II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 29
Текст из файла (страница 29)
В этом случае Ь = 11пъ (~(х) — Зсх) = 1ип фх) — йх) = 1пп (~(х) — йх). Если существует конечный предел 1пп Дх) = 61, то прях-++ОО мая у = 61 является правосторонней горизонтальной асимптотой графика функции ~(х), а если существует 1пп Дх) = = 6~ б И, то прямая у = 62 будет левосторонней горизонтальной асимптотой графика этой функции. При 61 — — 62 график функции ~(х) имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту (на рис. 8.15 прямая у= 1 и на рис.
8.10 прямая у= 0). Прямую у = йх+ 6 (й ф. О) называют правосторонней (левосторонней) наклонной асимптотой графика функции ~(х), если эту функцию можно представить в виде ~(х) = Йх+6+ +а(х), где а(х) — бесконечно малая функция при х -++оо (при х -+ — оо). Из теоремы 10.6 [1] следует: чтобы график функции ~(х) имел правостороннюю наклонную асимптоту у = Й1х+ 61, необходимо существование двух конечных преде- лов 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 224 Пример. а. Найдем асимптоты графика функции хг — Зх+ 1 Функция определена при Чх Е В ~ (О~. Вычислим пределы г 3+1 хг — Зх+ 1 Им = -оо и 1пп = +со. ю-~ -0 х х-++О х Следовательно, прямая х = Π— двусторонняя вертикальная асимптота графика рассматриваемой функции.
Для нахождения наклонных асимптот графика представим эту функцию в виде хг — Зх+ 1 1 ~(х) = = х — 3+ —. х х Так как 1/х -+ О при х -+ оо, то из определения наклонной асимптоты следует, что прямая у = х — 3 является двусторонней наклонной асимптотой графика указанной функции. Поскольку 1/х >О при х >О У у-х-3 и 1/х < О при х < О, кривая У(х) графика лежит выше асимптоты при х-++оо и ниже ее при х-+ -оо (рис.
8.16). б. Найдем асимптоты -3 графика функции ~(х) = е~. Так как эта функция непрерывна на всей числовой прямой, то вертикальных асимптот ее график не имеет. Исследуем поведение функции Рис. 8.16 при х -+ =~ос. Поскольку Ясно, что горизонтальные асимптоты являются частным слу- чаем наклонных при й = О. 8.7. Асимптоты графика Функции 225 1ип е =+оо, а 1ип е =О, х-++оо х-+-оо прямая у = 0 является левосторонней горизонтальной асимптотой графика функции ~(х) = ех (см.
рис. 5.9). Так как при х -+ -оо ех/х -+ О, а при х -+ +оо ех/х -+ +со, то наклонных асимптот зта функция не имеет. Пример. Проверим, есть ли наклонные асимптоты у графика функции Хх+1 '(') - (1+*)- Функция определена при х > О. Поэтому у графика этой функции может быть лишь правосторонняя асимптота с уравнением у = Йх+ 6 при условии, что существуют пределы Й= Г1п1 — и 6= !ип (~(х) — Йх). У(х) х-++оо Х х-++со Подставляя в последнее равенство выражение для ~(х) и учитывая второй замечательцый предел, получаем Хх+1 1 1 й = 1ип 1ип х-++ х(1+ х)х -++оо (1+ 1/х)х е' х+' х . х 6 = 1ип - (е' ' "1 '~ 1 — 1).
-++ о (1+ х) е х-++оо е В правой части последнего равенства первый сомножитель х/е при х-++оо стремится к +оо, авторой — к нулю, поскольку показатель степени 1 — х1п(1+1/х) при х -++со стремится к нулю, так что имеем неопределенность вида 1оо О].
Так как при х -~+оо е1 х'~11+114 — 1 1 — х1п(1+1/х), а в силу (6.12) 1/х — 1п(1+ 1/х) (1/х)~/2, то х-~+оо Х ( 1-х!п(1+1/х) -++ е ~ х~ 1 ~ 1 х~ 1 1 1ип — — — 1п ~1+ -~ = 1ип х-++ е х ~ х 1 х-++ е 2х~ 2е Итак, уравнение асимптоты имеет вид у = х/е+ 1/(2е). 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ 226 8.8. Общая схема исследования функции и построение ее графика Наиболее наглядное представление о поведении функции дает ее график. Построению графика функции (точнее, его эскиза) обычно предшествует исследование функции методами теории пределов и дифференциального исчисления, включающее в себя следующие этапы: 1) установление области определения функции, свойств четности (нечетности) и периодичности функции; 2) поиск точек разрыва функции и их классификация, нахождение вертикальных асимптот графика функции и промежутков ее непрерывности; 3) нахождение точек пересечения графика функции Дж) с осями координат, т.е.
значения ДО) и корней уравнения ~(ж) =О; 4) поиск критических точек функции, выделение из них ее точек экстремума, вычисление значений функции в критических точках, установление интервалов монотонности функции; 5) поиск точек переги6а и значений функции в этих точках, установление интервалов выпуклости функции; 6) исследование поведения функции при ю -+:йоо, т.е. нахождение наклонных или горизонтальных асимптот графика функции.
Результаты перечисленных этапов исследования функции позволяют построить эскиз ее графика, достаточно полно характеризующий поведение функции в ее области определения. Эти результаты для упрощения построения эскиза графика целесообразно заносить в сводную таблицу, первая колонка которой содержит значения аргумента ж, соответствующие: а) границам промежутков области определения функции ~(ю) и точкам разрыва этой функции; б) критическим точкам функции ~(ю) и возможным ее точкам перегиба, т.е. точкам, в которых первая ~'(ж) и вторая 8.В.
