II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Однако, если значение К~„(х ) =~(х ) — Р„1(х,) мало по сравнению с Р„1(х.), то нет гарантии, что будет мало и Кы„(х,) по сравнению с Р„(х,). Поэтому наряду с по(й) (~) лучением приближенной формулы для вычисления производной важно еще оценить погрешность этой формулы. Такую оценку можно получить с помощью формулы Тейлора, что составляет существо второго пути построения приближенных выражений для производных таблично заданных функций. Отметим, что (и-1)-я производная не зависит от значения х,.
Аналогичным образом можно дифференцировать интериол~щмонные многочлены Лагранжа, Оьютона, Эрмита. В частности, из (10.12) следует у(" ') = (п — 1)'у1,2,..., где У1,г,..., разделенная разность (и — 1)-го порядка. Из (10.12) при п = 2 и п=З имеем 330 10. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ Пусть при равноотстоящих с шагом Ь узлах интерполяци~ х; = х1+ (~ — 1)Ь, ~ = 2, и, заданы значения у; = Дх;) функции Дх) и нужно вычислить производную у,' = ~'(х;) в узл~ х;.
Предположим, что эта функция дифференцируема необходимое число раз на отрезке ~х1, х„1. Тогда в соответствии с формулой Тейлора и ш П~ „, +,'Ь+ Ь2+ ЬЗ+ Ь4+ О(Ь5). (10 18) Отсюда о и/ Уз+1 У1 У1 Ь У1 Ь2 — УЗ+1 У1 О (Ь) Ь 2! 3'. Ь Аналогично из формулы Тейлора следует, что и иг !У , у „~Ь+ У1 Ь2 У Ьз+ У1 Ь4+ О(Ь5) (10 19) и затем й И/ У~ У~-1+ У; Ь У1 Ь~+ У1 — У~-1+О(Ь) Ь 2! 3! Ь Таким образом, погрешности представления у,' через правую (у;+1 — у;)/Ь и девую (у; — у; 1)/Ь конечные разностпи(иногда их называют конечнымн разностпями вперед и назад) пропорциональны Ь, т.е. имеют первый порядок малости при Ь -+ О.
В этом случае кратко говорят, что погрешность имеег первый порядок, а соответствующая формула численного дифференцирования — первый порядок точности. Правая и левая конечные разности соответствуют линейной интерполяции функции Дх) на отрезках (х;, х;+11 и [х; 1, х;~ (рис. 10.5,а, сплошные прямые). Зти разности и образуют то разностное отношение (1.6), предел которого при 10.7. Численное дифференцирование 331 Ь-+ О, согласно определению 1.2, равен производной. В силу теоремы 7.3 ~1~ о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции разностное отношение отличается от производной на функцию, бесконечно малую при Ь -+ О. Формула Тейлора позволяет установить порядок малости зтой бесконечно малой функции по сравнению с Ь при Ь-+ О.
332 10. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ Если из (10.18) почленно вычесть (10.19), то получим форму лу численного дифференцирования с центра,яьной конечной раэноствью ИФ вЂ” + — 'Ь~+... = '+ ' +0(Ь~). 26 3! 26 у,'+ / —— ' '+0(Й ) и У~+1 У1 с У1 — У1-1 + 0(/ 2) Рассматривая вторую производную как центральную разность первых производных, получаем формулу Р ! и уз+1/2 ~~-1/2 ~ ~ 2~ у й Ус+1 2У1 + уг-1 0(Ь ) 0(й ) — + ~ +0(Ь ), в которой не ясен вклад в погрешность второго слагаемого в правой части. Для оценки этой погрешности почленно сложим (10.18) и (10.19) и получим ! 1+1 У+ ' 1 УУЬ У'+1 У+ ' 0(62) (1020) Ь У' 12 Ь + Эта формула имеет второй порядок точности и соответствует квадратичной интерполяции функции ~(х) при х б ~х; 1, х;+1] (см.
