I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 49
Текст из файла (страница 49)
рис. 3.19 и 3.20), согласно теореме 9.6, непрерывны на отрезке 1-1, 1], поскольку функции в1пх и совх строго монотонны и непрерывны соответственно на отрезках 1-к/2, к/2] и 10, ~г], а их значения сплошь заполняют отрезок 1-1, 1]. Функции агс®~х и агссФдх (см. рис. 3.21 и 3.22), согласно теореме 9.6, непрерывны на И,так какфункции ®~х и сГ4,х строго монотонны и непрерывны соответственно при х Е (-~г/2, ~г/2) и х б (О, ~г), а их значения сплошь заполняют всю числовую прямую Е.
Таким образом, все основные элементарные функции непрерывны всюду, где они определены. Функции из класса элементарных можно получить при помощи конечного числа алгебраических операций над основными элементарными функциями и их суперпозицией. Иэ свойств (9.7)-(9.Я) арифметических операций с непрерывными функциями и теоремы 9.1 о непрерывности суперпозиции непрерывных функций следует, что элементарные функции непрерывны в своей области определения. Простейшиии примерами элементарных функций являются многочлены и дробно-рациональные функции.
Пример 9.7. Рассмотрим функцию (и(х)), где и(х) и ю(х) — функции, определенные в окрестности 1.«(а) некоторой точки а б Й расширенной числовой прямой, причем в этой окрестности и(х) > О. Предположим, что существуют конечные пределы 344 9. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ С учетом непрерывности логарифмической функции, согласно (9.12) и (9.8), имеем 11т 1и и(х) = 1и Пш и(х)) = 1х Ь, +1е ю ~в 1пп о(х) 1пя(х) = Иш о(х) 1ип 1п и(х) = с1п6.
Отсюда в силу непрерывности экспоненты в (9.17) 8т (и(х))"1~)=ехр(Мш и(х)1хи(х)) =е'~"~ ~(е~~~)'=Ь'. (918) 11т (и(х))" (х)=1!т ((1+(и(х) — Ц) ) Ясно, чтоесли и(х) и о(х) непрерывны вточке а и и(х) > > О, то функция (а(х))"~ 1, которую называют воказатвемьно-стиеаенноб, будет непрерывна в каждой такой точке а.
Предел показательно-степенной функции можно установить не только при условиях (9.16). Его можно найти, когда известен 1ип о(х) 1п и(х) = 4 (конечный или бесконечный). При Ж +О конечном и' искомый предел будет, очевидно, е~; если же и' = -оо или и =+оо, то искомый предел будет соответственно О или +со. Определение самого предела и'= Иш о(х)1пи(х) х -рО по заданным пределам 6= 1ип а(х) и с= 1ипи(х) возможно з-+а х;-ЬЯ всегда, кроме случаев, когда произведение е(х) 1па(х) при х-+а представляет собой неопределенностпь типа О оо. Нетрудно установить, что исключительные случаи отвеча ют следующим комбинациям значений 6 и с: 1) 6=1, с=оо; 2) 6 = +оо, с = О; 3) 6 = с = О.
В этих случаях говорят, что выражение (а(х)) при х-~а представляетсобойсоответственно неопределенность типа 1", ооо или Оо. Рассмотрим, например, случай 6=1, с=оо и и(х) ф-1 внекоторойокрестности точки а. Тогда, обозначив р = 1ип о(х)(а(х) — 1), эапи+18 шем 9.6. О вычислении нули функции, непрерывной на отрезке 345 и(х) — 1=1, й-э О =(11т(1+(и(л) — 1)) ) = =(11ш(1+1)~~') юе".
