Главная » Просмотр файлов » II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного

II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 29

Файл №1081372 II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска) 29 страницаII Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372) страница 292018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

В этом случае Ь = 11пъ (~(х) — Зсх) = 1ип фх) — йх) = 1пп (~(х) — йх). Если существует конечный предел 1пп Дх) = 61, то прях-++ОО мая у = 61 является правосторонней горизонтальной асимптотой графика функции ~(х), а если существует 1пп Дх) = = 6~ б И, то прямая у = 62 будет левосторонней горизонтальной асимптотой графика этой функции. При 61 — — 62 график функции ~(х) имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту (на рис. 8.15 прямая у= 1 и на рис.

8.10 прямая у= 0). Прямую у = йх+ 6 (й ф. О) называют правосторонней (левосторонней) наклонной асимптотой графика функции ~(х), если эту функцию можно представить в виде ~(х) = Йх+6+ +а(х), где а(х) — бесконечно малая функция при х -++оо (при х -+ — оо). Из теоремы 10.6 [1] следует: чтобы график функции ~(х) имел правостороннюю наклонную асимптоту у = Й1х+ 61, необходимо существование двух конечных преде- лов 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 224 Пример. а. Найдем асимптоты графика функции хг — Зх+ 1 Функция определена при Чх Е В ~ (О~. Вычислим пределы г 3+1 хг — Зх+ 1 Им = -оо и 1пп = +со. ю-~ -0 х х-++О х Следовательно, прямая х = Π— двусторонняя вертикальная асимптота графика рассматриваемой функции.

Для нахождения наклонных асимптот графика представим эту функцию в виде хг — Зх+ 1 1 ~(х) = = х — 3+ —. х х Так как 1/х -+ О при х -+ оо, то из определения наклонной асимптоты следует, что прямая у = х — 3 является двусторонней наклонной асимптотой графика указанной функции. Поскольку 1/х >О при х >О У у-х-3 и 1/х < О при х < О, кривая У(х) графика лежит выше асимптоты при х-++оо и ниже ее при х-+ -оо (рис.

8.16). б. Найдем асимптоты -3 графика функции ~(х) = е~. Так как эта функция непрерывна на всей числовой прямой, то вертикальных асимптот ее график не имеет. Исследуем поведение функции Рис. 8.16 при х -+ =~ос. Поскольку Ясно, что горизонтальные асимптоты являются частным слу- чаем наклонных при й = О. 8.7. Асимптоты графика Функции 225 1ип е =+оо, а 1ип е =О, х-++оо х-+-оо прямая у = 0 является левосторонней горизонтальной асимптотой графика функции ~(х) = ех (см.

рис. 5.9). Так как при х -+ -оо ех/х -+ О, а при х -+ +оо ех/х -+ +со, то наклонных асимптот зта функция не имеет. Пример. Проверим, есть ли наклонные асимптоты у графика функции Хх+1 '(') - (1+*)- Функция определена при х > О. Поэтому у графика этой функции может быть лишь правосторонняя асимптота с уравнением у = Йх+ 6 при условии, что существуют пределы Й= Г1п1 — и 6= !ип (~(х) — Йх). У(х) х-++оо Х х-++со Подставляя в последнее равенство выражение для ~(х) и учитывая второй замечательцый предел, получаем Хх+1 1 1 й = 1ип 1ип х-++ х(1+ х)х -++оо (1+ 1/х)х е' х+' х . х 6 = 1ип - (е' ' "1 '~ 1 — 1).

-++ о (1+ х) е х-++оо е В правой части последнего равенства первый сомножитель х/е при х-++оо стремится к +оо, авторой — к нулю, поскольку показатель степени 1 — х1п(1+1/х) при х -++со стремится к нулю, так что имеем неопределенность вида 1оо О].

Так как при х -~+оо е1 х'~11+114 — 1 1 — х1п(1+1/х), а в силу (6.12) 1/х — 1п(1+ 1/х) (1/х)~/2, то х-~+оо Х ( 1-х!п(1+1/х) -++ е ~ х~ 1 ~ 1 х~ 1 1 1ип — — — 1п ~1+ -~ = 1ип х-++ е х ~ х 1 х-++ е 2х~ 2е Итак, уравнение асимптоты имеет вид у = х/е+ 1/(2е). 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ 226 8.8. Общая схема исследования функции и построение ее графика Наиболее наглядное представление о поведении функции дает ее график. Построению графика функции (точнее, его эскиза) обычно предшествует исследование функции методами теории пределов и дифференциального исчисления, включающее в себя следующие этапы: 1) установление области определения функции, свойств четности (нечетности) и периодичности функции; 2) поиск точек разрыва функции и их классификация, нахождение вертикальных асимптот графика функции и промежутков ее непрерывности; 3) нахождение точек пересечения графика функции Дж) с осями координат, т.е.

значения ДО) и корней уравнения ~(ж) =О; 4) поиск критических точек функции, выделение из них ее точек экстремума, вычисление значений функции в критических точках, установление интервалов монотонности функции; 5) поиск точек переги6а и значений функции в этих точках, установление интервалов выпуклости функции; 6) исследование поведения функции при ю -+:йоо, т.е. нахождение наклонных или горизонтальных асимптот графика функции.

Результаты перечисленных этапов исследования функции позволяют построить эскиз ее графика, достаточно полно характеризующий поведение функции в ее области определения. Эти результаты для упрощения построения эскиза графика целесообразно заносить в сводную таблицу, первая колонка которой содержит значения аргумента ж, соответствующие: а) границам промежутков области определения функции ~(ю) и точкам разрыва этой функции; б) критическим точкам функции ~(ю) и возможным ее точкам перегиба, т.е. точкам, в которых первая ~'(ж) и вторая 8.В.

