II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Определение Э.З. Вектпор-функцию т (~) называют непрерывной в точке 1о, если Йп т($) = т'(1о). ~-+то Из теоремы 9.1 в силу эквивалентности условий (9.2) и (9.3) следует, что для непрерывности в точке 1о вектор-функции т(1) при ее представлении в виде (9.1) необходимо и достаточно непрерывности в этой точке функций ю(1), у(1) и г(1). Согласно свойствам пределов вектор-функций их сумма, скалярное и векторное произведения, а также произведение скалярной функции на вектор-функцию непрерывны в некоторой точке, если в этой точке непрерывны соответственно все слагаемые и сомножители.
Определение 9.4. Если существует предел 249 Я.2. Лонвтие кривой Отметим, что при и = 1 иэ (9.9) нельзя получить формулу, аналогичную формуле (5.2) конечных приращений, так как значения 9; в общем случае различны для разных значений Докажем, что аналогом (5.2) при Ь > 0 будет формула ! Р+Ь)- (~)! <Ь!г'(~+ЕЬИ, О<Е<1. (9.10) Дусть е — единичный вектор, причем векторы г(й+Ь) — г(й) и е — коллинеарные сонаправленные, а Д1) = г(1)е — скаляр- ная функция аргумента 1. Тогда с учетом (5.2) и неравенства для скалярного произведения векторов ~Ш~ ~г(й+ Ь) — г(й) ~ = (г(й+ Ь) — г(й))е = т ~$+ Ь)е — г®е = = У(~+Ь) — ~(~) = Ь~'(г+9Ь) < !Ь|'~~+ВЬЮ = = Ь~г'(1+ ЙЬ)е~ < Ь~г'(1+ 6Ь) ~ ~е~.
Отсюда в силу ~е~ =1 получим (9.10). Я.2. Понятие кривой Термин „кривая" уже использовался при графическом представлении функции. Его строгое определение связано с понятием вектор-функции г($), которую будем считать непрерывной на отрезке ~а, 6]. Пусть в трехмерном пространстве Ез задана прямоугольная декартова система координат Охухс ортонормированным базисом (г, у, к). Определение 9.6. Множество Г С Ез точек, заданных радиус-вектором г(1) = х(1)г+ у($)у+ х(1)Й, 1 Е ~а, 61, соответствующим непрерывной на отрезке [а, 6] вектор-функции г(1), называют мепрерывкой кривой, или просто кривой, а аргумент 1 — параметпром кривой.
При фиксированном значении 1 = 1о Е ~а, Ц параметра значения х(йо), у(йо), х(йо) являются координатами точки кривой. Поэтому одна и та же кривая может иметь как векшор- 250 9. ГЕОМЕТРИ ЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ное, так и координатпное предсчпавление соответственно Г = (г Е Е~: г = г(1), 1 Е 1а, 6~), Г = ((х; р; х) Е Е: х = х(1), у = р(~), г = г(8), 1 Е ~а, 61 ~. Заданную таким образом кривую называют еодоврафом (от греческих слов о0о~ — путь и 7ра~ры — пишу) вектор-функции г($), поскольку именно такую кривую описывает в про странстве конец М радиус-вектора г(1) (рис.
9.1) при изменении параметра 8 (если 1 — время, то говорят о твраекпвориц движущейся точки М). Рис. В.1 Кривую можно также представить как линию пересечения двух поверхностей с уравнениями Г1 (х, у, г) = О, Р2(х, р, г) = О. Выбрав за параметр одну иэ координат (например, х), можно через него попытаться выразить иэ этой системы уравнений остальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать Г= ((х;у;г) ЕЙ: х=х, у=у(1), г=х(1), хЕ~с, с~). 251 9.2. Понатие кривой Одной и той же точке кривой могут соответствовать различные значения параметра ~. Такие точки кривой называют ее ,ратными точками. Начальной и конечной точка„~и кривой именуют точки с радиус-векторами г(а) и г(6) соответственно. Если конечная точка кривой совпадает с ее начальной точкой, то кривую называют замкнутой (замкну~пым контуром).
Замкнутую кривую, не имеющую кратных точек при 1 б (а, 6), называют простым замкнутым контуром. Кривую называют непрерывно дифференцируемой, если задающая ее вектор-функция г(1) непрерывно диф4еренцируе.иа на отрезке [а, о1. Точку кривой, в которой ~г'(1)~ ф. О, называют неособой (или обыкновенной), а при ~г'(1)~ = О— особой. Непрерывно дифференцируемую кривую без особых точек называют гладкой, а непрерывную кривую, состоящую ,из конечного числа гладких участков, — кусочно-гладкой. Пусть Мо и М~ — различные точки гладкой кривой Г (см.
рис. 9.1), задаваемые радиус-векторами г(~о) и г(~о+ Ы) (Ь|>0) соответственно. Прямая МоМ1, называемая секущей кривой Г, параллельна вектору Ьг = г(~о+ Ы) — г(~о), а при Ь|ф-Π— и вектору Ьг/Ь|. При Ь~ — +О точка М1 стремится к точке Мо, а секущая МоМ1 — к некоторому предельному положению, т.е. к прямой, проходящей через точку Мо и параллельной вектору поскольку этот предел существует для любой точки гладкой кривой. Указанную прямую называют касательной к кривой Г в точке Мо. Таким образом, если начало вектора г'(1о) поместить в точку Мо, то он будет направлен по касательной в сторону возРастания параметра 1.