(9.19) Пусть, например, Дх) = (ссв2х)14~ ""~ ) и х -+ О. Тогда е(х) = 1/(хв1п2х), ю(х) — 1 = сов2х — 1 = -2яп~ х, с учетом (7.37) р= 1нп, (-2в1п х) = — аппп — = — 1 1 . з . Сйх ~-~О хоп 2х ю-+О Х и, согласно (9.19), 1ип = е~ = е 1 = 1/е. з-+О 9.6. О вычислении нуля функции, непрерывной на отрезке Из теоремы 9.3 следует, что на отрезке Х = [а, Д ~ Е существует по крайней мере одна точка ~, в которой непрерывная на Х фующил д(х) принимает любое значение и, заключенное между значениями д(а) и дф) этой функции. Если д(х) еще и строго монотонна, то эта точка единственная. Но каким образом найти такую точку? Если исключить из рассмотрения тривиальный случай д(а) = д(8), то эта задача равносильна поиску хотя бы одного действительного морим ~ б Х )ураемемал ~(х) = О, где функция Дх) = д(х) — и тоже непрерывна на Х, или, как говорят, равносильна нахождению на Х по крайней мере одного мул.в фуммции Дх).
Так как на концах отрезка Х эта функция принимает значения Да) =д(а) — и и Дф) =д()9) — и разных знаков, т.е. Да)~ф) < О, то существование точки ~ б Х, для которой Д4) = О, вытекает из теоремы 9.2. Отметим, что при этом условие непрерывности Дх) существенно. 346 9. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Пример 9.8. а. Функция 1/х на концах отрезка [-1, Ц принимает соответственно значения -1 и 1, но не обращается в нуль на этом отрезке, поскольку терпит разрыв в одной из его точек, а именно в точке ж = О (см. рис. 7.7). б.
Нетрудно заметить, что уравнение 3 = 9ж имеет корень я=3. Но непрерывнал на И функция Дх) =3 — 9м наконцах отрезка [О,Ц принимает значения разных знаков: ~(0) = 1 > 0 и Д1) = -6 < О, т.е. на этом отрезке есть хотя бы еще один корень данного уравнения. ф Перед вычислением искомого корня уравнения ~(ж) = О стараются выделить отрезок [а, 6], на котором расположен этот и только этот корень, а функция ~(~) непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. провести отпде,яение корней ураененил. Представление о расположении корней уравнения Дю) = 0 дают точки пересечения оси абсцисс графиком функции ~(х) (см.
рис. 9.6) даже при его приближенном построении. Если же функция ~(ж) сложна и построение ее графика вызывает затруднение, то уравнение Дю) = 0 стараются преобразовать к виду Ь1(з) = Ьр(м), чтобы было нетрудно построить графики функций Ь1(ж) и Ьр(ж) и по абсциссам точек пересечения этих графиков определить расположение корней уравнения. Допустим, что отделение искомого корня ~ проведено и указанный отрезок [а, 6] выделен.
Вычисление значения корня проведем методом деления отврезка. Выберем произвольно точку хо Е (а, 6) и вычислим значение ~(жо). Если ~(жо) = О, то жо — искомый корень уравнения ~(м) = 0; цель достигнута и вычисления прекращаются. Если же Дмо) ф-О, то из двух отрезков [а, жо] и [жо, 6] отбрасываем тот, на концах которого совпадают знаки значений функции ~(х). Искомый корень теперь расположен на оставленном для дальнейшего рассмотрения отрезке, который обозначим [а1, 61]. Далее выбираем точку з1 е (а1, 61) и повторяем описанную процедуру до тех пор, пока на шаге с номером М не произойдет „прямое попадание", т.е.
Дху) = 0 и жу — искомый корень данного 9.6. О вычнслении нули функции, непрерывной на отрезке 347 уравнения, или же длина Ьу — ау отрезка ~ау, Ьу~ не станет меньше удвоенной допустимой погрешности вычисления ~ и можно будет принять в качестве его значения (ау+ Ьр~)/2. Для шага с номером п при Да„)ДЬ„) < 0 алгоритм дальнейшего поиска корня при условии, что х„Е ~а„, Ь„~, можно представить в виде ал+1 = хд, Ьд+1 = Ьд,' 4=хе', а„+1=а„, Ь„+~ =х„. )0 =Ф =0 =Ф (0 =Ф ~(х„)~(а„) (9.20) Такой алгоритм нетрудно запрограммировать на ЭВМ, что позволит ей, „не видя" графика функции Дх), вести „пристрелку" и строить последовательиость уменьшающихся по длине вложенных друг в друга отрезков, удерживая на них искомый корень уравнения. Выбор точки х„на каждом шаге с номером п может быть различным.
