II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 26
Текст из файла (страница 26)
в силу теоремы 8.2 функция строго монотонна, а именно: в интервале (-оо, 0) у' > 0 — функция возрастает; в интервале (О, 0,4) у' < 0 — функция убывает; в интервалах (0,4, 1) и (1, +со) у' > 0 — функция возрастает. Согласно теореме 8.5, в точке х1 = 0 функция имеет максимум, причем у(0) = О, в точке хр — — 0,4 у(хр) = у,„;„, причем В.З.
Достаточиые условии существоваиив экстремума функции 203 у(0,4) = -108/3125 = -0,03456. В точке хз — — 1 экстремума нет, так как при переходе аргумента х через эту точку производная у'(м) не меняет знак, хотя у'(1) = О. График функции приведен на рис. 8.5, а.
Рис. 8.5 б. Для составной функции при х <О, при ж >0 2м+ 3 производная -1 при х <О, 2 при ю>0 ( Зюз+2 при х ~60, 4 при я=О существует во всех точках, кроме з = О, и меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента через точку х = О, но у этой функции (рис. 8.5, б) нет экстремума (у(0) = 3 > ~(х) при -3 < х < 0 и у(О) = 3 < ~(ю) при ю > 0). Отсутствие экстремума связано с нарушением одного из условий теоремы 8.5, а именно условия непрерывности функции в ее критической точке (в данном случае — в точке х = 0). в. У составной функции 204 8.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ производная у'= бх существует во всех точках, кроме х = О, и меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку х = О. Тем не менее эта функция имеет в точке х = 0 не минимум, а максимум, что нетрудно проверить непосредственно (рис. 8.5, в). Дело в том, что теорема 8.5 не применима и в данном случае, так как функция терпит разрыв в точке х = О. ~ Таким образом, установленное в теореме 8.5 достаточное условие существования экстремума нельзя использовать, если функция не является непрерывной в критической точке. Оно не применимо и тогда, когда любая проколотая окрестность рассматриваемой критической точки функции содержит бесконечное множество других ее критических точек, а производная этой функции не сохраняет определенного знака в любой полу- окрестности рассматриваемой точки.
Характерным примером такого рода является составная функция ~(х) = х 0 при хфО, при х=О, 1 1 ~'(х) = 2хв1п — — соарассматриваемой функции бесконечное число раэ меняет знак. Поэтому в данном случае теорему 8.5 нельзя использовать. По той же причине не применима теорема 8.5 и к функции ,Г х ~2+яп-) при х ф.О, х 0 при х =О. график которой представлен на рис. 4.6. Составим для этой функции разносптое отношение в точке х = 0: Ь|(0) У(Ьх) У(0) 1 — Ьхип —. Поскольку при Ьх -+ 0 ЬДО)/Ьх -+ О, из определения 1.2 производной следует, что ~'(0) = О.
Однако в любой сколь угодно малой полуокрестности стационарной точки х = 0 производ- ная 8.3. Достаточные условии существования экстремума функции 205 Различие между этими функциями состоит в том, что для второй из них существует проколотая окрестность точки х = О, в которой ~(0) = 0 < Дх), и, согласно определению 8.1, в этой точке она имеет минимум, а для первой из них нельзя указать такой проколотой окрестности, в которой было бы либо ~(0) = О < Дх), либо ~(0) = 0 > ~(х), т.е. первая из функций экстремума в точке х=О не имеет. Теорема 8.6.
Пусть функция Дх) а раз дифференцируема в точке хо, причем все ее производные до (п — 1)-го порядка включительно в этой точке равны нулю: ~'(хо) = ~"(хо) =... = = ~ф" Ц(хо) =О, а ~®(хо) ф-О. Тогда, если и четное, то в точке хо функция имеет экстремум, причем при ~ф"~(хо) < 0 У(хо) = Хвоях~ а при ~ф"~(хо) > 0 У(хо) = Ум~в.
~ Представим функцию ~(х) в окрестности 131(хо) точки хо формулой Тейлора порядка н — 1 с остаточным членом в форме (7.13) Пеано: У(х) = У(хо)+У'(хо)(х- хо)+" + где а(х) — функция, бесконечно малая при х -+ хо. Поскольку по условию теоремы ~'(хо) = ... = ф" '1(хо) = О, формулу Тейлора можно переписать в виде (8.2) При п четном в ($.2) сомножитель (х — хо)" > О Чх б 0~(хо). Так как а(х) -+О при х-+хо, то ~~"~(хо) + а(х) ~~"~(хо) х-+хо п~ яЛ и в силу знакопостоянства функции, имеющей ненулевой конечный предел 11, 7.4), у точки хо существует окрестность 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 206 Из хода доказательства теоремы 8.6 видно, что для нечетного п сомножитель (х — хо)" в (8.2) меняет знак при переходе аргумента х через значение хо, и поэтому точка хо не будет точкой экстремума функции ~(х). Таким образом, четность и является не только достаточным, но и необходимым условием существования в точке хо экстремума функции ~(х), для которой существует и конечна не равная нулю производная У®(хо), а У®(хо) =О при Й=О,я — 1.
Пример. Для функции Рис. 8Я Дх) =х (тЕ И) все производные до порядка т — 1 включительно в точке х =0 равны нулю, а ~~~1(0) =т. '>О. При т четном х = 0 — точка минимума этой функции, а при т нечетном функция Дх) =х'" в точке х=О не имеет экстремума (рис. 8.6). $32(хо), в которой функция ф")(хо)+а(х) сохраняет знак значения ф"1(хо).
