II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного (1081372), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

26. Приведите примеры функций, графики которых имеют вертикальную, односторонние и двусторонние горизонтальные и наклонные асимптоты. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ~ и ° — начало и окончание доказательства ~ф — окончание примера, замечания а Е А, А Э а — элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а) 1, 1.1 А = (а, 6, с) — множество А состоит из элементов а, 6, с 1, 1.1 А С В, В Э А — подмножество А включено в множество В (В включает А) 1, 1.2 А С В, В Э А — подмножество А включено в множество В или совпадает с ним 1, 1.2 Х вЂ” множество натуральных чисел 1, 1.3 Š— множество целых чисел 1, 1.3 Я вЂ” множество рациональных чисел 1, 1.3 Й вЂ” множество действительных чисел 1, 1.3 (а, 6~ — отрезок с концами в точках а и 6 1, 1.3 (а, 6) — интервал с концами в точках а и 6 1, 1.3 ~а,6), (а,6~ — полуинтервалы с концами в точках а и 6 1, 1.3 ~х~ — абсолютное значение числа х 1, 1.3 +оо, -оо — бесконечные точки расширенной (пополненной) числовой прямой 1, 1.3 оо — объединение бесконечных точек +оо и — оо 1, 1.3 ( — оо,+оо), ( — оо,а), (6,+со) — бесконечные интервалы 1, 1.3 ( — оо, а], ~6, +оо) — бесконечные полуинтервалы 1, 1.3 У(хц) — окрестность точки хо 1, 1.3, 1, 5.2 0(хо, я) — е-окрестность точки хо 1, 1.3, 1, 5.2 А ~  — из высказывания А следует В (А — достаточное условие В, а  — необходимое условие А) 1, 1.5 10 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ М(х, у) — точка М плоскости с координатами х (абсцисса) и у (ордината) 1,2.5 ,~), а~ й=1 'П П ат сумма и слагаемых а~, ..., а~, ..., а„1,2.6 произведение п сомножителей а1, ..., а, ..., а„ 1, 2.6 число Й принимает последовательно все значения из множества М от 1 до и включительно 1, 2.6 ш=1 1=1, О %3 (а) О 1!(а, О)— х-+а проколотая окрестность точки а 1, 7 проколотая 0-окрестность точки а 1, 7 переменное х стремится к точке а 1, 7.1 !пп Дх) — предел функции ~(х) в точке а (при х-+а) 1,7.1 .е-Фй О О У (а) и С+(а) — проколотые левая и правая полуокрестности точки а 1, 7.2 У(а+ 0) — предел справа функции ~(х) в точке а 1, 7.2 Да — О) — предел слева функции Дх) в точке а 1, 7.2 Ьх и Ьр = Ь ~(х) — приращения аргумента х и функции у = = Дх) 1, 9.1; 1.2 А «=~  — высказывания А и В равносильны 1, 1.5 — утверждение справедливо по определению 1, 1.5 Зх: ...

— существует такое х, что ... 1, 1.5 3! х:... — существует единственное х, такое, что ... 1, 1.5 Зх: ... — не существует х, такого, что ... 1, 1.5 Чх — для любого х 1, 1.5 ~: Х-+У вЂ” отображение ~ множества Х в (или на) множество У 1,2.1; 10.1 у = Дх) — переменное у — функция переменного х 1, 2.1 Па) = Дх)) — значение функции Лх) в точке а 1, 2.1 х =~ '(у) — функция, обратная к функции у = ~(х) 1,2.3; 11.1 11 ~(х) = 0(д(х)) — функция ~(х) одного порядка по сравнех — ра нию с функцией д(х) при х-+а 1,10.1 ~(х) = о(д(х)) — функция Дх) более высокого порядка малох-фа сти относительно функции д(х) при х -+ а 1, 10.1 Дх) д(х) — функции У(х) и д(х) являются эквивалентх-+а ными при х-+а 1,10.2 ~'(а) = ~'(х)~ — производная функции Дх) в точке а 1.3 у'(х), у', ау/ах, у' — производная функции у = ~(х) 1.3 ~+(а) и ~' (а) — односторонние производные функции Дх) в точке а справа(х-+а+0) и слева(х — «а — О) 1.6 ах и ау=(у(х)~ -, — дифференциалы аргумента х и функции у=~(х) в точке а 3.1 ~" (и) = ~" (х) ~ и Г'"(и) = ~'"(х) ~ — производные второго и третьего порядков функции ~(х) в точке а 4.1 Г(е~(и) = ~~е)(х)( — пронзводнви и-го поридкв (и-и производная) функции ~(х) в точке а 4.1 С" (Е) — множество всех функций, и раз непрерывно дифференцируемых в промежутке Е 4.1 Их" и ~юу= Ы"~(х) — дифференциалы и-го порядка аргумента х и функции у = Дх) 4.5 г (1) — вектор-функция скалярного аргумента 1 9.1 ~а~ — длина (модуль) вектора а 9.1 1, у, Й вЂ” орты (единичные векторы) ортонормированного базиса (г, у, Й) 9.1 и (1о) =и (Г)(,, — пронзводнвх вектор-функции г(~) в точке ~о 91 р и (р — полярные координаты (радиус и угол) точки на плоскости 1, 4.3; 9.3 Вдпх — функция знака числа х 1, 3.2 — мнимая единица (Р = -1) 1, 4.3; 11.3 12 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ Буквы латинского алфавита Буквы греческого алфавита Наряду с указанным произношением также говорят „лямб- Представлен наиболее употребительный 1но не единственный) вариант произношения (в частности, вместо „йот" иногда говорят „жи").

1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 1.1. Вводные замечания (1.1) Да) = 1пп Дх), означает, что функция непрерывна в этой точке [1, 9.1]. Теория пределов позволяет по информации о поведении функции в окрестности фиксированной точки сделать заключение о некоторых свойствах функции в этой точке. И наоборот, если существует предел функции в точке х = а, то возможен качественный анализ ее поведения в некоторой проколотой о окрестности 13(а) этой точки. В частности, известно [1, 7.4], что если существует конечный предел 1ип ~(х) = Ь, то у точки а найдется такая проколотая д-окрестность о 0(а; 0) (8 > 0), в которой функция Дх) ограничена и ее значения сохраняют знак предела Ь (при Ь ф О).

Этот анализ опирается на теорему 7.3 [1] о связи функции, ее предела и бесконечно малой (б.м.) функции в виде зависимости В выпуске [1] основной способ исследования функции Дх) состоял в изучении ее поведения в окрестности некоторой точки х = а. Он сводился, как правило, к установлению существования предела функции в данной точке и вычислению его значения. В том случае, если функция определена в точке х= а и имеет в ней предел, то совпадение ее значения ~(а) со значением предела, т.е. равенство 14 1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ где о(х) — функция, б.м. при х — «а, т.е.

!пп а(х) =О. х-+а (1.З) Ясно, что при составлении количественного прогноза поведения функции на основе (1.2) нужно конкретизировать б.м. функцию а(х). В некоторых частных случаях зту задачу можно решить путем сравнения б.м. функций и установления их эквивалентности.

Напомним, что, по определению 10.5 [11, б.м. функции у(х) и 4~(х) эквивалентны при х-«а, если предел их отношения при х — «а равен единице, т.е. ~р(х) ф(х):~=«1пп — = 1. ж() х~а ф(Х) (1.4) Для функции Дх), непрерывной в точке х = а, из (1.1) и (1.2) следует равенство (1.5) ~(х) = Да) +а(х). Отметим, что для использования (1.5) и при значении х = а бесконечно малую функцию а(х) необходимо доопределить по непрерывности в точке х = а, положив с учетом (1.3) а(а) = О. Графики зависимостей Дх) и а(х) от х могут иметь вид, показанный на рис.

1.1. Построение функции а(х) исходя из свойств функции Дх) только в одной фиксированной точке х = а составляет одну из главных проблем дифференциального исчисления. Решение этой проблемы имеет большое теоретическое и прикладное значение во многих областях науки и техники, в частности, при Рис. 1.1 15 1.2. Разиостное отношение прогнозе движения и создании систем управления движущимися объектами. Например, по координатам, скорости и ускорению баллистической ракеты в фиксированный момент времени ~о можно спрогнозировать ее полет на некоторый последующий период времени и получить количественное представление о законе ее движения на предшествующем этапе.

Если требуется уточнить прогноз или распространить его на больший промежуток времени, то в момент времени 1о нужно знать еще и скорость изменения ускорения, а также и другие кинематические характеристики полета ракеты. В основе дифференциального исчисления лежат фундаментальные понятия производной и дифференциала фрикции в точке. Термин „производная" был введен Ж. Лагранжем в 1797 г., тогда как термин „дифференциал" Г.

Лейбниц использовал уже начиная с 1675 г. Но прежде чем говорить о производной и дифференциале, целесообразно предварительно рассмотреть отношение приращения функции к приращению ее аргумента. 1.2. Разностное отношение Если функция у = Дх) определена в некоторой 8-окрестности 13(а; о) (Б) 0) точки х = а, то о поведении этой функции в указанной окрестности удобно судить по изменению приращения Ьу = Ь|(а) = Дх) — ~(а) = ~(а+ Ьх) — ~(а) функции, вызванного приращением Ьх = х — а аргумента х.

Характеристики

Список файлов книги