Если испольэовать метод деления отрезка пополам, т.е. х„= (а„+6„)/2, то при отсутствии „прямого попадания" заданная точность е вычисления корня в силу условия (6 — а)/2" с 2е может быть достигнута на шаге с номером Ь-а 1 Ь вЂ” а и 10К2 1 1п 1 (9.21) е 1п2 е Итерационная последовательность (см. Д.2.2) (х„) приближенных значений х„искомого корня сходится к точному значению ( как геометрическая прогрессия со знаменателем д = 1/2. Другой метод выбора х„связан с проведением на каждом шаге через точки А„(а„, ~(а„)) и В„(6„, ДЬ„)) прямой и=У( )+ Ь, "( —.) Ьть ап и с определением точки 348 9. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ У(Ь!) ~(Ь) Дополнение 9.1.
Непрерывность и разрывы монотонной функции Рассмотрим функцию Дх), монотонную в некотором промежутке Х (конечном или бесконечном, замкнутом или открытом). Теорема 9.7. Если монотонная в промежутке Х функция Дх) имеет внутри него точки разрыва, то они обязательно первого рода. ч3 Пусть для определенности ~(х) не убывает в промежутке Х. Возьмем любую точку а (= Х, не совпадающую с левым концом Х, и рассмотрим ту часть Х, которая лежит влево от а.
При х -+ а — 0 Дх) не убывает и ограничена сверху, поскольку ~(х) (~(а) прн х < а. В силу теоремы 8.16 о пределе монотонноЙ функции заключаем, что существует конечный 1пп ~(х) = Да — О), а согласно свойству функции, л-+а-О имеющей конечный предел, получим, что ~(а — 0) < Да). Если пересечения этой прямой с осью абсцисс. Рис. 9.9 иллюстрнруетвыборточек хв и х1 напервыхдвухшагах. Этотметодна зывают мепзодом хорд (а также метподом пропорциональных часпвей, линейного интперполировакил, ложного положекил кори.в).
Идея метода состоит в приближенной за мене дуги кривой графика Дх) меж- А ду точками А„и В„стягивающей ее хордой А„В„. Такой метод обеспечивает ускорение сходимости ите- ационн й ~~след~вательности ~(х) к значению ~ искомого корня урав=== — — — в пения ~(х) = 0 по мере уменьшения длины отрезка ~а„, Ц и приближения дуги кривой к стягивающей ее Рис. 9.9 хорде. Д.9.1. Непрерывность н разрывы монотонной фующни 349 Да-О) =~(а),то ~(х) непрерывна в точке а слева. Сходным образом убеждаемся, что в каждой точке а Е Х, не совпадающей с правым концом Х, Дх) либо непрерывна справа, либо имеет конечный предел ~(а+О) > Да).
Ход доказательства для невозрастающей на Х функции аналогичен. Итак, во всякой внутренней точке а промежутка Х монотонная функция либо имеет точку разрыва первого рода с конечным скачком Да+О) — Да — О), либо непрерывна. 6~ Замечание 8.2. Если точка 6 является правым концом промежутка Х, то для неубывающей на Х ограниченной сверху функции ~(х) в силу теоремы 8.16 существует конечный 1ип Дх) = ДЬ вЂ” О), а для неубывающей на Х неограниченю->Ь-О ной сверху функции, согласно теореме 8.17, Ип1 Дх) =+оо. ~-+Ь-О Аналогично, если точка а является левым концом промежутка Х, для неубывающей на Х ограниченной сниэу функции Дх) существует конечный 1пп ~(х) = Да+О), а для неубывающей з-+а+О на Х неограниченной снизу функции — 1пп ~(х) = — оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
