II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Отметим, что перед каждым последующим применением правила Бернулли — Лопиталя полученное на предыдущем этапе отношение б.м. или б.б. функций может быть преобразовано к более удобному виду. Пример 6.3. Отношение „Г(х)/у(х) = (1п~Р(х)~)/1пф(х)~, где Р(х) = х4 — хз — Зхг+ 5х — 2, а Ч(х) = х4 — 2хз+ 2х — 1, при х — > 1 является неопределенностью вида ~оо/оо1, поскольку Р(1) = Ч(1) = О. Отношение первых производных представим как произведение двух дробно-рациональных функций Р'(х)/Я'(х) и Я(х)/Р(х): ~'~х) Р'(х)/Р(х) 4хз — Зхг — бх+ 5 х4 — 2хз+ 2х — 1 д'(х) Я'(х) Я(х) 4хз — бхг+ 2 х4 — хз — Зхг + 5х — 2 ' Каждая из этих функций при х -+ 1 дает неопределенность вида ~0/0).
Если существует конечный или бесконечный предел Р'(х) . 4хз Зхг бх +5 Ь= 1пп —, = 1пп +, Я (х) +, 4хз бхг+2 то, согласно правилу Бернулли — Лопиталя, должен существовать при х -~ 1 тот же предел и отношения Р(х)Щ(х). Для нахождения Ь следует рассмотреть отношение Р" (х)Яп(х) = = (12хг — бх-6)/(12хг — 12х). Однако при х -+ 1 оно также является неопределенностью вида ~0/01. Лишь отношение третьих производных Р'"(х) Щ"'(х) = (24х — 6)/(24х — 12) при х -+ 1 позволяет вычислить Ь = 3/2. Поскольку Ь 7' -0 и конечно, 6.
РА СКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 144 запишем ~'(х) . Р'(х) Я(х) . Р'(х), Я(х) Ь 1ип —, = 1ип —, — = 1ип —, 1ип — = — = 1. ю-+1 д'(х) ж-+1 Я'(х) Р(х) ~-+1 Я'(х) ~-+~ Р(х) Ь Таким образом, согласно правилу Бернулли — Лопиталя, пре- дел отношения ~(х)/у(х) исходных функций существует и так- же равен 1. 4~ Пример 6.4. В случае отношения функций Дх)/у(х) = = (Зх — 2в1п х — ~~х)/х5 при х -+ 0 стремление пятикратным дифференцированием избавиться от нуля в знаменателе приведет к громоздкому выражению для производной пятого порядка от фх. Убедимся, что предел этого отношения при х -+ 0 можно вычислить более экономным путем. Дифференцируя последовательно, найдем ~'(х) 3 — 2 сов х — 1/созз х 3 соз2 х — 2 созз х — 1 р(х) ю'( ) 5х4 5х4 сов~ х д(х) ' р'(х) -бсозх в1пх+бсоз~х в1пх -3(1 — созх)з1пх д'(х) 20хзсоззх — 10х4созх зи1х 5(2хзсовх — х4з1пх) ' причем в последнем отношении проведено сокращение на 2совх, поскольку в окрестности точки х = 0 созх у~ О.
Так как 1 — совх = 2з1п~(х/2), в1пх ° х и главная часть знаменателя ж-+о 2хзсозх — х4в1пх при х -+ 0 эквивалентна б.м. функции 2хз, то 1Р'(х) 3 . 2(х/2)зх 3 1ип — = — — 1ип о д'(х) 5 -+о 2хз 20 Итак, согласно правилу Бернулли — Лопиталя, при х -~ 0 существует предел отношения Дх)/у(х) = (Зх — 2в1пх — Фдх)/х5 и он равен -3/20. При раскрытии неопределенностей использование правила Бернулли — Лопиталя целесообразно сочетать (если это возможно) с выделением главной части б.м.
или б.б. функций или с заменой их эквивалентными им более простыми функциями. о, 3. Особенности применения правила Бернулли — Лопиталя 145 Из теорем 6.1-6.4 следует, что предел отношения функций существует при условии существования предела отношения их производных. Однако обратное неверно, т.е. если не существует предел отношения производных, то зто еще не означает, что не существует предел отношения самих функций. Например, ясно, что существует предел х+з1пх .
