I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 50
Текст из файла (страница 50)
,е-+в+О Таким образом, для монотонной в интервале (а, 6) функции ~(х) всегда существуют конечные или бесконечные значения Да+ О) и ~(6 — О). Если строго монотоннал функция Дх), например, возрастает в интервале (а, 6), то фа+О), ДЬ-О)) представляет собой некоторый интервал (конечный или бесконечный). ф Теорема 9.7 позволяет установить удобный для практического применения признак непрерывности монотонной функции на промежутке. Теорема 8.8. Монотонная в интервале (а, 6) функция ~(х) непрерывна в нем, если ее значения содержатся в одном из интервалов (Да+О), ДЬ вЂ” О)) или ®Ь вЂ” О), Да+О)) и сплошь заполняют его. ° Допустим, что в какой-нибудь точке хО Е (а, 6) функция ~(х) не является непрерывной.
Согласно теореме 9.7 хО будет 350 Я. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Отметим, что условие сплошного заполненыя интервала значениямы функциы является в этой теореме достаточным для непрерывности монотонной в интервале (а, 6) функцыи. Это условые легко воспринимается, и его удобно испольэовать на практике. Дополнение 9.2. Доказательство теорем о функциях, непрерывных в промежутке Доказательство начнем с теоремы 9.4 (первой теоремы Вейерштрасса) об ограниченности функции, непрерывной на отрезке ~а, 6). По условию теоремы функция непрерывна в любой точке отрезка. Из свойства ограныченности функции, непрерывной в точке (см. 9.2), для каждой точкы х отрезка найдется окрестность 0(х) (для точек а и 6 это будут полуокрестности), в которой функция Дх) ограничена.
Совокупность таких окрестностей для всех точек отрезка образует его покрытие. В силу теоремы 5.6 отрезок является компактным множеством, и, по определеныю 5.12, из любого его покрытия можно выделить хотя бы одно конечное подпонрытие, состоящее иэ конечного числа Ф такых окрестностей 0(х„), обязательно точкой разрыва первого рода. Для неубывающей функции имеем ~(хо — О) < ~(хо) < ~(хо+О), но хотя бы одно из неравенств должно быть строгим, иначе в точке хо функция Дх) будет непрерывной. Пусть, например, ~(хо — О) < ~(хо).
В силу неубывания функции ~(х) и свойств предела (см. 7.4) имеем для х < хо Дх) < Дхо — О), а для х > хо Дх) > ~(хо). Поэтому интервал (У(хо — О), Дхо)) свободен от значений функции, что противоречит условию теоремы. Аналогичным путем приходим к противоречию, если допускаем существование точки разрыва у невозрастающей в интервале (а, 6) функции ~(х), что ы доказывает теорему. Ь Д.9.2.
Докаэатеаъство теорем о непрерывных функцнвх 351 и = 1, М. В каждой из окрестностей 0(х„) множество значений функции Дх) ограничено, т.е. Ух Е 0(х„) Щх)~ <С„. Поэтому И Е '1а, 6] ~~(х)~ < С = тах(С1, Ср, ..., Су), что, по определению 3.5, означает, что функция ~(х) ограничена на отрезке 1а, 6]. Для доказательства теоремы 9.5 (второй теоремы Вейерштрасса) рассмотрим множество значений функции ~(х) на отрезке 1а, 6]. Согласно теореме 9.4 это множество ограничено, а согласно теореме 2.1 оно имеет точную верхнюю грань М= впр Дх), причем МЕЕ. Предположим, что Чх~='1а,6] же(а, ь] ~(х) < М, т.е. функция Дх) не достигает на отрезке своей точной верхней грани.
Вспомогательная функция у(х) = = 1/(М вЂ” ~(х)) положительна во всех точках отрезка ~а, 6], в силу свойств (9.7) и (9.9) непрерывна в каждой точке интервала (а, 6) и с учетом определения 9.5 непрерывка в точке а справа и в точке 6 слева, а следовательно, в силу определения 9.9 непрерывна на ~а,6], а значит, и ограничена на этом промежутке, т.е. Чхб'1а,6] у(х) <~, причем ~>0. Но тогда Дх) < М вЂ” 1/у < М, т.е.
число М вЂ” 1/7 является мажорантой рассматриваемого множества значений функции на [а, 6], а это противоречит определению точной верхней грани множества как наименьшей из мажорант (см. 2.7). Из этого противоречия следует, что на ~а, 6] найдется такая точка х', для которой ~(х ) = М, т.е. функция принимает в этой точке конечное наибольшее значение. Аналогичным путем можно доказать, что на 1а, 6] найдется такая точка х„в которой функция Дх) принимает конечное каи кекьшее значение. Отметим, что справедливость теорем 9.4 и 9.5 следует непосредственно из теоремы 5.1О о функции, непрерывной на компакте (см.
следствие 5.4), поскольку в силу теоремы 5.6 отрезок является компактом. 352 9. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Вопросы и задачи 9.1. Требуется изготовить металлическую квадратную пластину со стороной а = 100мм. В каких пределах допустимо изменить длину х стороны этой пластины, если ее площадь Я = х~ не может отличаться от номинальной Яо = 0,01м~ больше чем на: а) +1см~; б) +0,1см~? При доказательстве теоремы 9.6 о существовании непрерывной обратной к у = Дх) функции для определенности положим, что функция Дх) возрастаетп в промежутке Х, поскольку в случае убывания ход доказательства аналогичен. Значения непрерывной в промежутке Х функции, согласно теореме 9.3, заполняют сплошь некоторый промежуток У.