Общаа схема иссаедования функции и построение ее графика 227 ун(ю) производные обращаются в нуль или бесконечность либо не существуют; в) точкам пересечения графика функции с осью абсцисс, в которых Дж) = О, а также точке ж = 0 (если она входит в область определения функции), для которой обычно нетрудно вычислить значение ~(0) и установить знаки ~'(0) и ~"(0). Кроме того, в первой колонке сводной таблицы указывают все интервалы области определения функции между отмеченными точками. Вторая колонка содержит значения функции Дх) в отмеченных точках и сведения о направлении ее изменения в укаэанных интервалах.

В третью и четвертую колонки заносят значения или знаки ~'(ж) и ~"(ж) в выделенных точках и интервалах. Пятая колонка содержит краткую характеристику поведения функции и особенностей ее графика, а шестая — фрагменты графика в окрестности отмеченных точек и в указанных интервалах, что облегчает окончательное построение эскиза графика во всей области определения функции. Полезно также строить (пусть весьма приближенно) графики производных ~'(х) и ~"(ж) исследуемой функции. Пример.

Рассмотрим последовательность выполнения указанных этапов и заполнения сводной таблицы при исследовании функции и построении ее графика и графиков ее первой и второй производных. 1. Функция определена на всей числовой оси и не является четной, нечетной или периодической (это фумкцил о6гцего вида). 2.

Функция не имеет точек разрыва (а следовательно, и вертикальных асимптот) и непрерывна на всей числовой оси. 3. График функции проходит через качало коордикат,, так как ДО) = 0; кроме того, ~(1) = О. 1Ь' 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ 228 4. Производная функции ~(х) ~(х) = * — 3~/хо(х -1) Зх — 1 1пп ~ (х) = 1пп = — оо, х~хх-О х.х1 — О 3 х/ОО(О 1) Зх — 1 1пп ~'(х) = 11т = +~, х-хххОО х х1+О 3 ~~~О (у — 1) в малой окрестности точки х3 — — 1 при х < 1 ~'(х) <О, а при х > 1 ~'(х) > О, т.е. при переходе аргумента х через значение хр — — 1 производная ~'(х) меняет знак с минуса на плюс и, согласно тереме 8.5, х~ — — 1 является точкой экстремума функции Дх), а именно точкой минимума, причем минимальное значение функции Дхр) = Д1) = О. На графике функции ~(х) значению хз — — 1 соответствует точка возврата(заостпрения), а касательная к графику в этой точке вертикальна.

При хр — — 1/3 производная ~'(х) обращается в нуль, а касательная к графику горизонтальна. При переходе аргумента х через значение хо — — 1/3 производная меняет знак с существует на всей числовой оси, причем в точке хо — — 1/3 она равна нулю (стпационарная тпочка функции Дх)), а в точках х1 —— О и хр — — 1 — бесконечна. Исследуем поведение производной ,~'(х) в окрестности этих критических точек функции ~(х). При переходе аргумента х через значение х3 = 0 производная не меняет знак, оставаясь положительной, т.е.

при х1 — — 0 не выполняются достаточные условия существования экстремума (см. теорему 8.5). Точка х1 — — 0 не является точкой экстремума, так как Дх) = О, а при переходе через эту точку функция Дх) меняет знак. В силу ~'(0) =+со касатпельная к графику функции при х1 = О вертикальна. Перейдем к критической точке х3 — — 1.

Поскольку 8.8. Общая схема исследования функции и лостроение ее графика 229 Таблица 8.1 Краткая характеристика поведения функции Фрагмент графика У(х) У'(х) У"(х) Возрастание, выпуклость вниз (-оо, 0) Точка перегиба с вертикальной касательной х~ — — 0 Возрастание, выпуклость вверх (О, 1/3) Максимум с горизонтальной касательной хо = 1/3 т053 0 Убывание, выпуклость вверх (1/3, 1) Минимум с вертикальной касательной (точка возврата) х2=1 Возрастание, выпуклость вверх (1, +оо) плюса на минус и в силу теоремы 8.5 хо является точкой экстремума, а именно точкой максимума функции ~(х), причем Дхо) =,Г(1/3) = ~4/3 и 0,53.

Итак, при х Е (-оо, 1/3) ~'(х) > О и в силу теоремы 8.2 функция ~(х) возрастает, при х Е (1/3, 1) ~'(х) < О и функция убывает, а при х б (1, +ос) опять ~'(х) > О и функция снова возрастает. Во второй колонке табл. 8.1 (как и в табл. 8.2 и 8.3) возрастание и убывание функции отмечены наклонными стрелками.

8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 230 5. Вторая производная функции Дх) ~"( ) = 9 ~х~!х — 1)4 6. Так как пределы . М . *~*-1)* Ь= Бт — = 11т = 11т 1 — — =1 Ф-+00 Х т-+00 Х й-+00 Х Ь= 1!т ~~(х) — Ьх) = 1!т (~х!х — 1)х — х) = 1 ~ 2/3 (1 + р)2/3 = 11в х (1 — -) — 1 = — 1ип ~-+00 ~ Х д-+0 у 3 существуют, график функции Дх) имеет двустороннюю наклонную асимптоту с уравнением у= Йх+6, или у=х — 2/'3. С использованием сводной таблицы 8.1 на рис.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,61 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Зарубин В.С., Крищенко А.П
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6525
Авторов
на СтудИзбе
301
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее