II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 24
Текст из файла (страница 24)
6Ь 62/4 — Ь~ Зависимость 5 от а представим по формуле Маклорена Я(а) = — а — — +0(а ), а — ~ О. 2В~ з т 3 5 (7.41) Сначала построим при достаточно малых значениях а простую приближенную формулу для площади кругового сегмента, представив его как часть прямоугольника АСЧР (см. рис. 7.4), т.е. приняв при Й < 1 (7.42) Для определения коэффициента й подставим в (7.42) 6 = = 2Вз1па = 2Ва+0(аз) и Ь = В(1-соза) = Ва~/2+0(а4) и запишем Я ~ йВ~аз+ 0(аз), а затем приравняем йВ~ коэффициенту 2В~/3 при аз в (7.41). Тогда получим й = 2/3. Геометрически этот результат соответствует приближенной Д.7.1.
Формула Тейлора в приближенных вычислениях 185 замене круговой границы сегмента дугой квадратной параболы, проведенной через три точки А, Р и С (см. рис. 7.4). Попытаемся построить более точную по сравнению с (7.42) формулу в виде (7.43) Я- (тЬ+пс)Й, где с=2Вв1п(а/2) — длинахорды АР. Коэффициенты т и и подберем способом, аналогичным предыдущему случаю. После подстановки Ь = 2Во — Ваз/3+ 0(а~), с = Ва - Ва~/24+ О (а~) и й = Ва2/2 — Ва"/24+ О(а6) в (7.43) запишем 2т+и з 12т+Зп 15 (7.44) Для (7.44) погрешность имеет седьмой порядок малости по сравнению с о п ри а -+ О, а для (7.42) при значении Й = 2/3— пятый порядок малости.
б. Подберем коэффициенты А и В так, чтобы при х-+О 1+ Ах~ ~К вЂ”, +0(х ). +В з Умножением этого равенства на (х+ Вхз) апх получим (х+ Вхз) созх = (1+ Ах~) яп х+ 0(х ) и, воспользовавшись (7.28) и (7.29), найдем (х+В зф- — ', + — ', +О( ')) = ,3 5 = (1+ А ') ( — — ', + — *, +О( '))+О( '). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях а в этом выражении и в (7.41), найдем 1/3 = т/2+ п/4 и 1/15 = =т/8+и/32. Отсюда т =6/15 и п=8/15, и в итоге вместо (7.43) получим 7, ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 186 Отсюда хз + +О( 7)+В 3 В 2 24 .. 2 хз хь 5 — + + 0(х7') + Ахз А 6 120 6 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, по- лучим систпему двух линейных алгебраических уравнений 1 1 1 1 — — -В = — — -А, 24 2 120 6 1 1 --+В= — — +А и 2 6 решением которой будет А = -2/5 и В = -1/15.
В итоге при х-+О 1 — 2х~/5 ®.— 3 +0( ) х — хз/15 Дополнение 7.2. Обобщенная теорема о среднем значении Формулу Тейлора с остпапьочным членом в форме Лагранжа можно получить как следствие обобщенной теоремы о среднем значении. и (У(х) — ~, (з — а) ) д~"+1)(с) = ~=0 и ~ц = (д(х) — ~, (х — а)")~~"~ )(с). (7.45) а=о Теорема 7.3. Если функции ~(х) и у(х) определены в некоторой окрестности 1) (а) точки а и имеют в 1) (а) производные до (п + 1)-го порядка включительно, причем у~"+'1(х) ф. 0 Чх Е 1.)(а), то между точками а и х Е 1.)(а) найдется хотя бы одна такая промежуточная точка с = а+ +9(х — а), 96 (О, 1), для которой 7.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 188 Но если существует конечная производная ~("+2) (а) ф. О, то мож- но найти предельное значение 9 при х-+а в (7.19). Почлен- ным вычитанием из (7.19) равенства При х -+ а Ьх — ? О. Поэтому 1 1пп 9(х) = —. х-ьв и+2 Для формулы (5.1) Лагранжа (и = 0) предельное значение 9 = 1/2. Вопросы и задачи 7.1. Пользуясь формулой Тейлора, построить в окрестности точки а = 1 квадратичные приближения следующих функций: а) 1(,(х+х2); б) х2е 2~; в) (япх)"'; г) хатс(дх; д) х 1~2!пх.
Оценить погрешность этих приближений на отрезке [1/2, 3/2). ~®(а) Дх) =~~, (х — а) + а=о У'"")( )( )-. У'"")( )+.( ) ( )-" (и+ 1)! (и+ 2) .' являющегося, согласно (7.7), формулой Тейлора (и+ 1)-го порядка с остаточным членом (7.13) в форме Пеано, получим ~("+1) (и, + Е(х — аЯ (и+1)1 у(и+1)( ) у(и+2)( ) + „( ) (и+ 1)! (и+ 2).' где а(х) -~ 0 при х — ? а. Последнее равенство, введя обозначение Ьх = 9(х)(х — а), можно записать в виде 9(х) = 1 У(Я+2) (а) + а(х) и+2 ~(и+1)(п+ Д х) ~(~+1)(0,) Ьх Вопросы и задачи 189 7.2. Представить формулой Маклорена до члена о(х") функции: а) (Зх+4) ~~2; б) (1 — х) 1п (1+х) — (1+х) !п (1 — х); в) 1п (2+6 ') . 7.3. Представить формулой Маклорена до о(х2") функции: а) хяп22х; б) япх со62х; в) хспЗх; г) япЗх совх; д) хзсЬ~х.
