Главная » Просмотр файлов » II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного

II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 47

Файл №1081372 II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска) 47 страницаII Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372) страница 472018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

! И Л Л Здесь и и р — наибольшее и наименьшее значения положи- тельной производной ~'(х) на отрезке [а, ф Отсюда )1х1х)) < д = тах()1 — -/, )1 — — )) . Из условия ~1 — и/Л~ = ~1 — )ы/Л~ имеем Л = (и+ ус)/2 и 41 = = (и — р)/(и+р), что обычно несколько лучше, чем д=1 — т/М. Помимо (11.21) есть и другие способы эквивалентного преобразования (11.1) к виду (11.16). Среди них выделим способ, обеспечивающий 1р'(х') = О. Тогда по мере приближения х„к х' растет скорость сходимости метода при его хорошей обусловленности.

Пример 11.5. Извлечение квадратного корня из числа а > > 0 можно представить как решение уравнения ~(х) = хг — а = О. Приведем его к виду (11.16) преобразованием хг = а+ хг — хг, или 1 а 1 а г х = 1р(х) = — (х + †) = — ~Гх — — + ~/а. ~11.24) 2 х 2 х На рис. 11.4 показаны графики левой и правой частей (11.24), причем ~р'(/а) =О. При любом нулевом приближении хо >0 последовательность (х„) с элементами 1 а Хи = ~Р(Х22-1) = — Хи-1+ 2 " х„-~ 11.Б. Метод простой итерации Рис.

11.4 начиная с х1 — — (хо+а/хо)/2, монотонно сходится к пределу х = ~/а, так как (~/х — ~/а/х)~ > О Ух > О. Она построена древнегреческим математиком, энциклопедистом античной прикладной математики Героном Александрийским (1 в. н.э.) и носит его имя. Основанный на этой последовательности итерационный алгоритм используется в современных ЗВМ. Если на и-й итерации относительная погрешность б„= ~х„— х'~/х' << 1, т.е.

х„= (1+б„)х', то с учетом 1/(1+б„) ж1 — б„+б2 — Я и х' = ~/а 1/ а х„+1 — — — ~(1+ б„)х'+ (1+ б„)х'~ и б„+1 — ~х„+1 — х'~/х' = б~/2. Отсюда следует, что число верных десятичных знаков в искомом значении х' примерно 382 11. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 11.7. Метод Ньютона Естествен вопрос: можно ли ускорить процесс уточнения значения х корня (11.1) по сравнению с методом простой итерации, используя дополнительную информацию о функции Дх)? Если ~(х) дважды непрерывно дифферениируема в некоторой окрестности 0(х ) корня х', то положительный ответ на этот вопрос дает применение метода Ньютпона (или метиода касательных). линеариэуем Дх) в окрестности точки х„1 е ~1(х ), приближенно заменив дугу графика функции ~(х) касательной к нему в точке М„1 (рис.

11.5, а): Дх) ~ ~(х„1) + ~'(х„1) (х — х„1). Приравнивая правую часть нулю, получаем следующий после х„1 элемент итерационной последовательности (х„) с но- мером и: Дха-1) р( )~ (11.25) равный абсциссе точки пересечения касательной с осью Ох. Отметим, что если в (11.21) выбирать параметр А на каждой итерации из условия ~р'(х„~) = 1 — ~'(х„1)/А = О, то получим А = ~'(х„д) и затем (11.25), т.е. метод Ньютона является обобщением метода простой итерации, если в (11.21) принять д(х) = х — ~(х)(~'(х). Тогда ~р (х) = Дх) (П.26) удваивается за очередную итерацию. Так, при а=4 и хв- — 1 получим х1 — 2,5000 (один верный знак); х2 — — 2,0500 (два верных знака); хз —— 2,0001 (четыре верных знака) и т.д.

383 11.7. Метод Ньютона Рис. 11.5 и по мере приближения х к х' ~(х) ~ ~(х') = О, так что ф(х) тоже стремится к нулю, дополнительно ускоряя сходимость (х„~. В силу формулы (7.19) Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ~(х') = О = ~(х„ 1) + ~'(х„ 1)(х' — х„ 1) + + — (х' — х„1), (11.27) ~н(х) 384 11.

