10.31) 28п-1+48п = (6(Уп-Уп-1)+Г" (6) (ху~-хф~-1)) (хп-хи-1) 345 Д, 10.2. Иитерлолирование сплайиами которые вместе с уравнениями (10.30) образуют систему и уравнений с трехдиагональной матрицей.
5. Если при отсутствии дополнительной информации положить в (10.31) ~л(а) = ~л(Ь) = О, то построенный таким образом сплайн называют ествесяввеккым кубическим сп.иаймом. 6. При отсутствии дополнительной информации можно использовать на частичных отрезках 1х1, х21 и ~х„1, х„~ интерполяционные многочлены второй степени с постоянными значениями второй производной, равными значениям Н" (х2) и Н"„(х„1) соответственно, или потребовать в узлах х2 и х„1 непрерывности третьей производной, т.е. наложить условия Н3,1(х2) Н3,2(х2) и Нз,в-1(хп-1) — Нзрв(хн-1) Каждый из этих способов даст два линейных алгебраических уравнения, дополняющих систему (10.30), но матрица итоговой системы не будет трехдиагональной. Пример.
Найдем наклоны естественного кубического сплайна в узлах интерполяции для данных примера 10.1 (п = 5). Из (10.30) и (10.31) (при ~л(а) = ~л(Ь) = 0) получим систему линейных алгебраических уравнений 281+ 82 0,960, 1081+3082+ 58з = 14,025, 582+ 208з+ 584 — — 8,475, 58з.+ 3084+ 1085 — — 11,550, 84+ 285 — — 0,750 с трехдиагональной матрицей. Решение системы методом прогонки дает з1 —— 0,324; 82 — — 0,313; вз —— 0,282; 84 — — 0,255; 85 — — 0,248. При х' = 1,15 (= [х2, хз] из (10.27) для з = 2 с использованием значений у2 — — 1,032, 82 — — 0,313, уз — — 1,091 и 8з — — 0,282 найдем 346 10.
ИНТЕРПОЛИРОВА НИЕ у Оэд(1,15) = 1,048, что совпадает с результатом в приме ре 10.1. ~ Вопросы и задачи 10.1. По данным примера 10.4 вычислить приближенные значения второй производной по формулам второго порядка точности и найти погрешность вычислений. 10.2. Методом Рунге вывести приближенную формулу четвертого порядка точности для первой производной. 10.3. Построить интерполяционный многочлен для функции Дх) при условиях Д-1) = ДО) = ~(1) = ~" (-1) = ~"(0) = = ~"(1) =О. 10.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
