I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Найдем х~ Г~х2+ 2хз 1'ип ~-+о х2в1п~ х — хагсФдх Под знаком предела имеем отношение сумм б.м. функций при х -+ О. Поскольку с учетом (10.18) и определения 10.2 х~~~хз = о(2хз) и х~з1п~х = о(хагсФцх), главными частями при х -+0 числителя и знаменателя под знаком предела соответственно будут 2х и -хагсг~х, причем хагс®х ~ х . 380 10. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ В итоге получим хг ~®хг+ 2хз 2хз 1ип — 1ип — = -21ип х =О. х-~О ХгВ1ПгХ вЂ” ХаГСФцХ -+О -Хг х-+О б. Вычислим 1п(1+2 +Зхг)+~~ — х 1ип х-~0 1+ 2х — е С учетом (10.18) 1п(1+2х+Зхг) " 2х+Зхг. Так как хг= = о(х), то 2х+Зхг ~ 2х.
В силу транзитивносши свойства эквивалентности получаем 1п(1+ 2х+ Зхг) ~2х. Поскольку ®х х н хз = о(х), главной частью числителя прн х -+ 0 будет 2х+х =Зх. Так как нз (10.18) ех — 1 х, главной частьюзнаменателя 1+2х-е =2х-(е'-1) прн х-+О будет 2х-х=х, В итоге найдем ° 1п(1+ 2х+ Зхг) + ®~х — хЗ . Зх 1ип — 11ш — = 3. х-+О 1+ 2х — ех х-+О х 1 1 1/Дх) 1/д(х) 1/д(х) — 1/~(х) Дх)д(х) 1/(~(х)д(х)) 1/(1/д(х) — 1/~(х)) Неопределенность типа оо/оо также можно раскрыть выделением главных частей, но теперь уже 6.6.
функций, нлн же, опнраясь на теорему 7.5 о свяэн 6.6. н б.м. функций, привести эту неопределенность к типу О/О. Прн вычислении предела разности ~(х) — д(х) прн х-+а нлн х -+ оо, когда ~(х) н д(х) прн таком стремлении аргумента х являются 6.6. функцнями, возникает неопределенность типа оо — оо. В зависимости от удобства последующих вычнсленнй тождественным преобразованием 382 10.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 5.б, и б.м. функциями. Теперь при и(х) -+ оо 1пи(х) -+ оо, и "нова приходим к неопределенности типа 0 оо. Таким образом, все рассмотренные типы неопределенно=тей тождественными преобразованиями могут быть сведены к двум основным типам: О/О и оо/оо (и даже одному типу 9/0). Пример 10.14. Для вычисления предела 1ип (2- х)'Я~ ®, з-П1 связанного с раскрытием неопределенности типа 1, используем (10.32), положив и(х) =2 — х и о(х) =®(л'х/2): Пт 12 — е)'е1"~~~1 =ехр Пт 1П вЂ” 1п12 — е)).
~-+1 х-+1 2 Чтобы найти предел в показателе экстюкеиты, т.е. раскрыть неопределенность типа оо О, проведем замену переменных и элементарные преобразования тпригонометпрических функций с последующей заменой отношения б.м. функций им эквивалентными согласно (10.18) и теореме 10.4: х — 1=1 Й -+ 0 ~+1 = Иш Ф~л — 1п(1-й) = т-+о 2 лх Ит $д — 1п(2-х) = з-Ф1 2 л'$~ .
1п(1- 1) . -1 2 =Пт(-ееП вЂ” 11е11-1) = — 11т = -1ип — = —. 2 1 и-~о Сд(л'х/2) ь-~о л'$/2 л' л'х р = 1ип о(х)(а(х) — 1) = 1ип ф — (1 — х) = т "+ П ж-~1 2 х — 1~ . 1 2 = 1ип (-седл — ~(1 — х) = 1ип ж-+1 ~ 2 ~ и-+о ф(П/2) л' Однако не всегда для раскрытия неопределенности типа 1О1' необходимо предварительно раскрывать неопределенность В итоге Ит (2 — х)п®~2'~® = ез~2Р. т Ф1 Тот же результат следует и из (9.19), если при помощи такой же замены переменных, учитывая (10 18) и теорему 10.4, предварительно вычислить 383 10.6.