Общаа схема иссаедования функции и построение ее графика 227 ун(ю) производные обращаются в нуль или бесконечность либо не существуют; в) точкам пересечения графика функции с осью абсцисс, в которых Дж) = О, а также точке ж = 0 (если она входит в область определения функции), для которой обычно нетрудно вычислить значение ~(0) и установить знаки ~'(0) и ~"(0). Кроме того, в первой колонке сводной таблицы указывают все интервалы области определения функции между отмеченными точками. Вторая колонка содержит значения функции Дх) в отмеченных точках и сведения о направлении ее изменения в укаэанных интервалах.
В третью и четвертую колонки заносят значения или знаки ~'(ж) и ~"(ж) в выделенных точках и интервалах. Пятая колонка содержит краткую характеристику поведения функции и особенностей ее графика, а шестая — фрагменты графика в окрестности отмеченных точек и в указанных интервалах, что облегчает окончательное построение эскиза графика во всей области определения функции. Полезно также строить (пусть весьма приближенно) графики производных ~'(х) и ~"(ж) исследуемой функции. Пример.
Рассмотрим последовательность выполнения указанных этапов и заполнения сводной таблицы при исследовании функции и построении ее графика и графиков ее первой и второй производных. 1. Функция определена на всей числовой оси и не является четной, нечетной или периодической (это фумкцил о6гцего вида). 2.
Функция не имеет точек разрыва (а следовательно, и вертикальных асимптот) и непрерывна на всей числовой оси. 3. График функции проходит через качало коордикат,, так как ДО) = 0; кроме того, ~(1) = О. 1Ь' 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ 228 4. Производная функции ~(х) ~(х) = * — 3~/хо(х -1) Зх — 1 1пп ~ (х) = 1пп = — оо, х~хх-О х.х1 — О 3 х/ОО(О 1) Зх — 1 1пп ~'(х) = 11т = +~, х-хххОО х х1+О 3 ~~~О (у — 1) в малой окрестности точки х3 — — 1 при х < 1 ~'(х) <О, а при х > 1 ~'(х) > О, т.е. при переходе аргумента х через значение хр — — 1 производная ~'(х) меняет знак с минуса на плюс и, согласно тереме 8.5, х~ — — 1 является точкой экстремума функции Дх), а именно точкой минимума, причем минимальное значение функции Дхр) = Д1) = О. На графике функции ~(х) значению хз — — 1 соответствует точка возврата(заостпрения), а касательная к графику в этой точке вертикальна.
При хр — — 1/3 производная ~'(х) обращается в нуль, а касательная к графику горизонтальна. При переходе аргумента х через значение хо — — 1/3 производная меняет знак с существует на всей числовой оси, причем в точке хо — — 1/3 она равна нулю (стпационарная тпочка функции Дх)), а в точках х1 —— О и хр — — 1 — бесконечна. Исследуем поведение производной ,~'(х) в окрестности этих критических точек функции ~(х). При переходе аргумента х через значение х3 = 0 производная не меняет знак, оставаясь положительной, т.е.
при х1 — — 0 не выполняются достаточные условия существования экстремума (см. теорему 8.5). Точка х1 — — 0 не является точкой экстремума, так как Дх) = О, а при переходе через эту точку функция Дх) меняет знак. В силу ~'(0) =+со касатпельная к графику функции при х1 = О вертикальна. Перейдем к критической точке х3 — — 1.
Поскольку 8.8. Общая схема исследования функции и лостроение ее графика 229 Таблица 8.1 Краткая характеристика поведения функции Фрагмент графика У(х) У'(х) У"(х) Возрастание, выпуклость вниз (-оо, 0) Точка перегиба с вертикальной касательной х~ — — 0 Возрастание, выпуклость вверх (О, 1/3) Максимум с горизонтальной касательной хо = 1/3 т053 0 Убывание, выпуклость вверх (1/3, 1) Минимум с вертикальной касательной (точка возврата) х2=1 Возрастание, выпуклость вверх (1, +оо) плюса на минус и в силу теоремы 8.5 хо является точкой экстремума, а именно точкой максимума функции ~(х), причем Дхо) =,Г(1/3) = ~4/3 и 0,53.
Итак, при х Е (-оо, 1/3) ~'(х) > О и в силу теоремы 8.2 функция ~(х) возрастает, при х Е (1/3, 1) ~'(х) < О и функция убывает, а при х б (1, +ос) опять ~'(х) > О и функция снова возрастает. Во второй колонке табл. 8.1 (как и в табл. 8.2 и 8.3) возрастание и убывание функции отмечены наклонными стрелками.
8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 230 5. Вторая производная функции Дх) ~"( ) = 9 ~х~!х — 1)4 6. Так как пределы . М . *~*-1)* Ь= Бт — = 11т = 11т 1 — — =1 Ф-+00 Х т-+00 Х й-+00 Х Ь= 1!т ~~(х) — Ьх) = 1!т (~х!х — 1)х — х) = 1 ~ 2/3 (1 + р)2/3 = 11в х (1 — -) — 1 = — 1ип ~-+00 ~ Х д-+0 у 3 существуют, график функции Дх) имеет двустороннюю наклонную асимптоту с уравнением у= Йх+6, или у=х — 2/'3. С использованием сводной таблицы 8.1 на рис.