II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 25
Текст из файла (страница 25)
условии,еоэрастаниа и убываниа Функцый ~(х+ Ьх) > У(х). Следовательно, разиостное отпношение Дх+ Ьх) — ~(х) >О, Ьх Ипд >О Чхб(а,6), й, -+о Ьх т.е. ~'(х) > 0 для всех х Е (а, 6). ь Рассмотрим теперь достаточное условие строгой монотонности функции. Теорема 8.2. Если для дифференцируемой в интервале (а, 6) функции Дх) выполнены условия: 1) У'(х) > О (У'(х) < 0) Чх Е(а, 6); 2) ~'(х) не обращается тождественно в нуль ни в каком промежутке ЕС (а, 6), то Дх) возрастает (убывает) в этом интервале. 4 Возьмем любые хд, хг в интервале (а, 6), такие, что хд < < хр. Для функции Дх) на отрезке (хд, хр) выполнены все условия теоремы 5.3 Лагранжа, поэтому Дх~) — ~(хд) = ~ (с)(хр — хд), с (= (хд, хр).
Так как по условию теоремы ~'(х) > 0 Чх Е (а, 6), то и ~(хр) — Дхд) > О. Следовательно, функция ~(х) не убывает в интервале (а, 6). А тогда будет не только Дхд) < Дхр), но и ~(хд) < Дх) < Дх~) Чх Е (хд, хд). дз' и, согласно свойству предела знакопостоянной функции (1, 7.3), если предел разностного отношения существует, то он не отрицателен. Для дифференцируемой функции ~(х) такой предел существует и равен ее производной (см. определения 1.2 и 1.3). Таким образом, в.
исслкдовлние функций 196 Покажем, что в последнем соотношении хотя бы одно из неравенств на самом деле является строгим. Действительно, если предположить, что ~(хд) = Дхр), то получим Дхд) ( ~(х) < ~(хг) = ~(хд) Чх 6 (хд, х~), т.е. функция является постоянной в интервале (хд, х2), а тогда ~'(х) =0 для всех х Е (хд, хр) (см. следствие 5.2), что невозможно в силу условия 2 теоремы. Поэтому Дхд) < ~(х2) при хд ( хр, т.е.
функция Дх) возрастает в интервале (а, Ь). Итак, доказано достаточное условие возрастания функции. Доказательство достаточного условия убывания функции аналогично. ~ Теорема 8.3. Дифференцируемая в интервале (а, 6) функция ~(х) не убывает (не возрастает) в этом интервале тогда и только тогда, когда для всех х б (а, Ь) У'(х) > 0 (У'(х) < О). Доказанные теоремы имеют следующий геометрический смысл: если в интервале (а, 6) функция ~(х) возрастает, то касательная к кривой у = ~(х) для всех х Е (а, 6) образует острый угол с осью Ох(в конечном числе точек касатель- У ная может быть горизонтальна).
~< > з Так, например, функция дх) = хз возрастает на всей числовой пряд(х)-хд~з мой (рис. 8,1), но ее производная ~'(х) = Зх~ равна нулю при х = О. о х Если же функция ~(х) убывает в интервале (а, 6), то касательная к кривой у=~(х) для всех хб(а, 6) образует тупой угол с осью Ох (в конечном числе точек касательная Рис.
8.1 может быть горизонтальна). Из теорем 8.1 и 8.2 вытекают необходимое и достаточное условия не убывания (не возрастания) функции в интервале. 197 8.2. Эксхремум фуккции Пример. Найдем интервалы возрастания и убывания функции у = хз — Ях2/2+6х. Эта функция определена для всех х е И.
Ее производная у'=Зх2— — 9х+ 6 = З(х — 1)(х — 2) положительна в интервалах ( — оо, 1) 5 и (2, +оо) и отрицательна в 2 — — ~ —— интервале (1, 2) между нулями ~У=х 9х ~2+бх квадратпноао трехчлена Зх2— — Ях+6. Следовательно, в силу теоремы 8.2 данная функция в ! интервалах (-оо, 1) и (2, +ос) возрастает, а в интервале (1, 2) убывает (рис.
