II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Если же нет жестких ограничений на точность нахождения значений любой из функций ~~(х), Й = 1, т, то целесообразно использовать принцип равных влияний, полагая в правой части (3.14) все слагаемые одинаковыми. Тогда Д.3.1. Оценка погрешности приближенных вычислений лишний (запасной) десятичный знак по отношению к последнему верному знаку в наименее точном слагаемом, а затем полученную алгебраическую сумму округлить еще на один знак. Пусть теперь при и1,(ю) > О, Й = 1, и, В этом случае Дх) > О и после логарифмирования и )и Дх) = ~ з~1п щ~я), 1=1 согласно (3.14), получим Здесь Ь1, — наибольшая абсолютная погрешность вычисления значения функции 1пи~(х).
Поскольку наибольшая абсолютная погрешность логарифмической функции равна наибольшей относительной погрешности аргумента этой функции, т.е. Ь1„у = бу и Ь1., = 61„где 61, — наибольшая относительная погрешность вычисления значения функции и1,(ж), в итоге можно написать ю Бу = ~ )8~Д. 1=1 Таким образом, с учетом (3.12) наибольшая относительная погрешность произведения равна сумме наибольших относительных погрешностей сомножителей и не может быть меньше, чем наибольшая относительная погрешность наименее точного из сомножителей. Поэтому для упрощения вычислений более точные сомножители следует округлять, сохраняя в них одну лишнюю (запасную) значащую цифру по сравнению с количеством верных значащих цифр в наименее точном сомножителе, 74 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ а затем в полученном произведении сохранить такое же количество значащих цифр, как и в наименее точном сомножителе.
Пример. Даны приближенные числа х1 —— 0,348; хг —— = 345,40; хз — — 235,2; х~ —— 2,2849; хб — — 0,00354. Пусть все десятичные знаки в этих числах верные, т.е. абсолютная погрешность каждого числа не превышает половины единицы младшего разряда. Наибольшая абсолютная погрешность Ьз — — 0,05 у числа хз, а наименьшая Ь5 — — 0,000005 — у числа х5, тогда как наибольшая относительная погрешность о1 — — 0,0005/0,348 = 0,00144 у числа х1, а наименьшая 6я —— = 0,005/345,40 = 0,0000145 — у числа хз. При сложении заданных чисел (с учетом одного запасного знака) их следует округлить до 0,01 и после вычисления суммы Я = 0,35+345,40+235,2+2,28+0,00 = 583,23 округлить ее до 0,1, записав 5 = 583,2. Для оценки наибольшей абсолютной погрешности Ь| полученного результата к наибольшей из абсолютных погрешностей складываемых чисел ~Ьз — — 0,05) следует добавить погрешность округления суммы 0,03, т.е.
Ь~ = 0,08, что, строго говоря, заставляет считать сомнительным последний знак числа 5 = 583,2. Отметим, что наибольшая относительная погрешность 8~ = Ь|/5 = 0,08/583,2 = 0,000137 близка к относительной погрешности оз — — 0,05/235,2 = 0,000213 слагаемого хз с наибольшей абсолютной погрешностью. При небольшом числе слагаемых (до десяти) непосредственная оценка наибольшей абсолютной погрешности по (3.14) при с~ = 1 обычно незначительно отличается от полученной выше: Ь~ = 0,0005+ 0,005+ 0,05+ 0,00005+ 0,000005 = 0,055555.
При перемножении заданных чисел их следует округлить до четырех значащих цифр, сохранив одну запасную по сравнению с наименее точным сомножителем х1 —— 0,348, и после вычисления произведения П =0,348 345,4.235,2 2,285 0,00354=228,68008 округлить его до трех значащих цифр: П = 229. 75 Д.3.1. Оценка погрешности приближенных вычислений Поскольку относительные погрешности сомножителей х1— = 0,348 (Ю1 — — 0,00144) и хь — — О, 00354 (65 — — 0,000005/0,00354 = = 0,00141) заметно превосходят относительные погрешности остальных сомножителей, наибольшую относительную погрешность произведения можно оценить как сумму ИП = 0,00144+ +0,00141= 0,00285, что даст оценку для наибольшей абсолютной погрешности произведения Ьп = М!бп = 229 ' О 00285 = 0 65 дд = 0,00144+ 0,0000145+ 0,000213+ + 0,00005/2,2849+ 0,00141 = 0,0031.
Ясно, что (3.16) можно применить и для частного функций. Например, функцию Дх) = е*/х' при х > О, 8 6 В можно представить в виде 1(х) = (ид(х)) '(и2(х)) ', где ид(х) = е~, 81 — — 1; и2(х) = х, 8~ = — 8. Тогда, согласно (3.16), с учетом (3.13) получим Бу = о1 + !8162 — — !хф + ~8ф, = (1+ ~8/х~)~ . Если относительная погрешность вычисления функции ~(х) ограничена заданным значением 6у, то при определении допустимой относительной погрешности сомножителей можно руководствоваться теми же соображениями, что и при нахождении допустимой абсолютной погрешности слагаемых алгебраической суммы. Пример. При определении вместимости ~ = я В~Н цилиндрического сосуда, радиус В и высота Н которого могут значение которой оправдывает округление полученного результата до трех значащих цифр. Учет относительных погрешностей остальных сомножителей в соответствии с (3.16) при 81, = 1 лишь незначительно влияет на оценку наибольшей относительной погрешности произведения (при числе сомножителей не более десяти): 3.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ быть измерены с достаточно высокой точностью, можно воспользоваться принципом равных влияний. Тогда при условии, что число я можно взять практически с любым количеством верных значащих цифр (т.е. приняв о = 0), согласно (3.16) получим наибольшую относительную погрешность вычисления вместимости сосуда оу = 28в+6н и по аналогии с (3.15) при т=2 найдем Бд =Юу/(2 ° 2) =6у/4 и ЬН =оу/(2 ° 1) = бу/2. Однако внутренний радиус цилиндрического сосуда обычно удается измерить с меньшей точностью (с большей относительной погрешностью), чем его глубину от кромки боковой стенки до дна. Пусть 6д =2оо.
