II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Кривизна и кручение пространственной кривой 283 Так как тв(8) = Ь(8) х Ф(8), т1(8) х й(8) = -Ь(8), Ь(8) х тв(8) = -Ф(8), найдем т1'(8) = Ь'(8) х Ф(8) + Ь(8) х ~'(8) = = — м(8)тв(8) х Й(8) + Ус(8)Ь(8) х л(8) = -Й(8)Ф(8) + х(8)Ь(8). Соотношения й (8) = ев(8)тй(8), Л'(8) = -й(8)й(8) + Х(8)Ь(8), Ь (8) = -Х(8)а(8) называют формулами Серре — Френе (они опубликованы французским математиком Ж. Серре (1819-1885) в 1851 г., хотя Ф. Френе получил эти формулы в 1847 г.). Если 8 измерять в единицах времени, то при движении точки М по кривой, соответствующем возрастанию 8, формулам Серре — Френе можно придать следующий механический смысл: вращение основного триэдра как твердого тела вокруг мгновенных положений единичных векторов бинормали и касательной происходит с угловыми скоростями, равными Й и х соответственно; его вращение вокруг мгновенной оси, направленной по вектору Дар6у Х) = М+ йЬ (названному по имени французского математика Ж.
Дарбу (1842-1917)), происходит с угловой скоростью, равной ~В~ = = ~/ив+ Р (вту величину наливают колкой кривизной кривой в точке М). В соответствии с формулами Серре — Френе кривая является плоской тогда и только тогда, когда ее кручение в каждой точке равно нулю, и кривая является прямой линией тогда и 284 9. ГЕОМЕТРИ ЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ только тогда, когда ее кривизна в каждой точке равна нулю. В самом деле, при м(з) =0 Уз Е 10, зг] имеем Ь'(з) =0 и Ь(з) а = Ьо, где О и Ь0 — нулевой и постоянный векторы. Поэтому («'(з)Ьо) = «'~(з)Ь0 = Цв)Ь0 = 0 и «'(в)Ь0 = Р = сопз$.
Полагая Ь0 — — А«+ Ву+ Сй и «'(з) = гх(з) + «у(з) + йю(з), получаем, что все точки кривой лежат в плоскости Ах+ Ву+ + Сх = Р. Обратно: если кривая лежит в плоскости с нормаль- ным вектором Ь0, то «'(з)Ь0 = сопзй и «' (з)Ь0 = й(з)Ь0 = О, «' (з) = «(в), «' (з) = Й(в)п(в), « "'(з) = Й'(з)п(з)+Й(з)п'(в) = = ««'(з) п(з) — й~(з) Ф(з) + 1с(з) и(з) Ь(з), Ф(з)п(з)Ь(з) = 1 т.е. вектор Ф(з) лежит в этой плоскости. Но и Ф'(в)Ь0— = Цз)п(з)Ь0= О.
Поэтому при условии й(з) ф 0 вектор п(з) также лежит в той же плоскости. Отсюда Ь(в) = Ь0, Ь'(з) = 0 и х(в) =О. Если же й(з) =0 Чв б ~0, зг], то Ф'(з) = О и Й(в) = — $0, где $0 — постоянный вектор. Тогда из й(з) = «'(з) следует, что «'(з) = й0з+«'(0), т.е. имеем уравнение прямой, проходящей через точку с радиус-вектором «(0). Обратно: кривизна любой прямой равна нулю. Точки кривой, в которых ее кривизна равна нулю, называют точками распрямлемия кривой, а точки, в которых равно нулю кручение, — точками упмощеми* крив ой. Для нахождения кручения кривой вычислим с учетом ра- венств Д,9.1. Кривизна и крученые пространственной кривой 285 смешанное произведение векторов т'(з)т "(з)т "'(з) = Й(з)ъ(з)тъ(з)(Й'(з)ть(з) — Й (з)й(з) + + й(з)м(з)Ь(з)) = й~(з)тт(з)й(з)тъ(з)Ь(з) = й~(з)м(з).
Таким образом, в итоге получим уравнения Й(з) = ~т н(з)~ и м(з) = (9.43) называемые напъуральньъми уравнениями кривой. В коор- динатной форме (9.43) с представлением смешанного произве- дения векторов отъределителем принимает вид й(з) = у'(з) г'(з) у"'(з) "'(з) (9.44) (х"(з)) + Г= ((х;у;х) ЕЕ: х =Всоьсз, у=Вь1псз, в= Нсз; зЕ (О,Т/с~). Найдем производные т'(з) = с( — ъ'Вь1п сз+ т'Всоьсз+ ЙН), т "(з) = съВ(-ъсоьсз — т'ь1п сз), т "(з) = с~В(ъяп сз — т'соь сз).
Пример. Вычислим кривизну и кручение виншовой линии, рассмотренной в примере 9.1. Подстановкой в (9.16) 8= сз, где с = 1/~~ +Н~, получим ее координатное представление в виде 286 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ С учетом (9.44) получим В =с В= =сопят Вг» Нг Й(з) =с  — Вз1п сз Всозсз Н -созсз -з1п сз О з1п сз — сов сз О м(з) = 4Вгд зВг) Нсозгсз+ Нипгсз г Н 1/сг Вг+ Нг Таким образом, кривизна и кручение винтовой линии постоян- ны. Постоянна и ее полная кривизна ~Р~ = ~/~~-~ ~2 и с= у+Нг' Поскольку и(з) = — Ф (з) = — з (з) = -~созсз- гз1псз, г 1 и Цз) й(з) для радиус-вектора центра кривизны произвольной точки вин- товой линии, согласно (9.42), получим ш(з) = т (з) + В(з)а(з) = Вг+ Нг = ъВсозсз+ г'Вз1п сз+ ЬНсз+ В -асозсз — г з1п сз Н1 = — ~ — гНсозсз- у'Ннпсз+ ЙВсз .
В~ Итак, эволютой винтовой линии является также винтовая линия, но лежащая на цилиндрической поверхности радиуса Нг/В и повернутая относительно заданной винтовой линии на угол я'. При Н = В эволюта винтовой линии будет лежать 290 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Так как х = В(1 — 2~р/л) и, согласно (9.22), р = х/созе, уравнение кривой в полярной систпеме хоординати р(у) = — (1 — 2 — ), у Е ~0, г/2) 0 (т/2, т~. В ~р созе тг Согласно правилу Бернулли — Допиталя (см. теорему 5.1), из (9.46) получаем тгх .
х 2В . ~лх 2В у = 1ип х сХ вЂ” = 1ип — = — 1пп соз — = —, -+0 2В -+0 ~ ™ тг -+о 2В тг ' 2В т.е. при х-+О у-+2В/тг=ОР (см. рис. 914). Для нахождения отрезка, равновеликого длине 2тВ окружности радиуса В. проведем следующее построение. На дуге окружности радиуса В из точки А сделаем засечку радиуса ОР, отметив точку Я. На пересечении прямой АЧ и перпендикуляра к отрезку А0 в точке 0 получим точку Е. Из подобия треугольников АЕ0 и АОЧ имеем АЕ/А0 = А0/АЯ, или с учетом АЧ = ОР = 2В/~г (А0)~ (2В)~ АЯ 2В/тг 2™ Итак, отрезок АЕ равновелик. по длине окружности радиуса В. Площадь ~гВ~ = 2тгВ ° В/2 круга равна площади треугольника с высотой, равной его радиусу В, и основанием, равным длине окружности (на рис. 9.14 — площади треугольника 00Е1, где 0Е1 — — АЕ = 2л В).