8.2). Рис. 8.2 8.2. Экстремум функции. Необходимые условия существования экстремума Пусть функция ~(х) определена в интервале (а, о). Определение 8.1. Значение ~(хо) в точке хо Е (а, 6) называют локальным максимумом (локальным минимумом) функции Дх), если существует такая проколотая о окрестность 13(хо) С (а, о) точки хо, что о Чх Е 0 (хо) Дх) ( Дхо) (~(х) ~ У(хо) ) . (8.1) Рассмотренные теоремы верны для непрерывной в интервале функции, недифференцируемой в конечном числе точек этого интервала.
Это непосредственно следует из хода доказательства теорем, если его применять последовательно ко всем интервалам, на которые разбивают область определения непрерывной функции укаэанные точки. Итак, знакопостоянство производной ~'(х) в интервале (при условии, что она обращается в нуль только в конечном числе точек этого интервала) достаточно для строгой монотонности функции Дх) в данном интервале.
8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 198 Рис. 8.3 Замечание 8.1. Если в (8.1) выполнены строгие неравенства, то хо называют тпочкой стпрогого локального максимума (минимума), объединяя эти понятия общим термином тпочкв стпрогого локального экстпремума. На рис. 8.3 Локальный максимум и локальный минымум объединяют общим термином локальный экстпремум, а точку хо называют тпочкой локального экстпремума (максимума или минимума) фунж~ии. При этом говорят, что в точке хо функция ~(х) достигает локального экстремума (максымума или мины- мума). На рис.
8.3 сплошной линией изображен график функции ~(х), определенной на отрезке ~а, Ь]. В данном случае точки х, Ы и х1 — точки локального максимума, с и хз— точки локального минимума, все х Е (с, й) — точки локального экстремума (локальных максимума и минимума одновременно). Функция не определена в полной окрестности концов отрезка [а, 61 и поэтому точки а и 6 не являются точками локального экстремума. 8.2.
Экстремум фушсции 199 х„а и х1 — точки строгого локального максимума, х2— точка строгого локального минимума. Далее слова „строгий" и „локальный" будем опускать. При этом точку хд будем называть пъочкой экстпремума ~максимума или минимума), а значение ~(хо) функции — экстпремвлъмым (мвксимвлънъам или мииималъкым). Если в точке хо функция Дх) достигает максимума или минимума, то будем писать соответственно ~(хо) = ~ или Дхо) = ~;„. Таким образом, на рис.
8.3 х„Ы, х1 и хг — точки экстремумафункции Дх) (х„а и х1 — точки максимума и х2— точка минимума). Следует заметить, что максимальное значение функции ~(х) в интервале (а, 6) не обязано быть больше любого минимального значения этой функции в данном интервале. Например, максимальное значение Дх,) функции Дх), график которой изображен на рис. 8.3, меньше ее минимального значения ~(х2).
Теорема 8.4 (необходимое условие существования экстремума дифференцируемой функции). Если функция Дх) дифференцируама в тпочке хо и имеет в этой точке экстремум, то ~'(хо) = О. ° й Пусть для определенности хо — точка максимума. Из определения 8.2 максимума функции ~(х) в точке хо следует, что у этой точки существует некоторая окрестность 13(хо), в которой данная функция принимает наибофьшее значение. Тогда в этой окрестности для дифференцируемой в точке хо функции выполнены все условия теоремы 5.1 Ферма, из которой сразу следует, что ~'(хо) = О. Доказательство для случая строгого локального минимума в точке хо аналогично.
~ Теорема 8.4 имеет простой геометрический смысл: касатпельная к кривой у=~(х) в точке (хо, ~(хо)), соответствующей точке хо экстремума дифференцируемой в ней функции ~(х), обязательно параллельна оси Ох (например, точка х1 на рис. 8.3). 200 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ Определение 8.2. Точки, в которых ороизводиая функции Дх) равна нулю, называют стпациоиарными тпочками этой фрикции. На рис. 8.3 стационарными точками являются х1, хз и все х Е ~с, Ы). Из теоремы 8.4 следует, что дифференцируемая функция может достигать экстремума только в своих стационарных точках.
Однако не во всякой стационарной точке функция имеет экстремум. Так, на рис. 8.3 экстремума (максимума) функция достигает лишь в одной из своих стационарных точек — в точке х1. Пример функции ~(х) =хз (см. рис. 8.1) также показывает, что ее производная ~'(х) = Зх~ равна нулю при х =О, т.е. х =0 является стационарной точкой этой функции, но экстремума в этой точке у данной функции нет. Рассмотрим теперь функции, ироызводиые которых в отдельных точках бесконечны или не существуют. Например, функция Дх) = 1 — ~Гх~ (см.