В случае, когда 1 имеет смысл времени, т (~о) является вектором мгновенной скорости движения точки по траектории, совпадающей с кривой Г. Для произвольной 252 9. ГЕОМЕТРИ ЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ точки касательной с радиус-вектором ~ = хг+у1+«й имеем 'г = ~'(10) + 1' (10) 7, 7 Е И. (9.11) х = х(йо) + х'(йо) 7', У = У(йо) + У Ио) г, « = «(~0) + «Ио)'г, г Е В после исключения переменного т принимает вид х — х(~0) У вЂ” У(~0) « — «(~0) (9.12) х'Ио) У~(~0) «'(~0) Пример.
Если гладкая кривая Г=(~ Ейз: ~ =г(1), ~Е[а,6]) лежит на сфере радиуса В, а начало координат совпадает с центром сферы, то ~г(1) ~ = В, или 1~(1) = В~ = сопя$. Тогда Равенство нулю схааярного произведения вехгпоров означает их ортпогонсиьность.
Таким образом, касательная к любой точке кривой, лежащей на сфере, ортогональна радиус-вектору этой точки. $ На отрезке [а, 6] выделим п+1 точку 1;, 1= О, п, так, чтобы 0 = ~0 < ~1 < " < ~~-1 < ~~ < " < ~а-1 < ~п = 6. Пусть Ь = п1ах(1; — 1; 1). Значениям 1; соответствуют точ- 1(1(п ки М; кривой Г = (т Е В~: ю =т(1), 1 Е [а, 6]), задаваемые векторами 1(1;) (рис.
9.2). Длина ломаной с вершинами в точках М; и 8„=~ )г(~;) — г(~; 1)~. (9.13) Это векторная запись уравнения касательной к кривой Г в точке со значением параметра 10. Значение т =0 соответствует в (9.11) общей точке кривой и касательной, называемой точкой касания. Координатная запись (9.11) 253 9.2.
Понятие кривой Рис. 9.2 Вà — 11П1 Ви ° Ь-+О Если этот предел конечен (вг <+со), то кривую Г называют стч!юмам емок. Модуль ~т (~) ~ производной непрерывно дифференцируемой на отрезке ~а, 6~ вектор-функции т (1) непрерывен на 1а, 61 и, согласно теореме 9.5 ~11, достигает на ~а, 6~ наибольшего значения М = п1ах ~т'(1)~. аф(Ь Теорема В.2. Если вектор-функция г(1) непрерывно дифференцируе,ма на ~а, Ц и кривая Г=~ю ей~: т =з'(1), 11= ~а,61) спрямляема, то ее длина вг удовлетворяет неравенству (9.14) ° 4 Учитывая (9.10), разбиение отрезка [а, 6] на и участков и неравенстиво тпреугольниха, имеем !г(Ь) — г(а)! = (~(г!«) — г!«1)) ~ < 1=1 Определение 9.7.
Дмикоб вг кривой Г называют предел, к которому стремится длина в„ломаной при Ь -~ О, если этот предел существует и не зависит от выбора вершин ломаной, т.е. 254 9. ГЕОМЕТРИ ЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ где (; б (~; 1, ~;), г = 1, и, причем ~т'®)~ < М. Отсюда с учетом (9.13) ~T(10+А|) — Ф'(80)~ ~ ~Ь8 (» М~М = ~T (Й0+6ЬЙ)~ЬЙ, О ~< 9 ~< 1. Здесь М вЂ” наибольшее значение ~з'(й) ~ на ~~0, Й0 + Ь|~. Отсюда После перехода в этом неравенстве к пределу при Ж-+ О в левой (с учетом определения 9.4) и правой частях получим ~з'(й0)~, а в средней части — производную 8'(80) > О возрастающей на отрезке 1а, 61 функции 8($), которая соответствует переменной длине дуги кривой, отсчитываемой от ее начальной точки.
Тогда, учитывая (9.6) и правила предельного перехода в неравенствах [1, 7.41, получим Переходя в этом неравенстве к пределу при Ь -+ О, согласно определению 9.7, получаем (9.14). ~ Замечание. В дальнейшем ~И~ будет показано, что если вектор-функция г(1) непрерывно дифференцируема на отрезке 1а,61, то кривая Г = ~т б Ез: г = г(1), 1 6 1а, 6]) спрямляема. Механический смысл (9.14) состоит в том, что длина пути зг по дуге кривой не меньше, чем длина ~г(6) — ~(а) ~ ее хорды, и не больше расстояния, которое за время 6 — а проходит точка, двигающаяся прямолинейно со скоростью М. Применим неравенство (9.14) к части гладкой кривой Г длиной Ь8, соответствующей отрезку ~10, 10+Ь$~ С 1а, 61 при Ь|) О: 256 9.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ и, согласно (9.15), Ив/й = ~г'(Со)~ = ~/Нв+ Нв = снова > О. Та. ким образом, винтовая линия является гладкой кривой и переменную длину 8 ее дуги можно принять за параметр. Постоянную положительную производную имеет линейно возрастаю- щая функция в(с) = $~~+ Нв, 2Ь л. у которой при ~ = 0 значение 8(0) = О. Тогда координатное представление винтовой линии через натуральный параметр н в можно получить из (9.16), если в уравнения для координат подсгаиига В = в/~/К~ + Нв при в О [О, Т~/Р +На]. Один виток винтовой линии соответствует приращению параметра 1 на 2т (см. рис.
9.4). о Поэтому длина дуги одного витка в1 — — 2к~~Н+ Нв. ПриравФ ~а г х, щение за один виток координаl М Г ты г точки М, движущейся по этой дуге, называемое шо- Р к гом винтповой миииии, равно х у В = 22гН. Поскольку цилиндриРис. 9.4 ческая поверхность, на которой лежит винтовая линия, является развертываемой, после развертки дуга винтовой линии, соответствующая одному шагу, будет гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами длиной В и 2тВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
