II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Она применима и для оценки границ отрицательных корней (11.9), если взять уравнения монотонно возрастает и, следовательно, положительна при х > а. Поэтому Р„(х) >0 при х >а и любой иэ корней (11.9) х' < а. Более громоздок способ, предложенный Ньютоном: если ~ Р Я >О при,д>1 и Й=О, а — 1, толюбой из корней (11.9) х' <,д.
Действительно, из представления Р„(х),многочаеном ~ Тейлора (учитывая, что при а0 > 0 Р(") (х) = и.'а0 > 0) 364 П. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Р„(-и) = О и Р„( — 1/и) =0 и учесть, что х' = -и' и х' = -1/о' соответственно. Пример 11.3. Пусть дан многочлен — х4+ 4хз — 7х2 + 2х + +5. Изменив знаки коэффициентов, запишем Р4(х) = х -4хз+ + 7х2 — 2х — 5. Тогда а = Ь = 7, А = 5, т = 1 и, согласно (11.10), 5/12< ~х'~ <8, а в силу (11.11) х' <6. Найдем Р44(х) =4хз — 12х +14х — 2, Р4(х) =12х — 24х+14 и Р44" (х) = 24х — 24. При х > 1 все производные положительны, но Р4(х) < О.
Подбором находим, что Р4(2) = 3 > О. Таким образом, по способу Ньютона х' < 2. Рассмотрим многочлен Р4(1/х), или В(х) = 524 + 2хз— — 7х2+4х — 1. Вэтом случае а=Ь=7, А=7 и т=2. Согласно (11.10), 1/8 < ~х'~ < 12/5, т.е. найденные выше границы для (х'~ = 1/~л'(. В силу (11.11) л" ( 1+ Ч/7/5, и, учитывви, что х' = 1/х', находим нижнюю границу положительных корней х" > 1/(1+ ~/7/5). Вычислим В'(х) = 20г~+ бх~ — 14х+4, В" (х) = 60х2+ 12х — 14 и В"'(г) = 120х+ 12.
При г > 1 все производные и В(г) положительны, т.е. по способу Ньютона будем иметь нижнюю границу 1 < х . Итак, наиболее узкие границы 1 < х' < 2 для положительных корней (11.9) получены по способу Ньютона. Для оценки границ отрицательных корней (11.9) рассмотрим уравнения Р4( — и) = 0 и Р4(-1/о) = О, которые приведем соответственно к виду Ц(~) ~4+4 3+7~2+2~ 5 О У'(~) 5~4 2~3 7~2 4 1 0 В первом случае а=Ь=7, А=5 и т=4, а во втором — а= =Ь= А=7 и т=1. Ясно что (11.10) даст для ~х'~ найденные выше границы.
В силу (11.11) и' < 1+ Я и о' < 12/5. Учитывая, что и'=1/о'=-х', получаем — 1 — Я< х' < — 5/12. 365 11.4. Отделение корней алгебраических уравнений Найдем У'(и) = 4и + 12и~+ 14и+2, Ун(и) = 12и +24и+14, У"'(и) =24и+24 и Ъ"'(и) =20и~ — 6и~ — 14и — 4, Ун(и) = 60и~ — 12о — 14, ~н'(о) = 120и — 12. х' б (-1; -0,5) П(1; 2). В данном случае (см. пример 11.2) существуют два действительных корня со значениями хз,4 — — (1~~/5)/2, или хз= 1,618 и х4 -0,618.
Кроме границ значений действительных корней алгебраического уравнения (если они существуют) важно знать число таких корней. Поскольку комплексные нули многочаена с действительными коэффициентами попарно комплексно сопряжены [1, 4.4], то число его действительных нулей (с учетом их краткости) всегда имеет ту же четкость, что и его степень п.
Если п нечетно, то (11.9) имеет хотя бы один действительный корень. Многочлен Р„(х) непрерывен на всей числовой прямой [1, 9.5]. Поэтому если Р„(а)Р„(Ь) < 0 при а < Ь, то в силу теоремы 9.2 (первой теоремы Больцано — Коши) [1] на отрезке [а, Ь] лежит хотя бы один действительный корень (11.9), а При и > 1 многочлен У(и) и всеего производные положительны,т.е. и <1.