7.4. Представить формулой Маклорена до о(х2"+') функции: а) яп х ° яп Зх; б) сЬх ° сЬЗх; в) 1п ((2+ х2)/(х4 — Зх2+ 2)) 7.5. Представить формулой Маклорена до о(хз") функции: ) 1/(2 6 10 3+12). б) (5 6 11)/( 6 хз 2). ) 1/(1+ + 2) 7.8. Представить формулой Маклорена до о(хз"+1) функции: ),/(1+ 3)2. б) ~ (( 3)/(1 3)) в) (5хЗ+ 28)/(14+ 5х — х6). 7.7. Представить формулой Тейлора до о((х — 1)") функции: а) 1п(2+ х — х2); б) з~п(2х — 3); в) (х2+ Зх)/(х+ 1). 7.8. Представить формулой Тейлорадо о((х+1)2") функции: а) е' +2х-1; б) (х+1)3(х2+2х+2) '~~; в) (х+1)1п(х2+8х+11).
7.9. Представить формулой Тейлора до о((х — 1/2)2"+') функции: а) (х — 2)(х2 — 4х+5) '13; б) (2х2 — 8х+5)/(х2 — 4х+3). 7.10. Представить формулой Тейлора функции: а) (4/х — 1) 1~2 — (4/х — 1)'~2 до о((х — 2)2"+2); б) 2ю -Зю +Зю до 0((х 1)Зе). в) (х — 2) ((х — 4)(х2 — 2х+ 4)) до о((х — 2)3"+'); г) яп(Зх2+бх+4) до о((х+1)~"); д) хяп(х2+2х+2) со6(х2+2х) до о((х+1)4'"+3).
7.11. Для каждого из представлений в задачах 7.2 — 7.10 записать остаточный член в форме Лагранжа и оценить значение остаточного члена при ~х — а~ < 0,1. 190 7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 7.12. Можно ли представить формулой Маклорена до о(х4) функции: а) хб/2; б) е'+'"* в) ~Д? 7.13. Представить формулой Маклорена до о(х") с наибольшим значением я функции: ) з~ ~ + 2 . б) ' ~ ~3+ ех.
) ф2~+1 7.14. Представить формулой Маклорена до слагаемого, содержащего х", функции: а) (япхз)1~3, и= 13; б) яп(япх), а=3; в) 1псовх, и = 6; г) (х = 21+яп~, у = 1е'~, и = 3; д) у~+у — х = О, и = 6. 7.15. Функцию ЗЬх представить формулой Маклорена и оценить по абсолютному значению остаточный член. 7.18. Сколько раз (по крайней мере) дифференцируема в точке а функция Дх), если ее вторая производная предста- вима формулой Тейлора с остаточным членом о((х — а)")? 7.17. Представить функцию ~(х) в виде многочлена по степеням х — а, если: а) Дх) хз а 1. б) у(х) =,х4+8хз+24х2+32х+17 а 2 в),~(х) = 1+х+х2+хз, а= — 1; г),~(х) = (хз — 8)2, а=2. 7.18.
Для дважды дифференцируемой на отрезке [О, Ц функции Дх) ~(0) = ~(1) = О, причем существует такое число М >О, что Чх Е(0,1) У"(х) (М. Доказать, что ~у'(х)~ < М/2 Чх ЕГО, 13. 7.19. Доказать, что для дважды дифференцируемой на Ж функции Дх) М1 <2МоМ2, где М~=п1ах~~®(х)~, 1=0,2. хЕК 7.20. Подобрать коэффициенты А, В и С так, чтобы при х -+ 0 были справедливы с наибольшей точностью асимптотические равенства: С(+~хз) /(1+Цх б) (1+ х)11~ = (1+ Ах)/(1+ Вх) + 0(х") ) в) (1+ х) = (1+ Ах + Вх2)/(1+ Сх) + О(х"). Вопросы и эздачи 7.21. Найти числа 6 ЕЕ и п Е Х, такие, чтобысуществовал конечный 1нп (е~ " — совх2)/х8. х-+О 7.22. Вычислить пределы: а) 1)т1)п1х+ ~~+ вв — х+хвг6)/(х — в)гх); х-+О 6) 11т (~~+ вбх — е +хв)/(агав)пх — в1пх); х-+О в) 1ип(совх — е х /2)/х4; х-+О г) 1)т (~хе+ хв — ~хв — хв); Х +ОО сбяхз ) 11в ( ( х) 1 (1 ) х) Я х-ФО 7.23.