А тогда из (8.2) следует, что у точки хо о о о существует проколотая окрестность 0(хо) = 01(хо) О Щхо), в которой знак разности Дх) — ~(хо) совпадает со знаком значения ф"1(хо), а именно: при ф"~(хо) < 0 У(х) с У(хо) о Чх Е 0 (хо) и, по определению 8.1, У(хо) = ~~~; при ~ф") (хо) > О о У(х) > ~(хо) Чх б 0(хо) и, по определению 8.1, ~(хо) = Лы,.
~ 8А. Условив выпуклости фуиисции 207 Следствие 8.2. Если х0 является стационарной точкой функции Дх), т.е. ~'(х0) =О, а ~"(х0) существует, конечна и не равна нулю, то при Г(х0) < О ~(х0) = ~~~, а при Г'(х0) > ) О У(хО) = Упндд 8.4. Условия выпуклости функции Определение 8.4.
Фуннцито Дх), определенную в интервале (а, 6), называют выиукмой вверх (вниз) в этом интпервохе, если Чхд, хг д= (а, 6) и Чд6 (О, 1) ~~рсхд+ (1 — д)хг) > дЯхд) + (1 — д)~(хг) (8.3) (Ядх, +(1 — д)ид) ~ д/(к~)+ ~1 — д)Дхд)). Если в (8.3) при хд ~~ хг выполнены строгие неравенства, то ~(х) стпрого выиумюа вверх (вниз) в интперволе (а, 6). Если о функции говорят, что она выпуклая (или строго выпуклая) и не указывают направление выпуклости, обычно имеют в виду выпуклость (или строгую выпуклость) вниз. Покажем, что любая дуга графика строго выпуклой вверх (вниз) функции Дх) лежит выше (ниже) стягивающей эту дугу хорды (рис. 8.7, а и б). Рассмотрим любые точки хд < хг из интервала (а,6). Ясно, что х = д7хд+ (1 — Ч)хг Е (хд, хг) Чч Е (О, 1), Рис.
8.Т 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ 208 а уравнение хорды, проведенной через точки (х1, Дх1)) и (х2, Дх2)), имеет вид у= Лх2)-У( ) ( — х )+У( ) Х2 Х1 Подставим в это уравнение предыдущее равенство и получим, что абсциссе х будет соответствовать ордината хорды у = ~У(х1)+ (1- ЮШх2) ° У(х) — ~(х1) ~(х2) — ~(х) 1 Х1 Х2 т.е. угловой хоэффициент хорды АМ на рис. 8.7, а не меньше (а для строго выпуклой вверх функции — больше) углового коэффициента хорды ВМ. Теорема 8.Т. Дифференцируемая в интервале (а, 6) функция ~(х) выпукла (строго выпукла) вверх в (а, 6) тогда и только тогда, когда ее производная Г'(х) не возрастает (убывает) в этом интервале. ~ Сначала докажем необходимость. Переходя в (8.4) к пределу сперва при х -+ х1, а затем при х -+ х2 и учитывая правило В силу (8.3) ордината ~(дх1+ (1 — д)х2) точки, лежащей на дуге графика выпуклой вверх (вниз) функции ~(х), для той же абсциссы х = дх1+ (1 — д)х2 больше (меньше) ординаты точки, лежащей на хорде, что и требовалось показать.
Ограничимся далее рассмотрением функций, выпуклых вверх и строго выпуклых вверх (полученные результаты легко перенести на функции, выпуклые вниз и строго выпуклые вниз). Возьмемл1обыеточки х1 и х2 из (а,б),такие, что х1<х2. Обозначим дх1+ (1 — д) х2 —— х, где д (= (О, 1). Тогда х б (х1, х2), д = (х2 — х)/(х2 — х1) и для выпуклой вверх функции из (8.3) следует 8.4.
Условии выпуклости функции 209 предельного перехода в неравенстве ~1, 7.41 и определение 1.2 производной, получаем ~'(х1) » >)» Дхг), а< х1< хг <6, У( г) — У( ) хг-Х1 т.е. для выпуклой вверх и дифференцируемой в интервале (а, 0) функции необходимо, чтобы ее производная не возрастала в (а, 0). Для строго выпуклой вверх функции ~(х) вместо (8.4) справедливо Дх) — Дх~) Дхг) — Дх) > х — х1 хг Применяя к разностям Дх) — ~(х~) и Дхг) — Дх) формулу (5.1) Лагранжа, приходим к выводу, что существуют такие точки с1 и сг (х1<с1 <х<сг<хг), для которых Дх) У(х1) Дхг) — ~(х) х-Х1 хг-х Так как производная ~'(х) не возрастает в интервале (а, 0), то ~'(х1) > ~'(с1) и ~'(сг) > ~'(хг), а тогда ~'(Х1) > ~'(хг), т.е. для строго выпуклой вверх функции производная ~'(х) убывает в (а, Ь).
Докажем теперь, что условие невозрастания (убывания) производной ~'(х) достаточно для выпуклости (строгой выпуклости) вверх функции Дх). Так как функция ~(х) дифференцируема в интервале (а, 6), то она непрерывна на любом отрезке ~х1, хг) С (а, 6) и, согласно пьеореме 5.3 Лагранжц при а < х1 < с1 < х < сг < хг < 6 Их) — У(хт) ~,( ) У(хг) — Их) ~г( ) х х1 хг — х Отсюда при ~'(с1) > ~'(сг) (производная не возрастает) следует (8.4), т.е. выпуклость вверх функции ~(х), а при ~'(с1) > > ~'(сг) (производная убывает) в (8.4) получим строгое неравенство, соответствующее строгой выпуклости вверх этой функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