рис. 10.5,а, штриховая линия), но дает тот же результат для первой производной в средней точке х; отрезка [х; 1, х;+11, что и при линейной интерполяции по его двум крайним точкам х; 1 и х;+1 (см. рис. 10.5,а, штрихпунктирная линия). Отметим, что если у,'"=О, то эта формула будет иметь четвертый порядок точности, поскольку при вычитании (10.19) из (10.18) слагаемые с у~1~ взаимно уничтожаются. Такая особенность характерна для формул с центральными разностями. Правую и левую разности можно считать центральными, но для промежуточных точек х;+1/2 —— х;+Ь/'2 и х; 1/2 — — х; — Й/2 соответственно (см.
рис. 10.5, а), т.е. 10.7. Численное дифференцирование Проверим, сохраняет ли (10.20) второй порядок погрешности при вычислении уи в крайнем узле интерполяции. Положим в (10.18) 1= 1: и иг 1Ч + г Ь+ У1 Ьг+ У1 Ьз+ У1 Ь4+ 0(ЬЬ) (10.21) и, кроме того, запишем с учетом хз — — х1+ 2Ь формулу Тейлора и иг Л~ ~ Р~~ У1 РЦ2 У1 РЦЗ У1 Р~~4 0(Ь5) Р~ 22) Исключая из (10.21) и (10.22) у~~, находим Рз — 2уг+ У1 ~и, Уз — 2уг+ У1 (Ь) у, =, -у, Ь-...=, +О Ь. и ги 1У У4 = У1 + Р1 (ЗЬ) + — ~(ЗЬ) + — ~(ЗЬ) + — ~(ЗЬ)~+0(Ь~). (10.23) Исключая из (10.21)-(10.23) р' и у',", находим -у4+4рз — 5уг+2У1 11 ~1~ г У1 — Ь2 + у, Ь+...= -У4+ 4уз — 5рг+ 2У1 г Ь г +ОЬ Если из (10.21) и (10.22) исключить у",, то получим -уз+ 4уг — ЗУ1 2 и,Ьг -Рз+ 4уг — ЗУ1 У1 — 2Ь + ЗУ1" +" — 2Ь Таким образом, выражение (рз — 2рг+ у1)/Ьг, согласно (10.20), при 1' = 2 обеспечивает погрешность второго порядка, если его использовать для вычисления уг, а при вычислении р" (а также уз) порядок погрешности уменьшается на 1.
Чтобы сохранить второй порядок погрешности при вычислении Р1, следует использовать значение у4 в узле х4 —— = х1+ЗЬ: 334 10. ИНТЕРПОЛИРОВА НИЕ Формулы второго порядка точности для узла х„имеют вид ф Уа-2 4Ув-1+ 3Ув + О~гЬ2~ У~ — 2Ь + ( )~ и Уи-3 + 4Уа-~ 5Ув-1 + 2Ув У~ — з + Ь Пример 10.4. Пусть значения функции Дх) = е заданы наотрезке ~0, 1] с шагом Ь=0,2. Приближенные значения р' производной ~'(х), вычисленные по формулам второго порядка точности, и погрешности В = ~'(х) — у' = е~ — у' представлены в таблице: Характерно, что использование различных формул для вычи- сления производных в крайних и внутренних узлах привело к разным знакам погрешности.
ф х(х;) — ~(х;, Ь) = АЬ + 0(Ь +'). Пусть в том же узле х; по той же формуле, но при равно- мерном шаге Ь1 — — гЬ вычислено значение ~(х;, гЬ). Теперь погрешность равна х(х;) — Цх;, гЬ) = А(гЬ)~+0((гЬ)~~~). Принимая 0((гЬ) +') ~0(Ь'"+') и вычитая из второго равенства первое, получаем для главной части погрешности в узле х; Главную часть погрешности формулы с порядком точности т можно представить в виде АЬ™. Тогда погрешность приближенного значения ~(х;, Ь) величины г(х;) в фиксированном узле х; при равномерном шаге Ь будет 335 1О.7. Численное дифференцирование и более точную формулу для приближенного значения величи- НЫ ( ) ' ~(х ' ") Ох "") О(~ +1) гтрк (10.24) Такой подход, дающий количественную оценку главной части погрешности и уточненное значение искомой величины с более высоким порядком точности, называют методом Рунзе по имени немецкого физика и математика К.Д.Т.
