II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Циссоида названа так потому, что ее часть вместе с дугой окружности образует фигуру, похожую на лист плюща. 294 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Древнегреческий математик Диоклес (11 в. до н.э.) применил циссоиду для графического решения задачи об удвоении ку ба. Пусть В равно ребру исходного куба," примем В = 1. Иэ записи (9.47) в виде р( р) = —.
+1, <р Е (-7г) ~г) ~ (О~. 81п у Отсюда, используя (9.22) и обозначая сф~~р = ~, получим коор- динатное представление кривой й Ю Г=((х;у)ЕК: х=а$~, у=а~, 1~К). 1~~2' 1~~г' Исключая параметр ~, найдем уравнение (х + у ) (у - а) — 1 р = О, х Е Е (9.48) кривой в прямоугольных декартовых координатах. Таким образом, конхоида Никомеда — алгебраическая кривая четвер- следует, что отношение координат точки М1 (см. рис. 9.16) пересечения циссоиды с прямой АЕ, имеющей уравнение р = = 2(1 — х), будет у/х = 4~2.
Тогда отрезок АВ1 и есть ребро того жертвенника, который должен был умиротворить богов. Для трисекции произвольного угла древнегреческим математиком Никомедом (111 — 11 вв. до н.э.) была применена плоская кривая комаоида (по-гречески — похожая на раковину). На любом луче, исходящем под углом у иэ полюса О конхоиды (рис.
9.17,а), ей принадлежат точки М и М1 концов равных отрезков КМ =КМ1 — — 1, где К вЂ” точка пересечения луча с базисом конхоиды у = а. Тогда в полярных координатах уравнение конхоиды Никомеда Д.Я.2. Прикеры плоских иривых того порядка, симметричная относительно оси Оу. Запись этого уравнения в виде х =( — ) — у Рис. 9.17 296 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ показывает, что базис конхоиды у = а — двусторонняя гори зонтальная асимптота для обеих ее ветвей.
Вид конхоиды Никомеда зависит от соотношения между а и 1. При 1< а (см. рис. 9.17,а) обе ветви кривой гладкие, но (9.48) удовлетворяют также координаты полюса (О; О). Это особая тпочка кривой, называемая изолированной. При 1= а (рис. 9.17, б) полюс кривой является точкой заострения (точкой возврата), а нижняя ветвь кривой — кусочно-гладкоЙ. При 1> а (рис. 9.17, в) на нижней ветви возникает петля, а полюс будет узловой точкой. Пусть требуется разделить на три равные части угол о < < я/2 (рис. 9.18).
Для этого на одной стороне угла отложим отрезок ОС=1 и через точку С проведем прямую, параллельную другой стороне угла. Приняв зту прямую за базис, а вершину О угла — эа полюс, строим нижнюю ветвь конхоиды (случай 1>а). Затем из точки С проводим дугу окружности радиуса 1 до пересечения с кривой в точке М. Тогда Д = а/3, так как треугольники МЖС и СОМ равнобедренные и каждый из углов СМО и СОМ равен 2,3. Рис. 9.18 Базисом конхоиды может быть не только прямая, но и любая кривая, в частности окружность радиуса В, одна из точек которой играет роль полюса ' О (рис. 9.19,а). При любом положении прямой, проходящей через полюс, на ней 297 Д.9.2. Примеры плоских кривых от точки Ж ее пересечения с окружностью в обе стороны откладываем равные отрезки ЖМ и ММ1 длиной 1 (на рис.
9.19,а 2В < 1 и точки М и М1 всегда лежат вне окружности). При повороте прямой вокруг полюса множество точек М и М1 образуют конхоиду окружности, называемую Рис. 9.19 Д.9.2. Примеры алоских мривых (9.50) р = а сов т<р. Действительно, при т = 1/2, а = 4В и 2В = ! (9.50) совпадает с (9.49). Кроме того, при т = 1 (9.50) переходит в уравнение окружности радиуса а/2, если полюс находится на этой окружности; при т = -1 имеем уравнение прямой, проходящей на расстоянии а от полюса и перпендикулярной относится к классу чи~моидамькых кривых, которые представляют собой траектории точки, жестко связанной с кругом, именуемым производлифим и катящимся без скольжения по неподвижной окружности. Если эта точка принадлежит окружности производящего круга и он катится по внешней стороне неподвижной окружности, то кривую называют зпици~моидой, а если катится по внутренней стороне, то — випоцикюоидой.
Кардиоида является эпициклоидой в том частном случае, когда производящий круг и неподвижная окружность имеют одинаковый радиус (см. рис. 9.19,г). Отметим, что звольвенту окружности можно рассматривать как эпициклоиду для случая, когда радиус производящего круга бесконечен.
В более общем случае расстояние Ь жестко связанной с производящим кругом точки может быть меньше или больше его радиуса г. Тогда она вычерчивает зпитрохоиду или аипотпрохоиду (при Ь < г — укороченные эпициклоиду или гипоциклоиду, а при Ь > г — удлиненные). Улитка Паскаля при 2В< ! является укороченной, анри 2В> ! — удлиненной эпициклоидой для случая, когда г = В (см. рис. 9.19,а и в). Если радиус неподвижной окружности В-+ оо, то производящий круг катится по прямой и жестко связанная с ним точка вычерчивает при Ь<г укороченную циклоиду, анри Ь>г— удлиненную.
Все зти кривые имеют общее название пзрохоида (от греческого слова гроко~ — колесо). При Ь= г и В-+ос кривую называют просто циклоидой. Кардиоида принадлежит также и к обширному семейству синусоидалъных спиралей с общим уравнением в полярных координатах 300 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ полярной оси; при т = — 1/2 получим уравнение параболы р= 2а/(1+сов<а), симметричной относительно полярной оси с фокусом в полюсе и расстоянием а от фокуса до верши ны; при т = -2 (9.50) в виде р~ = а~/соз2~р описывает две ветви равнобочной гиперболы, симметричные относительно по лярной оси, с асимптотами под углами я/4 и -я/4 к этой оси.
В случае т=2 из (9.50) следует уравнение р= с~/2со87~р, у б ~-я'/4, я/4~ О ~Зт/4, 5я'/4~ лемнискатпы Бернулли, где 2с =й Она, в свою очередь, является частным случаем овалов Кассини, названных по имени французского астронома Дж. Кассини (1625 — 1712), считавшего, что орбитой Земли вокруг Солнца является овал. Если зафиксировать точки— фокусы Р1(с; О) и г2(-с; О) (рис. 9.20), то для каждой точки М, принадлежащейовалу Кассини, Р1М ГАЯМ=02=сопв~, т.е. 301 Д.9.2.
Примеры плоских кривых Отсюда следуют уравнения в прямоугольных декартовых коор- динатах (х2+ у2)2 — 2с2(х2 — ~2) + с4 — Ь4 = 0 (9.51) и в полярных координатах Овалы Кассини симметричны относительно координатных осей, причем если 6 > с~/2, то овалы эллипсообраэны, если с~/2 > Ь > с, то они приобретают „талию", при 6 = с переходят в лемнискату Бернулли, а при Ь < с каждый иэ овалов состоит иэ двух замкнутых линий. Рассматривая (9.51) как неявную форму задания зависимости у от х, находим производную (см. 2.5) +у2 сг Ых у х2+ у2+ с2 Отсюда следует, что касательная к овалам Кассини горизонтальна не только в точках их пересечения с осью ординат (х = О), но и в точках их пересечения с окружностью радиуса с (см. рис.
9.20, штриховая линия). Семейству овалов Кассини соответствуют эквипотенциальные линии абсолютного значения векторного потенциала магнитного поля, создаваемого проходящими через фокусы перпендикулярно плоскости хОу двумя проводниками, по которым течет постоянный ток.одинаковых силы и направления. Вернемся к одной из замечательных плоских кривых— циклоиде. Для построения ее координатного представления учтем, что при качении без скольжения по прямой производящего круга радиуса а ОР = а1 (рис. 9.21, а) и, кроме того, 302 9.
ГЕОМЕТРИ ЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ БР= МВ=аз1п1 и О'В=асов~. Тогда Г = ((х; у) Е И: х = а(й — а~п Й), у = а(1 — созе); й Е Ж~. х = а агссов(1 — у/а) — ~2ау — ц1, у ~ ~0, 2а). 01 Х1 Рис. 9.21 Исключал параметр 1, находим уравнение в прямоугольных декартовых координатах 303 Д.9.2. Примеры плоских кривых Одна арка циклоиды соответствует полному обороту производящего круга, т.е. изменению параметра 1 на 2~г. Точки сопряжения арок являются точками возврата (точками заострения) циклоиды. Поскольку ау аа~п8 — сФд- = Фд у, Ых а — асов~ 2 1 В(1) = — = 4аа1п —, Й(г,) 2 т.е. равен удвоенной длине отрезка нормали.
Это позволяет записать координаты центра С кривизны кривой в точке М (см. рис. 9.21, а) в виде ~ = х+ 2%сов- = а($+ а1п 8) 2 ц = у — 2Жа1п — = -а(1 — соа1). 2 Параллельным переносом координат ( = х1 — ка и и= у1 — 2а получим координатное представление эволюты Й циклоиды Г в форме Й= 1(х1,у1) ЕЕ: х1 — — а(1 — в1п1), у| — — а(1 — сова), 1 ЕЕ~. Итак, эволютой циклоиды является такая же циклоида (см.
рис. 9.21, а, штриховая линия), но смещенная вниз на 2а и влево на ла. При движении точки М от начала координат где 7 = (~г — ~)/2 — угол наклона касательной в точке М к оси Ох, касательная проходит через высшую точку В производящего круга, а нормаль в точке М вЂ” через его низшую точку Р, причем длина нормали МР М = 2ав|п(~/2). Согласно (9.32), радиус кривизны 304 9. ГЕОМЕТРИ ЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ до точки Н в вершине арки циклоиды радиус кривизны В(1) изменяется от 0 до значения В(т) = 4а, т.е. в силу теоремы 9.4 длина дуги ОС эволюты равна 4а, а длина дуги арки циклоиды — 8а. Циклоида является таутохромкой кривой (от греческих слов таито~ — тот же и Кроио~ — время): время, за которое материальная точка скатывается по кривой, обращенной выпуклостью вниз, до определенного уровня, не зависит от исходного положения точки на кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