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ где х заключено между х' и х„1, или у(х -1) у (х), 2 У'(х„1) 2~'(х„1) Вычитая отсюда почленно (11.25), получаем ~х х„~ — (х х„1) < С~х х„1~, у"(х) . 2 < . 2 2У хэъ-1 где С = шах~~"(х)~/пнп ~2~'(х)~ при х Е У(х'), что соответствует (11.12) при р=2. Итак, в случае простого корня х' Щх') ф О) существует окрестность Щх'), в которой метод имеет кеадратпичную скоростпь сходимостпи.

В силу теоремы 10.4, если радиус б этой окрестности удовлетворяет условию С6 < 1, то для погрешности справедлива оценка (11.14), и итерационная последовательность (х„) не выходит из указанной окрестности. В окрестности с радиусом о/2 ~х„1 — х'~ < о/2, и с учетом С< 1/о и неравенства (1.4) ~1~ имеем 2~х„— х'~ < 2С~х„1 — х'~~ < -~х„1 — х'~~ < < ~х„1 — х'~ < ~х„1 — х„~+ ~х„— х'~. Отсюда ~х„— х'~ < ~х„~ — х„~, т.е. у значения х„верны все совпадающие с х„1 десятичные знаки. Метод Ньютона обладает лояа.яьной саодамомоствью в том смысле, что для его сходимости необходимо хорошее начальное приближение хо, попадающее в окрестность радиуса о.

Однако ответ на вопрос, включает ли эта окрестность отрезок локализации корня х или принадлежит ли ей выбранное значение хо, на практике далеко не всегда возможен. Подойдем к этому вопросу иначе. Итерационная последовательность (х„) сходится к пределу х' мокошокмо, если О«, 1. х — хв 1 386 П. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ х =х Р(хо) (11.28) так как при знакопостоянстве ~"(х) на отрезке между х' и х„шах Д'(х)~ = ~,~'(хв)~, что гарантирует монотонную сходимость (х„) к х' (рис.

11.6,б). Построение (х„), согласно (11.28), характеризует упрощенный метиод Ньютона. Он имеет линейную скорость сходимости, так как совпадает с методом простой итерации при выборе в (11.21) А = ~'(хо) =сопМ, и применим, например, для двустороннего приближения к значению корня х' четной или нечетной кратности т> 2 (рис. 11.6,в и г).

11.8. Комбинированные методы Каждый из рассмотренных методов численного решения (11.1) имеет определенные ограничения. Поэтому иногда хорошие результаты дает сочетание двух (реже трех) методов одновременно. Характерным примером является комбинация упрощенного метода Ньютона и метпода секущих, который является также модификацией метода Ньютона: в (11.25) ~'(х„1) заменяют на разделенную разность первого порядка Для сохранения квадратичной скорости сходимости в случае корня кратности т следует в (х„) положить х„= х„1— -т~(х. 1Я(х.

1). Для метода Ньютона как обобщения метода простой итерации при условии <р'(х') ф О радиус интервала неопределенности я~Ь, =ЛАЯ'(х')~ совпадает со значением е в (11.15), и в данном случае преобразование (11.1) к виду (11.16) не влияет на обусловленность метода. Если вычисление производной ~'(х„1) в (11.25) громоздко, то при выполнении достаточного условия сходимости метода Ньютона в (х„) можно принять 387 11.8. Комбинированные методы (Дх„~ ) — ~(х„г) ) /(х„1 — х„г) и получают (11.29) Метод секущих двухшаговый, и для построения итерационной последов атпельноспьи (х„~ необходимо сначала располагать двумя приближениями хо и х1 к значению х' искомогокорня.

Если на отрезке ~а, 6] локализации этого корня функция Дх) дважды непрерывно дифферениируема и г" (х) знакопостоянна, то целесообразно за хо принять тот конец [а, 6~, на котором знаки ~(х) и ~в(х) совпадают, а за аУ(6) — 6|(а) Д6) — ~(а) (11.30) ~н(х') Дх„1) т ~'(х') (х„1 — х') + (х„1 — х') 2 ,~" (х') 1(х„-г) У (х )(х -г х')+ (х„г — х') 2 и подставим в (11.29). В итоге, пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка при х„1 -+ х' и х„г -+ х', получаем х„— х' = с(х„1 — х') (х„г — х'), с =, . (11.31) Подставляя в (11.31) х„— х'=с~(х„1 — х")~ и приравнивая нулю степени при основаниях с и х„г, находим вр=1 и абсциссу точки пересечения с осью Ох хорды, стягивающей дугу графика функции ~'(х) на ~а, 61 (рис.