Общие рекомендации по вычислению арелелов Ипд (1+ е1п х) д/а~ = 1дпд(1+1)'~'=е, с-+о а в силу непрерывности функции соех 1пп совх = -1. Таким образом, применительно к (9.18) имеем Ь = е и с= — 1, т.е. искомый предел равен Ь'= е д =1/е. Пример 10.15. Пусть Р„(х) = аох" +адх" д+ ...+а„и Я„,(х) =Ьох +Ьдх '+...+Ь вЂ” многочлены степени п и т соответственно (п,таей), т.е. аофО и ЬофО. При х-~со Р„(х) и ©„(х) являются б.б. функциями, а для их отношения Р„(х) 11пд х-+оо Ящ (х) 0 при п<т, ~ при п=т, (10.33) Ьо оо при п>т. ао+ад/х+...+а„/х" 11 и-чп Ьо+Ьд/х+...+Ь /х В случае и > т для п — т = 2й (й б д 1) в (10.33) получим +со, а для п — т=2й — 1 при х-++со будет +оо и при х-+ — оо будет -оо.
При и — т=1 график этого отношения имеет наклонную асимптоту с коэффициентами А= — и Ь= 1дпд — — Ах =ад — ао— ао . Дх) Ьд Ьо -+ д(х) Ьо типа оо ° О, чтобы затем применить (10.32) или (9.19). В некоторых случаях показательно-степенную функцию, стоящую под знаком предела, удается преобразовать к такому виду, что и основание степени и(х) и показатель степени е(х) будут иметь конечные пределы (см.
(9.16) ). Тогда можно непосредственно использовать (9.18). Например, при вычислении 1дпд(1+здпх)"я положим и(х) =(1+вднх)д~"" и ю(х) =соех, х-мг так что с учетом второго замечательного предела в виде (7.42) 384 10. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ в уравнении (10.28), которые нетрудно найти иэ (10.29). Ясно, что при а=т Дх) = 0(у(х)) и Ь0~(х) ° аоу(х). Если Р„(а) = 0 и Я (а) = О, то при вычислении предела их отношения при х -+ а приходим к неопределенности типа О/О. В этом случае многочлены Р„(х) и Я,„(х) можно представить в виде (см.
4.4) Рл(х) = (х — а)"Т1(х), Я (х) = (х — а)~Т~(х), где Т;(х) — некоторые многочлены и Т;(а) ф.О (~=1, 2). В итоге п9лучаем 0 при г>д, Бш " = Ьш(х-а)" ~ — = — при г=д, Р„(х) . „ Т ( ) Т (а) -+~ Я„(х) -+ Тз(х) Тг(а) оо прн г<д. Дополнение 10.1. Асимптотические многочлены Определение 10.9. Многочлен Р„(х) =адх" +а1х" 1+...+ +а„при х-++со именуют асимвшотичесмим для функции Дх), определенной в окрестности бесконечной точки +оо расширенной чис,4овой прямой, если Дх) = Р„(х)+а(х), где о(х) — б.м. функция при х -++со.
(10.34) Ясно, что аналогичное определение можно дать и прн х-+ -+ — оо. Геометрически условие (10.34) означает, что при х++оо графики функции Дх) и асимптотического многочлена Р„(х) неограниченно сближаются. Алгоритм нахождения коэффициентов такого многочлена устанавливает следующая теорема. К понятию прямолинейной асимптоты графика функции примыкает понятие, которое вводится согласно следующему определению. 385 Д.10.1. Асизштотмческие мною очлеиы Теорема 10.7. Многочлен Р„(х) ивляетси асимптотиче- ским для функции Дх) при х -++со тогда и только тогда, когдапри х++оо существует и+1 конечных пределое, опре- делиющих коэффициенты многочлена: 11п1 — = ао Е В-~(0), Лх) х-++оо Х~ 1ип =а1 ей, ++, хи-1 где о(х) — б.м.
функции при х -++со, что отвечает условию (10.34). 6» Определение 10.9 обобщает понития наклонной н горизонтааьной аси нптот, поскольку Р1(х) = аох+ а1 и Ро(х) = ао, ао у6 О. Отметим, что нахождение каждого слагаемого асимптотического многочлена, по существу, соответствует выделению главной части сначала функции Дх), затем разности 2$-644 Дх) — (аох" +а1х" '+...+ а ~х~) 1ип — а~-1 Е Й, х-++оо х 1ип ~У(х) — (аох +а1х" +...+аи-1х)) =ап ЕЖ. 4 Если многочлен Р„(х) явллется асимптотическим для Дх) и верно (10.34), то почленным делением (10.34) на х" и переходом к пределу при х -~+со устанавливаем существование первого из указанных пределов и равенство его коэффициенту ао, а затем аналогичным путем последовательным делением на х" ', ..., х устанавливаем существование всех, кроме последнего, пределов и их равенство соответственно коэффициентам а1, ..., а„1.