г з1пх~ 1нп 1'ип ~1+ — ~ = 1, ~-++оо Х я-++Оо но предел отношения производных (х+з1пх)'/(х)'= 1+ совх при х — ~+оо не существует. Следовательно, правило Бернулли — Лопиталя раскрытия неопределенностей вида [О/0~ и [оо/оо| носит только достаточный характер. Для применения правила Бернулли — Лопиталя существенно выполнение всех условий соответствующей теоремы. Например, для функций Дх) =х+з1пх и д(х) =х — в1пх при х-~оо оно не применимо ввиду того, что производнал д'(х) = 1- созх бесконечное число раз обращается в нуль и не удается указать окрестность бесконечно удаленной точки, в которой бы д'(х) ф. О, т.е.
было бы выполнено третье условие теоремы 6.2 (при замене переменного х = 1/$ не существует окрестности точки $ = О, в которой д'(1/1) = 1 — сов(1/$) ф. О). Это приводит к тому, что при х ~ оо не существует предел отношения производных ~'(х)/д'(х) = (1+созх)/(1 — совх) = с~~~(х/2), Вместе с тем существует предел Дх), х+ з1п х . 1+ (в1п х)/х 1ип — = 1пп . = 11т -+ д(х) *-+ х — з1п х -+ 1 — (в1п х)/х Возможны случаи, когда правило Бернулли — Лопиталя формально применимо, но практически бесполезно. Функции У(х) = 2сЬх и д(х) = е дифференцируемы неограниченное число раз, но при х -+ оо отношения зтих функций и их производных любого порядка являются неопределенностью вида 10-544 146 6. РА СКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ [оо/оо], хотя с учетом равенства сЬх = (е +е )/2 нетрудно сразу вычислить Дх), 2сбх .
е +е ~ 1пп — = 1пп — = 1ип =1. ж-+ д(х) -+ о е~ ж-+ о е Для функций Дх) = х'нп(1/х) и д(х) = х при х -++О возможны различные ситуации в зависимости от значения 8 Е И. Нетрудно установить, что предел отношения У (х) -1 1 .-г — зх' в1п — — х' соа — = х' 8х в1п — — соа— у'(х) х х х х при х -~+О существует и равен нулю, если 8 > 2, поскольку под знаком предела будет произведение б.м. функции и ограниченной. В зтом случае, согласно правилу Бернулли— Лопиталя, существует равный нулю предел отношения заданных функций, что можно проверить и непосредственно: 1пп — = 1ип х' а1п-. ~(х) . , 1 . 1 ж-++о д(х) х-++о х 6.4.
Другие виды неопределенностей Помимо рассмотренных неопределеииостей вида [О/0] и [оо/оо] возникает необходимость в раскрытии неопределенностей других видов, в частности [О ° оо], [оо — оо], [Оо], [ооо] и [1оо] Неопределенность вида [О оо] можно свести к уже рассмотренным алгебраическими преобразованиями. Пусть 1пп Дх) =0 и 1ип у(х) = оо, ж-+А Этот предел существует и равен нулю при а > 1, хотя предел отношения производных существует лишь при 8 > 2. Оба предела не существуют при а(1. 147 6.4. Другие виды неопределенностей причем под А будем понимать как конечную, так и бесконечную точку расширенной числовой прямой. В соответствии с теоремой 7.5 11] о связи между бесконечно большой (6.6.) и бесконечно малой (б.м.) функциями 1/д(х) будет при х -+ А б,м. функцией, а 1/Дх) — 6.6.
(при условии, что,~(х) отлична от нуля в некоторой проколотой окрестности точки А). Тогда из неопределенности вида 1О оо~ преобразованием получим неопределенность вида [О/0) или !оо/оо~ (выбор между ними зависит от удобства проведения последующих вычислений). Например, для функций ~(х) =х' (8>0) и д(х) =1пх при х -++О вариант !О/0~ вообще не приводит к цели, поскольку для отношения производных У'(х) (*')' = 8х'1п х предел вычислить не проще, чем для произведения х'1пх заданных функций. Для варианта [оо/оо1 д'(х) (1п х)' 1/х х' (1/У(х) ) (х ) — 8х 1 8 предел при х-++О и 8 > 0 равен нулю и, согласно правилу Бернулли — Л'оииталя, !пп х'1пх= 1пп д(х) .