Подбором коэффициентов а и 6 в выражении х = = а81пх+бфх обеспечить возможно более высокий порядок и погрешности 0(х") при представлении длины малой дуги окружности единичного радиу- Э са (при „спрямлении" дуги окруж- С ности) линейной комбинацией длин отрезков АО и ВС (рис. 7.5). Каково будет п, если использовать выражение х = аяп х+6фх+ ж + 2св1п(х/2), соответствующее линейной комбинации длин отрезков Ао, ВС и АС? Рис. 7.5 7.24. Оценить погрешность формулы Чебышева, согласно которой длина дуги окружности приближенно равна сумме боковых сторон равнобедренного треугольника, построенного на хорде этой дуги и имеющего высоту, равную ~/4/3 высоты сегмента, образованного этой дугой и ее хордой. 8. ИССЛЕДОВАНИЕ сР;КНКЦИЙ 8.1. Условия возрастания и убывания функций При изучении поведения функции необходимо знать условия, при которых она сохраняет в данном промежутке постоянное значение или изменяется монотонно.
Ранее (см. следствие 5.2) было показано, что если функция у = ~(х) непрерывна на отрезке ~а, 6~ и ее производная ~'(х) =О Чх б (а, 6), то зта функция постоянна на укаэанном отрезке. Заметим, что аналогичное утверждение верно и для функции ~(х), непрерывной и дифференцируемой в интпервале.
Из этого утверждения вытекает важное в дальнейшем следствие. Следствие 8.1. Если функции ~(х) и д(х) непрерывны и дифференцируемы в интервале (а, Ь), причем У'(х) = д'(х) ~1х Е (а, 6), то эти функции в указанном интервале могут различаться лишь на постоянную, т.е. Дх) =д(х)+с (с=сопз$) Чх Е (а, 6). Для доказательства достаточно рассмотреть разность у(х) = = Дх) — д(х). Так как производная ф(х) = ~~Г(х) — д'(х) = О для всех х е= (а, Ь), то ср(х) =сопвй, иначе говоря, ~(х) — д(х) = с, или Дх) = д(х) + с. Примеры.
а. Пусть йх) = ассаих и д(х) =атсат 1+ ха 8.1. Условна воэрастаниа и убываниа функций 193 Обе функции определены на всей числовой прямой Ж. Найдем производные этих функций: х2 ~/Г+ хэ— г 1 1+ хэ 1+ хг' д'( )— 1 —— агсспх = агся1п Чх Е К, 1+ хэ которое можно получить и с учетом элементарных соображений. 6. Аналогично можно доказать, что х агся1пх =агсгя Чх Е1-1, 1). 1 — хэ в.
Пусть теперь 1 2х д(х) = — агсФд — (х ф =Е1). 1 х2 Дх) = агс®х и Найдем производные этих функций: 1 ~'(х) = —, 1+ х2' 1 1 д'(х) — — . 1+ (1 — х2)2 2(1 — х2+ 2х2) 1 (1 х2)2 1+ г Так как производные этих функций совпадают на всей числовой прямой Е, то сами функции различаются на постоянную, т.е. х агсгдх = агсе1п + с.
1+ хэ Для определения постоянной достаточно в этом равенстве положить х =О. Так как агсяпО=агс®0=0, то и с=О. Итак, доказано тождество 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 194 Производные совпадают при всех значениях х, кроме х = =~1, где не определена вторая функция. Поэтому тождество 1 2х агсд~х = — агсСд + с 2 1 х2 может быть установлено лишь для каждого из промежутков ( — оо, — 1), ( — 1, 1) и (1, +со) в отдельности. Оказывается, что и константы с для этих промежутков будут различны: для ( — 1, 1) при х=О получим с=О, аустремив х к — оо и +со, соответственнонайдем с= — дг/2 для ( — оо, -1) и с=юг/2 для (1, +оо). ф Выясним теперь, как по производной функции можно судить о возрастании (или убывании) самой функции на промежутке.
Напомним [1, 3.4~, что функцию ~(х) называют возрастающей (убывающей) в интервале (а, 6), если большему значению ее аргумента х в этом интервале соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. при хг > хд (хд, хз Е (а, 6)) Дхг) >рсхд) (~(х2) <~(хд)). Функциюназывают неубывающей (невоэрастающей) в интервале (а, 6), если большему значению аргумента в этом интервале соответствует не меньшее (не большее) значение функции: при хг > хд (хд) хр Е (я) 6)) ~(х2) )~ Дхд) (Дх2) ~ (Дхд)).
При этом в первом случае функцию именуют строго монотонной, а во втором — монотонной. ° й Докажем теорему для случая возрастания функции (для убывающей функции доказательство аналогично). Согласно условию теоремы, функция ~(х) возрастает в интервале (а, 6). Это означает, что для произвольного х Е Е (а, 6) и любого Ьх > О, такого, что х+Ьх Е (а, 6), будет Теорема 8.1 (необходимое условие строгой монотонности функции). Если дифференцируемая в интервале (а, 6) функция Дх) возрастает (убывает) в этом интервале, то ~'(х) > 0 (~'(х) < О) для всех х Е (а, 6). 195 8.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