В силу возрастания Дх) в интервале Х = (а, Ь) это будет интервал У = (У(а+ О), У(Ь - О)), так что для каждого значения уо Е У найдется хотя бы одно такое значение хо ЕХ, что ~(хе) =уо. Ввиду строгой монотонности функции Дх) такое значение хе будет единственным, поскольку при х1 > хо ~(х1) > уа, а при х1 ( хе Дх1) < уе.
Сопоставляя именно это значение хо е Х произвольно взятому значению уе Е У, получаем однозначную функцию х = ~ '(у), обратную к функции у = ~(х). Функция (у) будет, как и функция Дх), возрастающей. Действительно, пусть у1(уг и х1 — ~ 1(у1), хг=~ '(у~). Если бы ~ 1(у1) > ~ 1(ур), то это означало, что х1 > х~, и в силу возрастания функции ~(х) получили бы ~(х1) > Дх~), т.е. у1 > у~, что противоречит исходному предположению.
Стало быть, ~ '(у1) < ~ '(у~) и х =~ '(у) в интервале У возрастает. Значения функции ~ '(у), возрастающей в интервале У, сплошь заполняют интервал Х = (а, Ь). Поэтому в силу теоремы 9.8 функция ~ '(у) является непрерывной в интервале У = (~(а+О), ~(Ь-О)). Воиросм и задачи 353 9.2. Ребро куба больше 2м, но меньше Зм. С какой абсолютной погрешностью о допустимо измерить длину х ребра этого куба, чтобы его объем Ъ' можно было вычислить с абсолютной погрешностью е, не превышающей: а) 0,1мз; б) 001 3? 9.3. Сформулировать на языке е — 8 утверждение: функция Дх) определена в точке а, но разрывна в этой точке.
9.4. Пусть для некоторых чисел е ) 0 можно найти числа Ю = о(е) ) О, такие, что ~~(х) — ~(а) ~ < е, если только 1х — а~ < < о. Можно ли утверждать, что функция Дх) непрерывна в точке а, если числа е образуют: а) конечное множество; б) бесконечное множество дробей вида 1/2", я Е Я? 9.6.
Найти точки разрыва и исследовать их характер для функций: а б) (1+х)з' хз -Эх+2' з1пх' ' х' 1 1 д) е + ~; е); ж) ~/хагс®~ —. 1 — е /И- ) х 9.6. Исследовать на непрерывность и выяснить характер точек разрыва функций: ) у( ) * 0<х<1 б) ( ) ~*~<1 2 — х, 1<х<2; 1, ~х~>1; ) ) ~соззгх/2, ~х~ < 1) У 1 9.7. Функция Дх) не определена в точке х = О. Доопределить ее так, чтобы она была непрерывна в этой точке, если Дх) равна: ~~+ ж — 1 СВ2х 1/, з1+ 1 е '~' г) з1пх з1п-; д); е) х1п~х. х' х2 ЗЗ-Е 4 Э. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 9;8. Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции является разрывной функцией.
Построить пример функции, разрывной всюду на Ж, квадрат которой есть функция непрерывная. 9.9. Исследовать на непрерывность функции ~(д(х)) и д(Дх)), если ~(х) =зипх и д(х) равна: а) 1+х~; б) х(1 — х~); в) 1+х — 1х]. 9.10. Показать, что существует единственная непрерывная функция у = ~(х), х Е В, удовлетворяющая уравнению Кеплера у — азу х = х при О < е ( 1.
9.11. Показать, что уравнение сФдх = Йх для каждого Й б В имеет в интервале (О, я') единственный корень х. 9.12. Может ли немонотонная на В функция иметь однозначную обратную функцию? 9.13. В каком случае функция у = ~(х) и обратная к ней х = ~ '(у) представляют собой одну и ту же функцию? 9Л4. Доказать теорему 9.4 об ограниченности функции, непрерывной на отрезке, опираясь на теорему 6.11 о возможности из ограниченной последовательности выделить подпоследовательность, сходящуюся к конечному пределу. 10. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ 10.1.
Сравнение бесконечно малых функций Основны цель сравнения б.м. функций состоит в сопоставлении характера их приближения к нулю при х -~ а, или скорости нх стремления к нулю. Пусть б.м. при х -+ а функции а(х) и ~9(х) отличны от нуля в некоторой проколотой окрестпности О 0(а) точки а, а в точке а они равны нулю или не определены. Определение 10.1. Функции а(х) и Д(х) называют б.м. одного порлдка при х -+ а и записывают а(х) д,О(8(х)) (символ О читают „О большое"), если при х-~а существует отличный от нуля конечный предел отношения а(х)ф(х), т.е.
а(х) д О ф (х) ): 4Ф 3 йп — = с е В ~ (О). а(х) (10.1) яз' Под асимптпотпичесмим поведением (или асимптпотпикой) фурии в окрестпности некоторой точки а (конечной или бесконечной) понимают характер изменения функции при стремлении ее аргумента х к этой точке. Это поведение обычно стараются представить с помощью другой, более простой и изученной функции, которы в окрестности точки а с достаточной точностью описывает изменение интересующей нас функции или оценивает ее поведение с той или иной стороны.
В связи с этим возникает задача сравнения характера изменения двух функций в окрестности точки а, связанны с рассмотрением их частпного. Особый интерес представляют случаи, когда при х -+ а обе функции являются либо бесконечно малыми (б.м.), либо бесконечно большими (б.б.). 356 10. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 1ип — = 1пп а(х) . а(х)ф(х) . а(х) . )9(х) = 1пп — 1пп — Е ЕЦО~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