11.7, а), т.е. первую итерацию выполнить согласно методу хорд, а следующие — в соответствии с (11.29). Для оценки скорости сходимости метода секущих представим в окрестности х' сучетом ~(х ) =О по формуле Тейлора 389 П.8. Комбинированные методы рг — р — 1 = О. Сходящемуся процессу отвечают значения 45+1 1 ~Л-1 Р т1,618> 0 и в= — = =0,618 2 р 2 (отношения золотого сечения!).

Таким образом, в методе секущих погрешность ж„- ж' убывает медленнее, чем в методе Ньютона (р= 2), в котором на каждой итерации нужно вычислять и функцию и производную, а в методе секущих — только функцию. Поэтому при одинаковой трудоемкости вычислений метод секущих позволяет выполнить вдвое больше итераций и в итоге получить более высокую точность. Метод секущих обладает лишь локальной сгодимостью, реализуемой обычно в достаточно малой окрестности корня.

За пределами этой окрестности метод может расходиться (последовательность (х„) выходит эа пределы отрезка локализации кормя) (рис. 11.7, б) или „зацикливаться". Этот метод целесообразно сочетать с упрощенным методом Ньютона, чередуя их применение для я б Х: П~г -г) ~ге = ~г -г— хг„1 — хг„ ~г„+1 — — ~г„1 .( ( ) ~(~г„1) (при и = 1 хг„1 —— х1 берут по (11.30)). Элементы итерационной последовательности с номерами различной четности монотонно стремятся к х с разных сторон (рис.

11.7, в). Поэтому все десятичные знаки, совпадающие у хг„и хг„+1, будут верными для х'. В знаменателе формулы для хг„+1 стоит разность значений ~(х), которые сближаются при приближении х к ж', что может привести к потере значащих цифр и точности расчета. Потеря будет только увеличиваться, если правую часть этой формулы привести к общему знаменателю. На практике итерации проводят до тех пор, пока 390 11. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Хл * Хл-1 сон зФ. Хл-1 Х Хл-2 Заменяя приближенное равенство точным, вместо х' получим уточненное значение г ХлХл-2 Хл-1 Хл 2Хл-1 +Хл-2 (11.32) Последовательность (х„), построенная по такому трехшаговому методу, обладает квадратпичной схоростпью сходимостпи. Дополнение 11.1.

Метод 'Чебышева Пусть на отпрезке локализации [а, 6~ = Х простого корня х' уравнения (11.1) функция ~(х) непрерывно дифференцируама по крайней мере р > 2 раэ, причем ~'(х) ф- 0 Чх 1= Х. Тогда ~'(х) знакопостоянна на Х и функция у = Дх) на Х строго монотонна (см. 8.1), а в силу теоремы 9.6 ~!~ имеет строго монотонную обратную функцию х = д(у) = ~ '(у), областью определения которой будет отрезок с концами Да) значение ~хг„+1 — хг„~ не станет меньше заданной погрешности.

Возрастание этого значения является по правилу Гарвина признаком начала „разболтки" расчета: расчет прекращают и последнюю итерацию отбрасывают. Итерационные методы можно сочетать с интерполированием. Так, через точки (х2„1, Дхг„1)), (хг„, Дхгл)) И (Хгл+1, ДХгл+1)) ПОСЛЕ ОЧЕрЕдНОй ПарЫ ИтЕрацИй ПрОВОдят параболу х = аоуг+а1у+аг (т.е. применяют обратную квадратпичную интперполяцию) и, положив у = О, находят уточненное значение хг„+1 —— аг, которое используют на следующей паре итераций. Такой комбинированный метод является трехшаговым.

В методе с линейной скоростпью сходимостпи погрешность убывает примерно по геометрической прогрессии (см. 11.5): 391 Д.11,1. Метод Чебьипева х' — х = ~ д~ ~(д) — „, +д~~~(д) —, (-у)" (-у)' /с=1 И р! (11.33) где и — точка между точками О и у. Производные функции д(у) по у можно найти дифференцированием по х сложной функции х =дух)): д'(у)~'(х) =1; д"(у)(~'(х)) +д'(у)~"(х) =0; д"'(у) (У'(х) ) + Зд" (у) ~ (х) ~Г (х) + д'(у) ~'"(х) = О; Отсюда последовательно можно выразить производные функ- ции д(у) через производные функции Дх): 1 „~" (х) „, (~" (х)) ~вд(х) (Х) ~ уР( ))31 уд( ))5 уд( ))4 и так далее.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,61 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Зарубин В.С., Крищенко А.П
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее