I Морозова В.Д. Введение в анализ (1081368), страница 48
Текст из файла (страница 48)
~ Заметим, что требование непрерывности функции ~(х) на отрезке [а, Ц в условии теоремы 9.2 существенно. Его нельзя заменить требованием непрерывности в интервале (а, 6): на рис. 9.7 дан пример графика функции, непрерывной в интервале (а, 6), но не являющейся непрерывной на отрезке [а, Ц в силу нарушения непрерывности справа в точке а. Эта Рис. 9Л' этого отрезка, ибо тогда теорема доказана. Обозначим [а~, Ьр~ ту нз половин отрезка [а1, Ц, для которой ~(ая) < О и ДЬг) >О. Продолжим этот процесс построения отрезков. Прн этом либо после конечного числа шагов наткнемся на такую точку деления отрезков пополам, в которой функция обращается в нуль, и доказательство теоремы будет завершено, либо получим бесконечную последовательностпь вложенных отрезков 9А. Свойства фуыщий, ншрерывных в промехутие 339 функция имеет на концах отрезка значения разных знаков, но ни в одной точке отрезка не обращается в нуль.
Ясно, что функция, имеющая разрыв хотя бы в одной точке интервала (а, 6), может также перейти от отрицательного значения к положительному, не обращаясь в нуль. Теорема 9.3 (вторан теорема Больцаио — Коши). Пусть функция Дж) определена и непрерывна в некотором промежутке Х (замкнутом или нет, конечном или бесконечном). Если в двух точках а и 6 (а<6) этого промежутка функция принимает неравные значения ~(а) = А и ДЬ) = В, то, каково бы ни было число С, лежащее между А и В, найдется такая точка с Е (а, 6), что У(с) =С.
Будем считать, например, что А < В, так что А < С< <В. Рассмотрим наотрезке ~а, 61 вспомогательнуюфункцию у(~) = Д~) — С. Эта функция непрерывна на отрезке ~а, 6~ и на его концах принимает значения разных знаков: у(а) = = ~(а) — С = А — С < О и у(Ь) = ДЬ) — С =  — С > О. Тогда в силу теоремы 9.2 между а и 6 найдется точка с, для которой у(с) =О, т.е. Дс)-С=О или Дс) =С.
~ Таким образом, непрерывная в промежутке функция, переходя от одного значения к другому, хотя бы один раз принимает каждое промежуточное между ними значение. Иными словами, значения, принимаемые непрерывной функцией Дз'), когда х изменяется в каком-либо промежутке Х, сами также заполняют сплошь некоторый промежуток У. Теорему 9.3 (как и утверждение 5.3) часто называют тпеоремо» о промежутпочном значен»» непрерывно» фута»». Доказательства дальнейших свойств функций, непрерывных на отрезке или в интервале, даны в Д.Э.2.
Здесь огра ничимся только формулировкой соответствующих теорем, а основное внимание уделим обсуждению и иллюстрации этих свойств. Теорема 9.4 (первая тиеорема Ве»ерштирасса). Непрерывная на отрезке функция является ограииченно6 на этом от- 22' 340 9. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Существенным условием в этой теореме является непрерывность функции именно на отрезке. Непрерывность лишь на интервале не обеспечивает ограниченности функции.
Так, при х е (О, гг/2) функция Фцх непрерывна (см. пример 9.3), но не ограничена (см. рис. 3.18). Теорема 9.6 (етпораа тпеорема Вейерштпрасса). Непрерывная на отрезке [а, Ь) функция ~(х) принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т.е. Дх) Е С[а, Ь] =~ =~ Зх,х Е [а, Ь1: Чх Е [а, Ь~ ~(х ) < ~(х) ~ (~(х ). На рис. 9.8 наименьшее и наибольшее значения обозначены соответственно т и М.
Существенным условием в этой теореме (как и в предыдущей) является М вЂ” — —— непрерывность функции именно на „~(Ь) — — —— отрезке, а не вообще на промежутке у(х) ! любого типа. Даже сочетание не! т - прерывности и ограниченности не О ~ ~1 ~2 ~ ~ гарантирует достижения функцией наименьшего и наибольшего значений: на В функция 1/(1+х~) непрерывна в силу (7.26) как дробно-рационаяьная с не обращающимся в нуль знаменателем и ограничена, но не достигает наименьшего значения (см. рис.
3.15,а). Учитывая теорему 9,3 о промежуточном значении функции, можно сформулировать следующее положение. Рие. 9.8 Следствие 9.1. Если непрерывная на отрезке [а, Ь~ функция Дх) принимает в некоторых точках х1,х~ е [а, Ь) наименьшее т = ~(х1) и наибольшее М = Дхз) значения, то на отрезке [х1, хз1 (или на отрезке [х~, хД при хр < х1) данная резке, т.е. существуют числа т и М, такие, что т <Дх) < М Чх Е [а, Ь1.
9.ь. Нещкрывность основных змеиентарных фушций 341 функция принимает по крайней мере один раз любое значение, заключенное между числами т и М, или Дх) Е С'1а, В~ ~ 3~ Е ~а, Ь~: Ьу Е ~т, М~ У®) = д. Это следствие можно проиллюстрировать рис. 9.8. Таким образом, множество значений функции, непрерывной на некотором отрезке ~а, Ь), сплошь заполняет отрезок [т, М]. Теорема 9.6 (об обратной функции). Пусть функция у = Дх) монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в интервале (а, Ь).
Тогда в соответствующем (а, Ь) интервале фа+ 0), ДЬ вЂ” 0)) (или (~(Ь- 0), ~(а+ 0)) ) значений этой функции существует обратная функция х = ~' 1(у), также возрастающая (убывающая) и непрерывная. 9.б.Непрерывность основных элементарных функций В примерах 9.1 и 9.2 установлена непрерывность на всей чисяово6 врямо6 В постоянной функции Дх) = с = соней, линейной функции х, тригонометрической з1пх и показательной а* функций. Как уже сказано в 9.2, из (7.25) следует, что многочлены непрерывны всюду на В, а дробно-рационааьная функция в силу (7.26) непрерывна на Е во всех точках, кроме тех, где ее знаменатель равен нулю. В примере 9.3 установлена непрерывность функции совх всюду на Й, а также ®~х на множестпве (хай: хф Ьг+т/2, ФЕЕ) и с~~х намножестве (хай: хф.Ьг, йЕЕ).
Иэ теоремы 9.6 следует непрерывность в интерваяе (О, +оо) логарифмической функции 1ои,х как обратной к строго монотонной и непрерывной на Й показательной функции а с областью значений (О, +оо). Эти функции являются взаимно обратными, возрастающими при а > 1 и убывающими при 342 9. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ О <а<1 (см. рис. 3.16). В частном случае а=е получим, что экспонента е~ и натуральный логарифм 1пх (см. 7.8) являются взаимно обратными и непрерывны соответственно на Й и в интервале (О, +оо) (см. рис. 7.13).
Для общей степенной функции (см. З.Б) в силу основного логарифмического тождества (7.43) запишем х' = ехр(в1пх), в Е Й, т.е. получим суперпозиция функций: у = ~(х) = в1п х, непрерывной в интервале (О, +оо), и у(у) = ехр(у), непрерывной на Й. Из теоремы 9.1 о непрерывности сложной функции следует, что х' непрерывна в каждой точке интервала (О, +со). В частном случае в=пЕ Х функция х" непрерывна на Й согласно обобщению свойства (9Я) непрерывности произведения функций на любую натуральную степень непрерывной на Й функции х. При нечетном и функция х" с о6ластью значений Й нечетна, возрастает на Й и, согласно теореме 9.6, имеет на Й непрерывную возрастающую обратную функцию х11".
При четном п у = х" — четная функция с областью значений (у ЕЙ: у> 0~. В этом случае функция не является монотонной на всей числовой прямой. Но на каждом из промежутков (-оо, О] и ~0, +со) она строго монотонна, и, согласно теореме 9.6, будут существовать при х > 0 непрерывные и строго монотонные функции — х11" и х1~", являющиеся обратными в каждом из указанных промежутков к функции х" при четном и. функция х " при п Е Х непрерывна на Й~(0~ и при х -+ 0 — бесконечно 6ольшая (б.б.) функция (х = 0 для этой функции, по определению 9.7, — точка разрыва второго рода).
Аналогично предыдущему при нечетном и функция х 1~", определенная на Й~(0~, является обратной к х " в каждом из интервалов (-оо, 0) и (О, +со) и, согласно теореме 9.6, непрерывна на Й~(0~. При четном и функции -х '/" и х '~", определенные при х > О, являются обратными к х " соответственно в интервалах (-оо, 0) и (О, +оо). Согласно теореме 9.6функции -х 11" и х 1/" непрерывны при х >О. 9.л.
Неирерывносзь осиовиых элементарных фумкций 343 (9,16) 1пп и(х) = Ь ) О В силу основного логарифмического тождества (7.43) можно записать (и(х))"1 « =е"1 «~""1 « =ехр(о(х) 1пи(х)) Чх б 1.«(а). (Я.17) Для рационального числа д=й/вбей ЙЕЕ, иЕ И (Й и л несократимы), функция хг непрерывна в своей ооласти одределенил в силу обобщения свойства (9.8) на любую натуральную степень функций х1/" или х 11". Обратные тригонометрические функции агсв1пх и агссовх (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