Рунге (1856-1927). Отметим, что для формул численного дифференцирования с центральными разностями этот подход повышает порядок точности сразу на две единицы, поскольку для них следующее за главной частью погрешности слагаемое имеет порядок малости на две единицы больше по сравнению с главной частью. 2~у,"(Ь) — у,"(26) -у;+2+ 16у;+1 — 30у;+ 16у; 1 — у; ~ у 2~ — 1 12М Итак, существуют пути, позволяющие получить приближенные формулы численного дифференцирования с более высоким порядком точности, в которых используются значения функции в большем числе интерполяционных узлов, а также формулы для вычисления производных выше второго порядка. Но такие формулы могут привести к большим абсолютным погрешностям, тем более что узловые значения функции вследствие погрешностей измерения или ошибок округления обычно сами обладают некоторой погрешностью.
Влияние погрешности значений функции покажем на примере вычисления первой производной. Пример 10.5. Из формулы у,"(Ь) = (у;+1 — 2у;+ у; 1)/Ь~ второго порядка точности с центральной разностью методом Рунге можно получить для второй производной приближенную формулу четвертого порядка точности, если перейти к шагу 6| — — 26: у,"(26) (у;+2 — 2у; + у; 2)/(26)~. Тогда, согласно (10.24), ДЛО.1. Минимизация погрешности интерполяции Иэ условия имеем 1 В = 1+ — Мй — с1 2 + Чтобы сохранить при численном дифференцировании не менее половины верных знаков, необходимо выбирать конечноразностные формулы, удовлетворяющие условию т > Й. Иначе суммарная погрешность может оказаться столь большой, что результаты вычислений потеряют практическую ценность.
Дополнение 10.1. Минимизация погрешности интерполяции Из (10.9) следует, что для и раэ дифференцируемой в интервале (а, Ь) функции ~~(х) наибольшая возможная погрешность ее иитериоляции (или экстраполяции) на отрезке 1а, Ь) при и узлах интерполяции х; Е 1а, Ь~, ~=1, и,, не превышает М„ы„/Ы, где М„= п1ах ф"~(х)~, и„= п1ах ~со„(х)~. а(ж(Ь а(ж(Ь Расположение этих узлов на влияет на значение М„, но может существенно повлиять на значение ж„. Поэтому естествен вопрос: существует ли на [а, Ь~ такое расположение и узлов интерполяции, при котором значение и„минимально, т.е.
минимальна максимально возможная погрешность интерполяции (или экстраполяции) на 1а, Ь] любой и раз дифференцируемой в (а, Ь) функции? 338 10. ИНТЕРПОЛИРОВА НИЕ Заменой х = (а+ 6)/2+ (6 — а)1/2 с учетом (10.7) получим и и и„~х) =П(х-х;) = ( — ) П(~-1;) = ( — ) Й„($), (10.25) ю=1 2 где узлы интерполяции. х; Е [а, Ц и 1; Е [-1, Ц связаны соотношением х; = (а+6)/2+ (6 — а)Ц/2.
Будем искать такое расположение и узлов ~; (= [ — 1, 1], при котором достижим ппп тах й„($). Для этого рассмотрим -1<С,<~ -~«<Ь функцию Т„(~) =сов(пагссоз~), ~ ~ [-1, Ц, и ~ ХО(0). При п=О Т0(8) =1, при п=1 Т~(~) =~, анри п>1 всилу тригонометрического тождества совпа+ сов(п — 2)а = 2сова соз(п — 1)а, если положить а = агссоИ, имеем Т„(~) = 21Т„1(1) — Т„~(~), 2й — 1 агссозЦ = л, 1=1, и, 2п а гпочки $' б( — 1,1) его экстремумов — уравнению ИТ„($' )/Й= =О. Тогда зт(пагссоз1' ) =О, или ф ЛВ агссоз8 = — л, и т=1, п — 1. т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