д'(х) = 1пп, =О. +о -++о1/~(х) * +о (1 у( ))' Для функций Дх) = 1п ((2/лг) агс®~х) и д(х) = х в случае х -+ +со удобнее использовать вариант 1О/01. Тогда для отношения производных ~'(х) (!п(2/л ) +! п агсг~х) 1/(1+ х~) (1/ (х))' (1/х)' (-1/х~) агсф~х 1о' 6. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 148 (1+ 1/х2) агсйдх при х -~+ос существует предел, равный -2/я. Позтому Г 2 ~ . ~(х) .
~'(х) 2 1ип х 1П ~ — агсйх~ = 1ип = 1ип + ~ л ~ + 1/д(х) + (1/д(х))' л' Пусть теперь 1ип ~(х) = оо х-+А и 1пп д(х) = оо, х-+А 1 1 1 1 д(х) Дх) '(') '(*)= И ) /д(.)- У(ж) д(х) можно свести к неопределенности вида [О/01. Часто, впрочем, того же результата удается достигнуть проще. Пример 6.б. Функции Дх) =1/х2 и сф~2х являются б.б. при х -~ О.
Для нахождения предела их разности преобразуем ее к виду 1 2 81п х — х сов х япх+хсовх япх — хсозх 2 2 2 — -с~~ х— х2 х281п2 х 81П х х2з1п х Предел первого сомножителя в правой части можно найти почленным делением на з1пх: яп х+ хсозх . ~ х 1ип = 1пп ~1+ —.созх =2, -+О З1П Х х-ьО 81П Х где А опять считаем конечной или бесконечной точкой расширенной числовой прямой.
Обе функции ~(х) и д(х) являются при х — >А бесконечнобольшими. Тогдавсилу теоремы 7.5 ~1~ о связи между б.б. и б.м. функциями 1/~(х) и 1/д(х) будут при х -~ А б.м. функциями и неопределенность вида ~оо — оо] преобразованием 149 6.4. Другие виды ыеопределеиностей а предел второго сомножителя найдем, применяя правило Бер- нулли — Лопиталя, предварительно заменив в знаменателе з1пх эквивалентной ей при х — ~ О б.м. функцией х: з1п х — хсозх . з!и х — хсозх 1пп . = 1пп х +о х281п х +о хз (з1п х — хсозх)' . хз1п х 1 = 1пп — 1пп — = —.
-+о (хз)' -+о Зх2 3' В итоге 1 ~ . з1п х+х созх . з1п х — х созх 1 2 1пп — -с$ц х = 1пп ° 1пп х-+о х -+о з1п х -+о х~ з1п х 3 3 Приыер 6.8. Исследуем, дифференцируема ли в точке х = =О фу-ц- Сначала убедимся в непрерывности у(х) в точке х = О, т.е. проверим, согласно (1.1), что при х -+ 0 у(х) -+ у(О) = 1/2. С этой целью, раскрыв неопределенность вида !оо — оо] для б.б. при х-+0 функций 1/1п(1+х) и 1/х, найдем 1 1 . х-1п(1+х) 1пп у(х) = 1пп — = 1пп -+о -ьо 1п(1+х) х -+о х1п(1+х) (х-!п(1+х)) . 1-1/(1+х) . 1 1 = 1пп = 1пп =1пп =-=у(0) -+о (х2)' -+о 2х -+о 2(1+х) 2 (при использовании правила Бернулли — Лопиталя для упроще- ния дифференцирования принята во внимание эквивалентность при х-+О б.м.
функций х!п(1+х) и х~). Таким образом, заданнал функция у(х) непрерывна в точке х = О. 1 1 у(х) = 1п(1+ х) х 1/2 при х) -1, хфО; при х =О. 6. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 150 Отметим, что полезным побочным результатом проведенных вычислений является установление эквивалентности х — 1п(1+ х) хг/2, к-+О (б.12) поскольку оказалось, что х -1п(1+х) 1пп =1. х-+о хг/2 Теперь исходя из определения 1.2 производной запишем 1 1 1 у(х) — у(0) . 1п(1+ х) х 2 ж-+О Х з-+О х 2х — 21п(1+ х) — х!п(1+ х) = 1'пп ж-+о 2хг 1п(1+ х) Отсюда, используя эквивалентность при х -+ 0 б.м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
