II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 31
Текст из файла (страница 31)
меняет знак с плюса на минус при переходе аргумента х через значение х = Ы. В силу теоремы 8.5 х = Ы является точкой максимума функции Ях), причем ЯИ) = р(1р) = с. Касательная к графику функции Ях) в точке (Ы; с) горизонтальна. Согласно теореме 8.2, функция ~~(х) возрастает в интервале (О, Ы) и убывает в интервале (сЮ, с).
Из (8.12) Д(х) < 0 ~Й Е (й~, +со) и в силу теоремы 8.9функция Ях) выпукла вверх в интервале (О, с). В точке х=с (й=й1) функция Ях) (как и функция ~1(х)) недифференцируема, производная Д(х) бесконечна, а график функции Ях), показанный на рис. 8.19, а штриховой линией, имеет в точке (с, И) вертикальную касательную. Наконец, интервалу (-оо, -1) возрастания функции х(1) (см.
рис. 8.18, а) соответствует однозначная ветвь Ях) многозначной функции ~(х). Областью определения Ях) является область значений (О, +ос) функции х($) при $ Е (-оо, — 1). Из (8.11) и (8.12) Д(х) <0 и Д(х) > 0 ~Й Е (-оо, -1), т.е.
функция Ях) в интервале (О, +со) убывает и выпукла вниз. 240 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ При х -+ +ос ~з(х) -+ — оо и график функции ~з(х), изображенный на рис. 8.19, а штрихпунктирной линией, приближается к наклонной асимптоте у = -х — 1/3. Графики функций ~~(х) и Ях) на рис. 8.19,а имеют общую точку (с; а), которая является границей дуг с различными направлениями выпуклости.
Однако считать эту точку точкой перегиба графика функции было бы неправомерно. Дело в том, что определение 8.6 точки перегиба как границы интервалов строгой выпуклости непрерывной функции относится к однозначной функции, а в данном случае функция ~(х) многозначна и в одном и том же интервале изменения аргумента х различные направления выпуклости имеют ее разные однозначные ветви. Кроме того, дуга графика лежит по одну сторону от вертикальной касательной к графику в точке (с; а).
Отметим также, что точка перегиба графика функции характерна для него и сохраняется при повороте системы координат (в отличие от экстремальных точек графика, связанных лишь с определенной системой координат, в которой задана рассматриваемая функция). Ясно, что точка (с; а) графика, приведенного на рис. 8.19, а, станет ничем не примечательной при повороте осей координат на некоторый острый угол против часовой стрелки или по часовой стрелке. Отметим, что функции Ях) и 5(х) неопределены вточке х = О. Если доопределить функции х(1) и у(1) значениями х(оо) = у(оо) = О, то графики функций Ях) и 6(х) будут иметь общую точку (О; О) с вертикальной касательной, совпадающей с осью Оу.
Хотя эта точка тоже разграничивает дуги с различными направлениями выпуклости, по указанным выше причинам ее нельзя считать точкой перегиба графика функции Дх). В этой точке кривая графика функции Дх) пересекает себя под прямым углом, поскольку касательные в данной точке к различным ветвям кривой совпадают с осями координат. Такую точку иногда называют точкой самояересечения арафика, или его узловой тпочмой, и ее может иметь только график многозначной функции.
241 Вопросы и эвдачи з+ уз (8.13) Поскольку (8.13) симметрично относительно абсциссы х и ординаты у, декартов лист симметричен относительно биссектрисы у = х первого квадранта (см. рис. 8.19, б). Из симметрии следует, что наиболее удаленная от начала координат точка А петли декартова листа имеет координаты (1/2; 1/2). Сначала математики считали, что определенная Р. Декартом кривая состоит только из петли („лепестка"), но И. Бернулли и голландский математик и механик Х.
Гюйгенс (1629-1695) в 1692 г. установили полную форму кривой и наличие у нее наклонной асимптоты. Вопросы и задачи 8.1. Найти интервалы возрастания и убывания функций: а) хз — 30х~+225х+1; б) соя(я/х); в) агс$дх — 1пх; г) (1+1/х) '. 8.2. При каких значениях а возрастают на Е функции: а) хз — а; б) (а2 — 1)хз/3+(а — 1)х~+2х; в) (8а — 7)х — аа1пбх — а1п5х. 8.3. Доказать, что дифференцируемая на интервале (а, О) функция Дх) возрастает на этом интервале тогда и только На рис.