Тогда оу =26н+6Н =56н, оо =цу/5 и 8д =2оу/5. Выбор количества верных знаков в числе я' зависит от заданного значения оу. При оу = 0,01 трех верных знаков (я' = 3,14) будет недостаточно, поскольку тогда относительная погрешность Ь /~г = 0,0016/3,14 = 0,00051 сопоставима с 6Н = 0,002 и 6д = 0,004. Но при четырех верных знаках относительной погрешностью Ь,/я = 0,0004/3,142 = 0,00013 можно уже пренебречь по сравнению с бН и 6д. Вопросы и задачи 3.1, В какой точке дифференциал Ыу и приращение Ьу функции у=х~+х+1 не являются эквивалентными бесконечно малыми при Ьх — > О? Какой порядок в этой точке имеет при Ьх -~ 0 бесконечно малая Ьу — Иу? Дать геометрическую интерпретацию.
Для функции ~(х) = х2 найти ЬД2) и 4'(2) в точке х =2 и сравнить их, если Ьх = 1; Ьх =0,1 и Ьх = 0,01. 3.2. Для функции ~(х) = хз — 2х+ 1 сравнить значения Ь|(1) и ИУ(1) при: а) Ьх=1; б) Ьх= 0,1; в) Ьх=0,01. 3.3. Найти дифференциалы следующих функций: а) хе~; б) е*+ !дх; в) ~(х+2~/х+ ~/х; г) атссозе*; д) д*; Воаросы и задачи е) 1п (~/Г+2в1пх+~/2в1пх — 1); ж) 5вЬ~(х/35)+7в(1~(х/35).
3.4. Какой порядок при Ьх -~ 0 имеет бесконечно малая функция ~у ~у -ли у=хз Зх 3.5. Выразить через Ии и Ио дифференциалы следующих функций: а) и2о; б) и2/о; в) е""; г) ию/(и2+ю~); и) 1п15(в/и); е) ~/ив+па; ж) и". 3.6. Доказать, что при ~х~ << а верна приближенная формула Ка+х~ ~а(1+ — ) (пОХ). Вычислить приближенно при помощи этой формулы: в) ~/640; 5) ~/200; в) ф24$,45; г) вГ1000.
3.7. Найти Ы(з1пх)/Ы(совх) и И(фх)/Ы(с®~х). 3.8. Доказать, что углы по таблице тангенсов можно найти точнее, чем по таблице синусов с тем же числом десятичных знаков. 3.9. С какой относительной погрешностью можно вычислить объем и поверхность шара, если его радиус измерен с точностью 1% '? 3.10. Круговой сектор имеет радиус Й = 1 и центральный угол «р = я/3. Вычислить точно и оценить приближенно (при помощи дифференциала) изменение площади сектора, если: а) радиус увеличить на ЬВ = 0,1; б) угол уменьшить на Ь(р= 0,1. Чем объяснить, что во втором случае применение дифференциала дало точный результат? 3.11.
Вычислить значение функции у= (и+о~)/к) при и= =3,28; и=0,932; и=1,132 и найти Ьц и 8ц, считая всезнаки исходных данных верными. 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 4.1. Производные высших порядков Пусть функция ~(х) дифференцируема на некотором промежутке Е, т.е. 3~'(х) Чх Е Е. Тогда производная ~'(х) является тоже функцией аргумента х с областью определения Е. Если эта новая функция ~'(х) дифференцируема, то можно найти ее производную, называемую второй производной исходной функции ~(х), или производной второго порядка, и обозначаемую ~"(х). В связи с этим ~'(х) для определенности называют первой производной, или производной первого пор*дка.
Геометрически значение второй производной соответствует угловому коэффициенту касательной к графику зависимости первой производной от аргумента х. С точки зрения механики вторая производная функции в = Д1), описывающей закон прямолинейного движения точки во времени 1, — это скорость изменения скорости и = ~'(1) точки, т.е. ускорение и = ю' = = (У'(й)) = ~" (Ю) = 8", или (как принято в механике), обозначая дифференцирование по времени точкой над символом функции, Ясно, что если ~"(х) в свою очередь является дифференцируемой функцией аргумента х, то последующее дифференцирование ~"(х) даст третью производную ~"'(х) = (~"(х)) .
или производную третьего порядка, и так далее. Оиределеиие 4.1. Производной и-го порядка функции ~(х) называют производную от производной (и — 1)-го 4.1. Производные высших поондков порядка этой функции, т.е. причем порядок производной в верхнем индексе берут в скобки, чтобы отличить его от показателя степени. Производные четвертого и более высоких порядков иногда обозначают римскими цифрами, например, ~~ (х) = (~~~ (х) ) . По отношению к производным высших порядков (как и для производной первого порядка) применимо понятие односторонней производной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