Для построения равновеликого ему по площади квадрата на стороне 0Е1 отложим отрезок 00 = В/2 и из точки С восстановим перпендикуляр к 0Е1 до пересечения его в точке Н с дугой окружности радиуса 010 = тгВ, построенной на 0Е1 как на диаметре. Тогда квадрат 0НЬЯ и будет искомым, так как из подобия треугольников 0НС и 0Е1 Н имеем 0Н/00 = 0Е1/0Н и (0Н)2 0Е1 . 0Д 2тгВ, В/2 тгВ2 291 Д.9.2. Примеры илоских кривых Для деления заданного угла <р в заданном отношении делим и этом отношении точкой К1 отрезок АК (см.
рис. 9.14) и восстанавливаем перпендикуляр к АК до пересечения с кривой в точке М1. Тогда луч ОМ1 разделит угол у в заданном отношении. Если, например, АК1 — К1К2 — АК/3, толучи ОМ1 и ОМ2 осуществляют трисекцию угла у. Функция лх хсзр — при хф2тВ, тЕЕ, В 2В 2 — при х =О Дх) = лх лх 1 с~~ л.х при х ф- 2тВ, т 6 Е, яп2— 2В О при х=О У'(х) = обращается в нуль только в точке х = О, где функция достигает максимааьного значения ДО) = 2В/л.
Вторая производная 7Г лх лх -1+ — сФд — при хф-2тВ, тбЕ, Вв1п~— 2В ЗВ при х=О У"( )= обращается в нуль при значениях х, удовлетворяющих уравне- нию 2В тх х = — 1~в ~г 2В и являющихся точками перегиба функции.
Подстановка этих значений в (9.46) показывает, что все точки перегиба графика функции лежат на прямой у = 2В/т (рис. 9.15). Отметим, является четной и определена не только на отрезке [ — В, В~, а всюду на числовой оси прямой Е, за исключением точек х = = ~2пВ, п (= Х (точки разрыва второго рода, в которых график функции имеет вертикальные асимптоты). При х = =!=(2п — 1)В эта функция обращается в нуль. Ее производная 292 Рис. 9.15 что древние греки не располагали уравнением (9.46) и строили квадратрису Динострата кинематическим путем как траекторию точки М на рис.
9.14, что соответствует определению функции ~(х) лишь на отрезке ~ — В, В]. В поисках решения делосской задачи об удвоении куба (по легенде, для умиротворения богов, ниспославших мор на жителей острова Делос, необходимо было удвоить в храме Аполлона объем жертвенника, сохранив его кубическую форму) была найдена кривая, названная циссоидой Диоклесо.
Этой кривой принадлежит точка М на любом луче ОВ (рис. 9.16). пересекающем окружность диаметром ОА и касательную АВ к этой окружности, причем ОМ = =ВС. Приняв точку О за долю~ Рис. 9.16 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 293 Д.9.2. Примеры плоских кривых н луч ОА за полярную ось, найдем, что полярный радиус точки М р(М) =ОМ=ОВ-ОС=0(сов~р-0совр, где .0— диаметр окружности. Отсюда получим уравнение циссоиды в полярных координатах р(р) = 081п у ° 1д~р, (р Е (-~г/2, ~г/2).
Ее уравнение в прямоугольных декартовых координатах с учетом (9.22) имеет вид хз — (0 — х)у2 =О, х Е 10, 2В). (9.47) Если принять в качестве параметра $ = ~~у, то получим координатное представление этой кривой ~2 ~3 (х;У) ЕВ: х=0 —, у=0 —, АХЕИ 1+„2 1+~2 Из (9.47) следует, что циссоида — алгебраическая кривая третьего порядка. Она симметрична относительно оси Ох, и ее можно представить графиками двух однозначных ве- твей х3 3 ~1(х) = — и ~2(х) =— 0 — х 0 — х которые имеют общую вертикальную асимптоту х = 0, а в начале координат — общую касательную х = О. Так как при Ф = 0 ~э'(0)~ = ~х'(0)~+ у'(0)Я = О, начало координат является особой точкой кривой (в данном случае, точкой возврата, или точкой заострения), а кривая — кусочно- гладкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