При о>1 Гн(и) >О и 1~н(и) >О, но $~'(1) <О. При о > 2 и Г(о) > 0 и К(и) > О, т.е. о' < 2. Итак, наиболее узкие границы -1 < х' < -1/2 для отрицательных корней уравнения х4 — 4хз+ 7х~ — 2х — 5 = 0 также найдены по способу Ньютона. В итоге действительные корни этого уравнения (при условии, что они существуют) 366 11.
РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ общее число корней на 1а, 6~, принимая во внимание их кратность, нечетно. Если Р„(а)Р„(0) > О, то на 1а, 6~ нет корней либо их четное число. Число положительных корней (с учетом их кратности) (11.9) устанавливает теорема Декарта: оно равно числу перемен знака в ряду коэффициентов многочлена Р„(х) либо на четное число меньше. Эта теорема позволяет найти точное число положительных корней, если нет перемен знака или есть лишь одна перемена знака.
Если перемен знака больше одной, то для определения точного числа положительных корней нужно, кроме того, учесть знаки многочлена в отдельных точках и особенности его графика в промежутках между установленными границами действительных корней. Число отрицательных корней (11.9) равно числу положительных корней уравнения Р„(-х) = О.
Пример. У многочлена Р4(х) = х4 — 2хз — 2х + 1 две перемены знака в ряду коэффициентов, т.е. уравнение Р4(х) = О имеет 2 или 0 положительных корней. Поскольку Р4(О) = = 1 > 0 и Р4(1) = -2 < О, на отрезке [О, Ц лежит хотя бы один корень, т.е. число положительных корней равно 2. Многочлен Р4(-х) = х +2х + 2х+1 не имеет перемен знака. Поэтому у уравнения Р4(х) = 0 не будет отрицательных корней. Если известно, что все корни (11.9) действительные (например, действительны все нули харахтеристичесхого многочлена симметрической матрицы), то теорема Декарта имеет усиление: число положительных корней точно равно числу перемен знака в ряду коэффициентов многочлена Р„(х), а число отрицательных — числу перемен знака в ряду коэффициентов многочлена Р„(-х). Кроме того, число корней (11.9), больших числа с, равно числу перемен знака в ряду значений Р„(с).
Р„(с),..., Р„(с) (или на четное число меньше, если не все корни уравнения действительны). Пусть многочлены Р„(х) и Р„'(х) являются взаимно простыми. Тогда (11.9) не имеет кратных корней (см. 11.2). 367 11.4. Отделение корней алгебраических уравнений Обозначим Дх) = Р„(х), ~1(х) = У'(х), Ь(х) — остаток от деления Дх) на ~1(х), взятый с обратным знаком, и так далее пока не получим в остатке число, которое также возьмем с обратным знаком, обозначив его Д„(при делении многочлены можно умножать на любое положительное число). Для значений х=а и х=Ь при условиях а<Ь и Да)~(Ь)-,ЕО составим две последовательности значений Да), ~'1(а), Ь(а),..., ~д и 1(Ь), ~1(Ь), Ь(д),..., ~„. Тогда по установленному французским математиком Ш.
Штурмом (1803-1855) правилу число действительных корней на отрезке ~а, Ь1 равно разности чисел перемены знака в первой и второй последовательностях. Если (11.9) имеет кратные корни, то предварительно следует найти наибольший общий делитель Ь(х) многочленов Р„(х) и Р„'(х) и применить правило Штпурма сначала к уравнению Р„(х)/Ь(х) =0 с простыми корнями, потом исследовать корни уравнения Цх) = О, а затем объединить результаты. Пример 11.4. Отделим действительные корни х кубического уравнения хэ+Зх~ — 1 = О.
Сначала найдем их границы. Согласно (11.10) и (11.11), 1/4 < )х'~ < 4 и х' < 2. Много- член Дх) =хэ+Зх~ — 1 и его производные ~~'(х) =Зх~+6х и У"(х) = 6х+6 положительны при х > 1. Таким образом, по способу Ньютона х' < 1. Полагая х=1/х, от Дх) перейдем к многочлену В(х) = = хэ — Зх — 1, для которого в силу (11.11) х' < 1+~ГЗ, т.е. х' > 1/(1+ ~ГЗ). Найдем В'(х) = Зхэ — 3 н В"(х) = 6х.