8.19, б приведен график функции ~(х) с учетом проведенного доопределения функций х($) и у(1). Кривую этого графика называют декартовым листом в честь родоначальника аналитической геометрии французского математика Р. Декарта. В 1638 г. в письме к П.Ферма он определил эту кривую как геометрическое место точек, для каждой из которых сумма кубов абсциссы и ординаты пропорциональна произведению абсциссы и ордйнаты.
Действительно, исключив параметр 1 иэ системы функций (х(1), у(1)~, получим неявную форму задания функции Дх) 242 8, ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ тогда, когда при любых х1, х2, таких, что а < х1 < х2 < 6, существует точка с Е (а, 6), в которой ~'(с) > О. 8.4. Исследовать на экстремум функции: а) 2х~ — 15х~+36х — 14; б) (х+3)~/(х+1)~; в) сЬх+совх; г) х~е1~Й; д) х~(1 — х)", т, и ~ Я.
8.5. Найти многочлен Дх) наименьшей степени, имеющий максимум Д1) =6 и минимум ДЗ) =2. 8.6. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функций: а) х — 6х2 6х+1; б) хг/(х — 1)~; в) ~х — Цх ~/х; г) х+япх; д) е1~ . 8.7. Является ли х = О точкой перегиба функции Дх) = = хз/2 — ф~х+япх? 8.8. При каких значениях а функция Дх) = е~+ ах~ имеет точки перегиба? 8.9. Показать, что у графика функции ~(х)=(х+1)/(х~+1) все точки перегиба лежат на одной прямой, а у графика функции у(х) = хв~пх — на кривой с уравнением р~(4+ х2) = = 4х2. 8.10. Может ли точка перегиба функции быть ее точкой экстремума? 8.11. Доказать, что у любой дважды дифференцируемой функции между двумя точками экстремума лежит хотя бы одна точка перегиба, а между точками перегиба может и не быть точек экстремума.
8.12. Доказать, что каждый многочлен степени 2т+ 1, т б Х, имеет хотя бы одну точку перегиба, а степени 2т с положительными коэффициентами не имеет точек перегиба. 8.13. Доказать, что дважды дифференцируемая в полуинтервале [а, +оо) функция Дх) имеет в (а, +со) единственный нуль, если ~(а) > О, ~'(а) < О и ~~~(х) < О Чх Е ~а, +со). Вопросы и эвдвчи 243 8.14. Найти наибольшее и наименьшее значения функций: а) х" — 8х2+3, х Е ~ 1 2). 6) (х4+1У(хй+1), х Е (-1, Ц; в) х — 21пх, х Е ~3/2, е); г) 2агсфх+агсяп (2х/(х~+1)), х Е Е; д) * 1 х ~ (Ог Ц 8.15. Найти номер и наибольшего члена последовательном стен: а) (105п+Зпз — пз).
б) (Ь2У(пз+200Ц. в) (п'2е ") г) (и 8.16. Доказать неравенства: а) е > 1+х; б) х > 1+а1пх при х > 0 и а >0; в) 1п(1+ х) > х/(1+ х), х > 0; г) агсф~х < х, х > О. 8.17. Найти наибольшее абсолютное значение многочлена х(х — 1)~(х+2) на отрезке ~ — 2, 1]. 8.18. При каком значении а наибольшее значение функции ~х~+а~ на отрезке ~ — 1, 1~ минимально? 8.19.
Найти радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в сферу радиуса В. 8.20. Найти наибольшую полную поверхность цилиндра, вписанного в сферу радиуса В. 8.21. Найти наибольшую площадь трапеции, вписанной в полуокружность радиуса В так, что основанием трапеции служит диаметр полуокружности. 8.22. Имеет ли график функции у(х) = х(1+ 1/х)~ асимптоту? 8.23. Провести полное исследование и построить графики функций: а) х~/(2 — х) 2; б) (хз — 2х2)/(х — 3); в) (х2+ 2х — 3) е~~~/х. 8.24. Провести полное исследование и построить график функции, заданной параметрически: х(Е) — Юз!(1+ й~) у(~) = ф — 2Р)/(1+ Р), 9.