Существование последнего предела и равенство его коэффициенту а„следует непосредственно иэ (10.34) в силу теоремы 7.3 о свлзи функции, ее предела и б.м. функции. Обратно, если существуют все указанные конечные пределы, причем ао ф.0, то, согласно теореме 7.3, иэ последнего предела получаем У(х) — (аох" +а1х" '+...+а„1х) = а„+а(х), 386 10. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ~(х) — аох" и т. д. Если для сложной функции удается найти такой многочлен, то это обычно облегчает анализ ее поведе- ния при х Е оо, так как построение графика и исследование многочлена проще, чем самой функции.
Пример 10.16. Пусть ~(х) = — х. Проверим, существует ли для ~(х) асимптотический полипом при х -+ -++со. Ясно, что отличный от нуля конечный 1ип Дх)/х" х-++оо будет при и =2. Вычислим ао = 1ип — = 1ип Лх) х-Ф+ОО Хг х-Ф+00 1 =1. х Затем найдем у г а1 — — 1ип = 1ип Х-Ф+00 Х Х-++00 — 1 — х Для раскрытия неопределенности типа оо — оо перенесем иррациональность под знаком последнего предела в знаменатель: х2+1+ 1 (1+х)2 -2х+— 1 г + — +1 1 Отсюда ясно, что при х -++со а1 —— -1. Наконец, вычислим — х ). аг = 1ип ®х) — (аох +а1х)) = 1ип х-Ф+оо Х-++00 Снова перенесем иррациональность в знаменатель: х4+ хг+ 1 — х~ 1+1/ г +1 Теперь нетрудно установить, что при х -+ +со аг = 1/2.
В итоге асимптотическим многочленом для данной функции будет Рг(х) = хг — х+1/2. 387 Д.10.2. Обисполъэовавии симваюв О и о Дополнение 10.2. Об использовании символов О и о В математической литературе символы 0 и о, называемые по имени немецкого математика Э.Г.Г. Ландау (1877-1938) симво.аами Ландау, используют при сравнении не только б.м. и б.б. функций. Для произвольных функций запись (10.35) означает существование такой проколотоц окрестностии 0(а) ттючки а и такой констпантпы С>0, что для определенных в 0(а) функций Дх) и д(х) справедливо неравенство Щх)~ <С~д(х)~ Чх б У(а).
(10.36) В этом случае функцию ~(х) называют ограниченной ао сравнению с д(х) при х -+ а. В частном случае д(х):— 1 о Чх б 0(а) из (10.36) получим условие ограниченностпи функние о (см. 3.4) Дх) в 0(а), которому соответствует обозначение ~( )д,О(1) Отметим, что в (10.36) возможно д(х) = 0 только для тех о точек х Е 0 (а), для которых и Дх) = О, тогда как Дх) = 0 О допустимо в любой точке х Е Ща). Поэтому из (10.35) не следует обратного соотношенил (10.37) т.е. в общем случае символ О в смысле (10.35) не обладает свойством симметрии. О Если существует такак 0,(ц), в которой д(х) ф О, то О из (10.35) следует ~(х)/д(х) = 0(1), т.е. в 0,(а) ограничено отношение ~(х)/д(х).
Аналогично из (10.37) имеем 2б» 10. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 388 1() 30~(а): И Е 01(а) — = с+а(х), 9(х) где а(х) — функция, б.м. при х -+ а. Из определения 7.10 б.м. функции следует, что а(х) ограничена при х -+ а„т.е, о О ЗЩа) Л (е > О): ~а(х) 1 < е Чх Е Ща). В итоге с учетом (1.4) Л) д(х) о О О Чх Е Ща) = Ща) й0г(а) = ~с+а(х)~ < ~с~+я, т.е.
Дх)/9(х)д,О(1). Кроме того, в 0(а) д(х) у6 0 и поэтому Щх) ~ < (~с~+я)~д(х) ~, т.е. справедливо (10.36) и (10.35). Согласно свойству 3 (см. 7.4) сохранения функцией знака свое- О о о го предела ЗЩа): ~Ь Е Уз(а) Дх)/9(х) ф О, Тогда Чх Е Ща) д(х)/Дх) = 1/(с+ а(х)) и 3 1пп д(х)/~(х) = 1/с ф О. Отсюда аналогичным путем можно показать, что 9(х)/~(х) д,О(1) и верно (10.37). Итак, (10.1) определяет символ О в более узком смысле, чем условие (10.36), но не противоречит ему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