При х > 2 В(х) и его производные положительны, т.е. по способу Ньютона х < 2, или х' > 1/2. Для оценки границ отрицательных значений х' рассмотрим уравнения ~(-и) =0 и Д-1/о) = О, которые приведем к виду У(и) = иэ — Зи2+1 = 0 и У(о) = юэ — Зо+ 1 = 0 соответственно. Согласно (11.11), и < 4 и о'<1+~/3, т.е. с учетом и =1/о'=-х' имеем -4 <х'< 11. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 368 < -1/(1+ ~ГЗ). Найдем У'(ц) =Зи~-6и, У"(и) =6и-6 и 'К'(о) =Зо~-З, К"(о) =6о. При ы > 3 многочлен У(и) и его производные положительны, а при о > 2 положительны многочлен ~(о) и его производные. Такимобразом, поспособу Ньютона и'<3 и о <2, или -3< < х' < 1/2.
В итоге, если действительные корни х' уравнения У(х) = хз+Зх~ — 1 =0 существуют, то х' Е (-3; -1/2) П (1/2; 1). хз+Зх2 -1 х2+ 2х хз+2х2 х+1 1 1 х~+2х х~+ х/2 Зх/2 Зх/2+3/4 -3/4 2х+ 1 х/2+3 4 — Р х2+2х -2х-1 запишем ~~(х) =2х+1 и ~з — — 3/4. Составим таблицу перемены знака в последовательности Дх), ~1 (х), Ях), ~з на В ряду коэффициентов многочлена ~(х) одна перемена знака, и в силу теоремы Декарта уравнение ~(х) = 0 имеет один положительный корень х„причем х', Е (1/2, 1).
В ряду коэффициентов многочлена У(и) две перемены знака, т.е. уравнение Дх) = О имеет либо два отрицательных корня, либо ни одного. При с = — 1 в ряду значений ~( — 1) = 1, ~'(-1) = -3, ~"(-1) = О, ~"'(-1) = 6 две перемены знака, т.е. это уравнение имеет либо два действительных корня х > с = -1, либо ни одного. Но существование одного (и только одного) положительного корня уже установлено, поэтому имеются отрицательные корни х~ Е ( — 1, О) и хз Е ( — 3, — 1). Итак, все корни уравнения хз+ Зх~ — 1 = 0 простые.
Применим к нему правило Штурма. В данном случае ~(х) = хз+ +Зх~ — 1, ~~(х) = ~'(х) = Зх~+6х. После умножения ~'(х) на 1/3 и деления „уголком" 369 11.6. Чнсленные методы уточнения значенна корни отрезке [ — 3, Ц, включающем установленные границы действи- тельных корней уравнения: Здесь Ф(х) — число перемен знака в последовательности при фиксированном значении х.
Итак, согласно правилу Штурма, на отрезке [-3, Ц три действительных корня (Ф(-3) — У(1) = 3), при этом на отрезке [-2, -Ц нет корней, а на отрезках [-3, — 2], [-1, 0] и [О, Ц их по одному. С учетом установленных границ значений действительных корней имеем х1 6 (1/2, 1), х' б ( — 1, 0) и хз Е (-3, -2).
11.5. Численные методы уточнения значения корня При численном решении нелинейного уравнения вида (11.1) после отпделенил его действительных корней следует этап последовательного (итерационного) уточнения значения каждого локализованного корил. В некоторых случаях для проведения этого этапа вместо отрезка локализаиии [ао, 0о] корня х' достаточно найти лишь приближенное значение хо этого корня. Далее будем полагать, что функция ~(х) в (11.1) непрерывно дифферекцируема на [ао, оо] или в промежутке, содержащем точки х и хо, по крайней мере ти раз, если корень х' имеет кратность т. Известные численные методы уточнения значения корня можно условно разделить на две группы. Методы первой группы основаны на построении последовательности вложенных 370 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