ГЕОМЕТРИ'ЧЕСКИЕ ПРИЛО:ЖЕНИЯ ДИ<ФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 9.1. Векторная функция скалярного аргумента (9.1) т'(8) = х($)т', + у(1)т+ г(1) Й является разложением радиус-вектора т (1) в этом базисе, причем х(1), у(1) и г(1) — действитпельные функции одного дейстпвительного переменного 1 с общей областью определения Т С Е, называемые координатпными функцилми вектор- функции т (1). Если г(1) = О Ф Е Т, то вектпор-функцито называют двумерной в отличие от общего случая тпреамерной вектпор-функции. Итак, задание одной трехмерной вектор-функции т (~) скалярного аргумента равносильно заданию трех действительных (скалярных) функций х($), у(1) и г(1) этого же аргумента. Определение 9.2. Пределом вектпор-функции т'(1) при $-+1о называют вектор а и обозначают 1нп т($) =а или ~-+Фо Определеиие 9.1.
Если каждому значению независимого переменного 1 Е Т С В, называемого далее скаллрньюм аргументпом, поставить в соответствие единственный вектор т ($), то т (1) называют вектпор-функцией (вектпорной функцией) скаллрного аргументпа.
Вектор т (1) с началом в фиксированной точке О называют радиус-вектпором. Пусть в геометрическом (трехмерном) пространстве задана прямоугольная декартпова система координат Охух с ортонормированным базисом т',, т', й. Тогда представление 245 9.1. Векторная функция скалярного аргумента о (Ф) -+ а пРи 1 -+ 1о, если длина (модУль) 1т ($) — а~ вектоРа г(1) — а стремится к нулю при 1 -+ ~о, т.е.
1пп 1г(8) — а~ = О. (9.2) Теорема 9.1. Вектор-функция г(1) = ж($) г+ у(1)у + я(1) Й имеет своим пределом при 1 -+ $о вектор о = ада+ а22+ азй тогда и только тогда, когда е 1дпд ж(1) = ад, 1ддп у(~) =а2, 1пп л(~) =аз. (9.3) д-+до д-+до Ф-+до ~ Для доказательства необходимости представим 1г(8) — а~ в виде [11Ц ~т (й) — а~ = (ж(й) — ад)2+ (у(й) — а2)2+ (г(й) — аз)2.
(9.4) (р д (~) + р 2 (~)) — 1дпд р д (~) + 1дпд р 2 (~) 1пп ~(1) г(1) = ( 1пп Я) ) ! пп т (1), 1пп гд(1)г2(1) = (1дпд гд(1)) 1ддп о 2(~)> д-+до д-+до 1-+До 1пп гд (8) х г2(8) = ( 1дпд д д (Ф)) х 1дпд т'2(Ф) д-+до д-рдо $-+до (9.5) Поскольку 1т (й) - а~ > ~ж(й) — ад ~, переход в этом неравенстве к пределу при й-+ йо и учет (9.2) повлечет 1пп ~ж(й) — ад~ = О, д-+до что соответствует первому равенству в (9.3). Аналогично переходом к пределу при 1 -+ 1о в неравенствах ~г(1) — о~ > > ~у(1) — а2~ и 1т (1) — а~ > ~г(1) — аз~ можно доказать с учетом (9.2) справедливость второго и третьего равенств в (9.3). Достаточность утверждения теоремы следует из предельного перехода в (9.4) к пределу при ~ -+ 1о с учетом (9.3).
~ При помощи неравенства ()и) — )а)) <~г — а( 11, 1.3) нетрудно установить, что если 1пп г(8) = а, то 1дпд ~т (Ф) ~ = ~а~, но обрат- 1-+До Ф-+До ное неверно. Используя представление вектор-функции в виде (9.1), теорему 9.1 и свойства пределов действительных функций действительного переменного 11, 7.4], можно доказать, что 246 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ т'(йо + ЬФ) т'(Фо) 1'нп ы-+о Ь1 то его называют производной вектор-функции т (1) в точке 1о и обозначают т'(1о).
С учетом представления (9.1) и теоремы 9.1 т' (~о) =* (~о)т+у (~о)я+~ (~о)тт. (9.6) Определение 9.5. Вектор-функцию т (1) называют дифференцируемой в точке 8о, если приращение Ьт = = т (1о+ Ь8) — т (1о) = Ьжа+ Ьуу + Ьгй в этой точке представимо в виде йт. = аЬ|+е(Ь|)Ь|, (9.7) где а — вектор-функция, не зависящая от Ь|, а е(Ь|)— вектор-функция, бесконечно малая при Ь| — т О, т.е. 1пп ~е(Ь|)~ =О. При этом линейно зависящую от приращения Ь~ аргумента 1 вектор-функцию аЬ| называют дифференциалом вектор- при условии существования пределов, входящих в правые части этих равенств Щ1) — скалярная функция).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