пример 5.1. б) имеет максимум У в точке х = О, тогда как ее производная в этой точке бесконеч- З,у ~Ф на (см. рис. 5.5,б), а функция ф у = ~х — 3~ (х Е И) имеет минимум в точке х = 3 (рис. 8.4), хотя ее производная в указанз х м нои точке не существует. СлеРис. 8.4 довательно, точки, в которых производная функции бесконечна или не существует, также могут быть точками экстремума этой функции. Но, разумеется, и в этом случае одно лишь отсутствие производной или же обращение ее в бесконечность не гарантирует наличие экстремума.
Примером может служить функция д(х) = х'1з (х (= К), которая имеет бесконечную производную при х = О, однако у данной функции экстремума в этой точке нет, поскольку в любой ее окрестности эта функция принимает как положительные, так и отрицательные значения (см. рис. 8,1). В.З. Достаточные условии существовании экстремума функции 201 Итак, необходимое условие существования экстремума в общем случае может быть сформулировано следующим образом: если функция ~(х) имеет экстремум в точке хо, то либо она дифференцируема в этой точке и ее производная ~'(хо) = О, либо функция недифференцируема в точке хо.
Определение 8.3. Точки, в которых производная функции ~(х) равна нулю, бесконечна или не существует вовсе, называют критиическими тпочками функции (иногда — точками, подозрительными на экстремум). На рис. 8.3 критическими будут точки хз, х„все х б [с, а1, х4, х1, хз и хб. Еслиэкстремум функции достигается вточке, где производная бесконечна или не существует, то его часто называют острым зкствремумом (см. рис. 8.4) в отличие от емадкоео экстремума, который достигается в стационарной точке функции (точка х1 на рис.
8.3). Пример 8.1. Найдем критические точки функции ~(х) = = ' (1 — х)(х — 2)2. Эта функция определена на всей числовой оси. Ее производная обращается в нуль при хо — — 4/3 и бесконечна при х1 — — 1 и х2 — — 2. Таким образом, данная функция имеет три критические точки: хо — — 4/3, х1 — — 1 и х~ — — 2. 8.3. Достаточные условия существования экстремума функции Теорема 8.5.
Пусть функция р = ~(х) непрерывна в некоторой окрестности 13(хо) критической точки хо и дифферекиируема во всех точках этой окрестности (кроме, быть может, самой точки хо). Если при переходе аргумента х слева направо через эту точку производная ~'(х) меняет знак, то в точке 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 202 х0 функция Дх) имеет экстпремум, причем если производная меняет знак с минуса на плюс, то Дхе) = Д,„;„, если же с плюса на минус, то Дх0) =У,„.
~ Выберем произвольные х1, хр б Щх0) так, чтобы х1 < < х0 < х~. Функция ~(х) непрерывна на отрезках [х1, хе1 и [хе, х~~ и дифференцируема в интервалах (х1, х0) и (х0, х2), т.е. удовлетворяет условиям теоремы 5.3 Лагранжа.
Поэтому, согласно формуле (5.1) Лагранжа, У(х1) — 1( о) = Г(с~)(х1 — о) с1 ~ ( 1 О)' Дх~) — ~(хе) = ~'(ср)(хр — хе), с~ б (х0, х2). Отсюда, если ~'(с1) <О, а ~'(сз) >О, то Дх1) >Дхе), Дхр) > о > У(хе). Поэтому ~(х) > ~(х0) Ух Е 11(хе) и, согласно определению 8.1, Дх0) = Дп,;„. Если же ~'(с~) > О, а ~'(ср) < О, то о ~(х) < Дхо) Чх б У(хо), т.е. Дхо) = Лпвх Ф Пример. а. Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции у(х) = х~(х — 1)з. Функция определена на всей числовой прямой. Ее производная у'(х) = 2х(х — 1) + Зх~(х — 1) = х(х — 1)~(5х — 2), т.е. функция имеет три стпационарные твочка х1 —— О, х~ = =2/5=0,4 и хз — — 1. Они выделяют на числовой оси четыре интервала (-оо, 0), (О, 0,4), (0,4, 1) и (1, +со), на каждом из которых производная сохраняет знак, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
